El mes pasado me encontré con una animación en un blog, que es relativamente simple, y que al observarla con detención se puede apreciar un recurso típico de animaciones que inducen la idea de movimiento ondulatorio.

Construyendo esta en Geogebra, recurrí a las secuencias de iteración, y aplicando la idea a varios objetos distintos, voy a ilustrar lo que podríamos llamar “animaciones equivalente”, o incluso, estructuralmente idénticas.
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Geometría, Procesadores geométricos arcos, deslizador, geogebra, reconstrucción, rotación, traslación

Hace algunos años, presté alguna atención a unos diseños que misteriosamente aparecen en campos de trigo o “Crop circles”, más que por su origen, por lo complejos y altamente llamativos elementos geométricos que exhiben.

En esta ocasión, me centraré en una construcción que, en la próxima semana, me servirá para reconstruir un cropcircle muy famoso, y que puede relacionarse con un caso particular del problema de Apolonio.

Veamos esta cadena de Pappus…
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Artículos, Geometría arcos, circunferencia, geogebra, problemas, reflexión, traslación, video tutoriales

En estos días estuve preparando un taller de teselaciones, y echando mano a algunas cosas previamente publicadas, generé una versión imprimible de un artículo anterior: Siete formas de teselar.

A continación comparto el material generado…
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Artículos, Geometría escher, hexágono, paralelogramo, reflexión, rotación, simetría, teselación, traslación

En el blog he mostrado varios métodos para teselar, especialmente durante el año pasado; lo que ha despertado el interés de muchas personas. He visto como varios profesores utilizan éste espacio para enseñar, de manera que, pensando en ellos he constuido una especie de resumen y continuación de dichas ideas. Leer más…

Artículos, Geometría escher, hexágono, paralelogramo, reconstrucción, reflexión, rotación, simetría, teselación, traslación

Hace algunos meses me encontré con un notable sitio en Francés, de la profesora Genevieve Tulloue, quien muestra cómo hacer construcciones tridimensionales en Cabri. Se trata de una aplicación de los ángulos de Euler, que permite simular la vista 3d de puntos, utilizando las Macros de Cabri. De hecho, aproveché las macros que deja para descargar en su sitio, para generar los contenidos 3d.

En unas semanas más (adelanto!) realizaré un cambio masivo en el sitio: se reemplazarán todos los contenidos por nuevas versiones, creadas con Geogebra. Justamente en los meses de preparación de dicho cambio, me encontré con un problema, cuya solución pretendo ilustrar a continuación:

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Procesadores geométricos 3d, geogebra, homotecia, paralelepípedo, traslación

Una de las formas más comunes de explicar las transformaciones isométricas es el relacionarlas o, incluso definirlas, como movimientos. Aunque esto pueda parecer una conexión natural, es razonable hacerse preguntas usando un poco el sentido común:

En la traslación de un triángulo, ¿cuántos triángulos están involucrados? ¿Es uno sólo que se mueve o son dos triángulos congruentes?

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Artículos, Geometría simetría, transformación, traslación

Durante las últimas semanas, he estado mostrando diversos tipos de teselaciones, las cuales suelen requerir de más de un tipo de transformación isométrica. Un tipo de construcciones sumamente útiles, para ilustrar éste tipo de transformaciones, son aquellas que permiten controlar gradualmetne las animaciones. Se trata del uso de “deslizadores” o controles deslizantes, cuya construcción no es menos geométrica que cualquier otra.

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Procesadores geométricos cabri, deslizador, rotación, transformación, traslación

Durante los últimos meses he mostrado algunos métodos para teselar, que se reducen a realizar transformaciones isométricas con líneas construidas sobre polígonos que permiten teselar, como triángulos equiláteros, hexágonos o paralelogramos. Algunas de las relaciones que existen entre estos polígonos, se heredan también a los patrones construidos, por ejemplo en el caso de un hexágono regular, que es un polígono que cumple con las condiciones del patrón que menciono en la generalizacion del método del paralelogramo.

A continuación, algunas animaciones más descriptivas y un breve resumen de los métodos.

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Geometría escher, hexágono, paralelogramo, reflexión, rotación, simetría, teselación, traslación

En abril expuse un método para teselar con figuras basadas en triángulos equiláteros, de manera que se mantenía el área. Dicho método, aunque es relativamente simple, es justamente el que utilizó Escher para crear su famosa teselación de mariposas. Lo interesante está en que, al parecer, la forma en que creo dicha mariposa, fue dividiendo el triángulo equilátero es tres regiones que, compuestas por giros de 60º y 180º, genera una mariposa.

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Artículos, Geometría equilátero, escher, hexágono, reconstrucción, reflexión, rotación, simetría, teselación, traslación, triángulo

Siguiendo con las teselaciones hexagonales, mostraré a continuación un método para construir un patrón basado en un triángulo equilátero cuya área es igual al área del triángulo. Nuevamente se da la dinámica de girar el patrón en 60º, generando un hexágono regular que tesela por rotación y por consecuencia:

El área del patrón hexagonal es igual al área del hexágono sobre el cual se construyó.

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Geometría equilátero, escher, hexágono, reflexión, rotación, simetría, teselación, traslación, triángulo