Geometría Dinámica » rotación

Hoja de cálculo en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Sun, 13 Nov 2011 23:52:22 +0000

Desde hace un par de años que existe una hoja de cálculo en Geogebra, opción que a simple vista podrá parecer la simple adición del clásico Excel y sus fórmulas numéricas. Sin embargo en este caso se trata de una herramienta mucho más potente, pues la "idea" de Excel, esa de escribir fórmulas y luego copiarlas, se integra de manera bastante natural al entorno de geometría, permitiendo realizar iteraciones de construcciones.

Veamos algunos ejemplos...

Cicloides y trocoides

Rafael Miranda Molina — Thu, 19 Aug 2010 00:26:20 +0000

Una dificultad frecuente con los procesadores geométricos, está vinculada a los ángulos mayores de 360º. Como mostraba en el post de Cinderella 2.0, es común en tales situaciones que, al superar los 360º, el ángulo se "reinicie".

En este post muestro cómo tal dificultad requiere de recurrir a otros recursos, para construir curvas que involucran varias revoluciones, como son las "ruletas" y en este caso particular las Cicloides y Trocoides (hipo y epi).

Normalmente al estudiar este tipo de curvas, nos interesa cómo se generan, haciendo referencia a giros. Por ejemplo, la curva que describe un punto fijo de la rueda de una bicicleta, al rodar sobre el piso, por fuera de una circunferencia, o por dentro.

A pesar de que tal descripción es bastante natural, su implementación no es siempre tan directa. Así me he encontrado con que es más conveniente su construcción a partir de las ecuaciones paramétricas, como mostraré a continuación.

Animaciones equivalentes

Rafael Miranda Molina — Wed, 09 Jun 2010 14:10:44 +0000

El mes pasado me encontré con una animación en un blog, que es relativamente simple, y que al observarla con detención se puede apreciar un recurso típico de animaciones que inducen la idea de movimiento ondulatorio.

Construyendo esta en Geogebra, recurrí a las secuencias de iteración, y aplicando la idea a varios objetos distintos, voy a ilustrar lo que podríamos llamar "animaciones equivalente", o incluso, estructuralmente idénticas.

En varias otras ocasiones, me he referido a lo que me gusta describir como actividades de reconstrucción, que son esos post en los que parto de un diseño e intento replicarlo y describir cómo está construido. Todos estos post se pueden encontrar con la etiqueta reconstrucción.

La reconstrucción de esta ocasión, a diferencia de todas las demás, está referida a una animación, más que un diseño estático. De todas maneras, la idea general similar, sólo que aprovecharemos las animaciones de deslizadores de Geogebra para darle movimiento al diseño.

Variedades de la rosa polar

Rafael Miranda Molina — Wed, 12 May 2010 19:59:25 +0000

En estos días he estado graficando distintos tipos de curvas en Geogebra, usando de ecuaciones paramétricas.

Como voy a mostrar más adelante, este método permite solucionar varios problemas, que surgen al construir lugares geométricos que involucran varias "vueltas", es decir, ángulos mayores de 360º.

En la próxima semana voy a aprovechar estas ideas para revisitar el problema de las cicloides (epicicloides e hipocicloides), pero en esta ocasión me voy a centrar en una familia de curvas muy interesante, como es la Rosa Polar.

Esta entrada participa en el cuarto carnaval de matematicas en español, organizado en el Blog Zurditorium.com.

Teselaciones radiales

Rafael Miranda Molina — Wed, 31 Mar 2010 20:14:17 +0000

Regularmente las teselaciones involucran figuras congruentes y transformaciones isométricas, pero el tipo que voy a mostrar a continuación está vinculada a la composición de rotaciones y homotecias y son una forma gráfica de ilustrar la idea de infinito.

Otro aspecto interesante, está en el requerir de estrategias concretas de iteración de transformaciones geométricas, y en este caso, utilizaré un recurso relativamente nuevo de Geogebra, llamado "secuencias" (de iteración).

El lenguaje de la simetría (Marcus du Sautoy)

Rafael Miranda Molina — Tue, 24 Nov 2009 01:51:45 +0000

Transformaciones isométricas y simetría son dos conceptos que van de la mano, las primeras las estudiamos muchas veces como movimientos, mientras que la simetría pareciera estar de fondo. Otra forma de decir esto es que las transformaciones son dinámicas, mientras que la simetría estática.

En esta charla de Ted.com, Marcus Du Sautoy describe esta relación entre transformación y simetría, a partir de lo que denomina el lenguaje de la simetría, creado por Galois.

Taller de teselaciones

Rafael Miranda Molina — Sat, 12 Sep 2009 23:45:42 +0000

En estos días estuve preparando un taller de teselaciones, y echando mano a algunas cosas previamente publicadas, generé una versión imprimible de un artículo anterior: Siete formas de teselar. A continación comparto el material generado… Existen varias formas de usar este material, ya sea, para mostrar cómo teselar de varias formas, replicar o incluso relacionar [...]

Siete formas de teselar

Rafael Miranda Molina — Sun, 20 Apr 2008 21:17:00 +0000

En el blog he mostrado varios métodos para teselar, especialmente durante el año pasado; lo que ha despertado el interés de muchas personas. He visto como varios profesores utilizan éste espacio para enseñar, de manera que, pensando en ellos he constuido una especie de resumen y continuación de dichas ideas. Siete formas para teselar es [...]

Arabesco de Alhambra

Rafael Miranda Molina — Wed, 28 Feb 2007 21:51:00 +0000

Uno de los elementos más interesantes del arte islámico son los Arabescos: adornos simétricos construidos con líneas que imitan las formas de hojas, flores, cintas, etc. Si bien estos suelen basarse en líneas más bien arbitrarias, suelen tienen estructuras que cumplen diversas propiedades de simetría. A continuación mostraré una aproximación a la reconstrucción de un [...]

Animaciones en Cabri

Rafael Miranda Molina — Wed, 07 Jun 2006 06:22:00 +0000

Durante las últimas semanas, he estado mostrando diversos tipos de teselaciones, las cuales suelen requerir de más de un tipo de transformación isométrica. Un tipo de construcciones sumamente útiles, para ilustrar éste tipo de transformaciones, son aquellas que permiten controlar gradualmetne las animaciones. Se trata del uso de “deslizadores” o controles deslizantes, cuya construcción no [...]

Resumen de teselaciones

Rafael Miranda Molina — Thu, 25 May 2006 04:50:00 +0000

Durante los últimos meses he mostrado algunos métodos para teselar, que se reducen a realizar transformaciones isométricas con líneas construidas sobre polígonos que permiten teselar, como triángulos equiláteros, hexágonos o paralelogramos. Algunas de las relaciones que existen entre estos polígonos, se heredan también a los patrones construidos, por ejemplo en el caso de un hexágono [...]

Mariposas de Escher

Rafael Miranda Molina — Thu, 11 May 2006 06:29:00 +0000

En abril expuse un método para teselar con figuras basadas en triángulos equiláteros, de manera que se mantenía el área. Dicho método, aunque es relativamente simple, es justamente el que utilizó Escher para crear su famosa teselación de mariposas. Lo interesante está en que, al parecer, la forma en que creo dicha mariposa, fue dividiendo [...]

Teselación equilátera

Rafael Miranda Molina — Mon, 10 Apr 2006 06:19:00 +0000

Siguiendo con las teselaciones hexagonales, mostraré a continuación un método para construir un patrón basado en un triángulo equilátero cuya área es igual al área del triángulo. Nuevamente se da la dinámica de girar el patrón en 60º, generando un hexágono regular que tesela por rotación y por consecuencia: El área del patrón hexagonal es [...]

Teselación hexagonal 2

Rafael Miranda Molina — Thu, 30 Mar 2006 07:12:00 +0000

En un tema anterior, mostraba cómo construir teselaciones hexagonales, basadas en triángulos equiláteros. En dicho caso, el patrón de la teselación se giraba en 60º, lo que generaba otro patrón, basado en un hexágono regular. Pero existen otros métodos, que cumplen con una propiedad particularmente interesante: El área del patrón triángular es igual al doble [...]

Teselación con paralelogramos 2

Rafael Miranda Molina — Wed, 22 Mar 2006 07:04:00 +0000

En el capítulo anterior, mostraba cómo construir patrones de teselaciones a partir de un paralelogramo. Si bien, por paralelogramo nos referimos a un cuadrilátero, es posible generalizar el método anterior, a polígonos que cumplan con las condiciones del paralelogramo que aprovechamos para teselar, es decir: que tenga una cantidad par de lados y que sus [...]

Teselación hexagonal

Rafael Miranda Molina — Fri, 03 Mar 2006 04:40:00 +0000

En muchas teselaciones es posible identificar figuras geométricas, aunque sus patrones no sean exactamente dichas figuras. Por ejemplo, algunas teselaciones utilizan patrones basados en triángulos equiláteros, paralelogramos o hexágonos regulares. La pregunta del millón: ¿Cómo construir una figura que permita teselar a partir de un hexágono regular? Construcciones: 1 | 2 | 3 [...]

Transformaciones en el logo

Rafael Miranda Molina — Sun, 06 Nov 2005 22:39:00 +0000

Continuando con el análisis geométrico del logo del sitio, mencionaba en el post anterior algunas transformaciones interesantes en ésta figura. No todas son necesariamente extrapolables al caso general (rotación de cualquier polígono regular), pero si lo es el procedimiento de construcción: Se trata de una figura construida por la iteración de la simetría axial de [...]

Rotación de pentágonos (logo)

Rafael Miranda Molina — Thu, 03 Nov 2005 01:13:00 +0000

En un post anterior mencionaba una curiosidad geométrica con la que me encontré mientras construia el logo del sitio.Básicamente consiste en disponer diez pentagonos regulares de manera que cada uno tenga dos lados adyacentes a otro; se trata de una disposición circular. En efecto, si consideramos el punto J, intersección de las rectas portadoras de [...]

Acerca del logo de GeometriaDinamica.cl

Rafael Miranda Molina — Sun, 12 Jun 2005 04:36:00 +0000

He aqui una curiosidad que encontré hace un par de semanas, cuando ya llevaba varios meses de diseñado el logo del proyecto. Lo construí pensando en formar una “”G”" con figuras geométricas y para esto el pentágono regular me fue muy útil. Sin cuestionarme la razón geométrica por la cual al ubicar el décimo pentágono [...]