En estos días he estado graficando distintos tipos de curvas en Geogebra, usando de ecuaciones paramétricas.
Como voy a mostrar más adelante, este método permite solucionar varios problemas, que surgen al construir lugares geométricos que involucran varias “vueltas”, es decir, ángulos mayores de 360º.
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Hace unos meses describía cómo resolver algunos problemas de construcción, utilizando lugares geométricos, en el post problemas con lugares geométricos. A continuación ilustro la resolución uno que había quedado pendiente, con tal método.
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Hace un tiempo me encontré con algunos problemas de construcción, que aunque son absolutamente distintos, admiten un mismo método para resolverse.
El hilo conductor es un lugar geométrico, distinto en cada caso, que nos da alguna pista de la solución, lo que es muy natural de implementar en un procesador geométrico.
En el capítulo anterior mostraba las construcciones geométricas de curvas polares clásicas, como la Caracol de Pascal, Cicloide de Ceva, Cisoide y Lemniscata de Bernuolli. Todas esas construcciones hechas desde una mirada Euclidiana, es decir, prescindiendo de cualquier sistema de referencia (como el sistema de coordenadas polares).
En éste capítulo, veremos unas construcciones un tanto menos Euclidianas, que involucran elementos como transferencias de medidas y un caso particular de crecimientos proporcionales de longitudes y ángulos.
Finalmente de vuelta a mis andanzas, a pesar de un virus asesino, pendientes interminables, festividades ineludibles y descansos merecidos, ahora con un tema que me causó más de algún problema en la universidad: las curvas polares. He aqui un humilde intento de exorcizar de tanta álgebra unas cuantas curvas que son escencialmente geométricas.
Probablemente todos recordemos las curvas polares por el estudio de sus ecuaciones, tema típico de la geometría analítica. Me imagino (pero no estoy seguro) que se les terminó llamando polares porque su clasificación es razonablemente sencilla en dicho sistema de coordenadas. Sin embargo, las condiciones que permiten definir éstas curvas no requieren de ningún tipo de ecuaciones o sistemas de referencia.
¿Cómo construir una cardioide, lemniscata, cisoide?
Sigo echando mano a esos problemillas que tuve cuando sólo conocía Cabri y Sketchpad, y habían tantas cosas que no se podían hacer, a pesar de parecer tan razonables.
En varios procesadores geométricos se pueden construir elipses por cinco puntos libres, pero cómo construir el centro, focos, ejes, etc. No es un problema tan simple, en especial por el hecho que las cónicas se suelen estudiar desde una perspectiva de geometría analítica más que euclidiana.
¿Qué sabemos de las elipses y su relación con focos y particularmente con el centro?
Un problema que tenía todo el tiempo cuando construía cónicas en Cabri, era con las parábolas. Cabri permite construir cónicas a partir de cinco puntos, lo que para elipses e hipérbolas es sumamente simple, pero ¿Es posible construir a mano alzada una parábola que pase por cinco puntos?
Teóricamente es posible, pero se trata de una imposibilidad práctica y sólo después de pensarlo con mucha calma llegué a una explicación que me convence. A pesar de haber sido resuelto con otros procesadores geométricos, como Kig, no dejan de ser interesantes el “por qué” y el “cómo”.
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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/tag/lugar-geometrico/.
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