En el 2007 mostré cómo realizar construcciones 3D en Geogebra, aprovechando un método comúnmente implementado en Cabri, y que permite simular el giro de los ejes coordenados manteniendo la apariencia tridimensional.

Aprovechando varios avances de este procesador geométrico en los últimos años, en este post muestro ahora cómo, aprovechando una construccion 2D, representarla en este espacio simulado de Geogebra, lo que abre un gran potencial sumamente interesante.
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En Agosto escribí un post, Mecanismos en un Procesador Geométrico, mayormente motivado por el problema que ahora presento.

El problema de la elipse de van Schooten, permite ilustrar cómo el movimiento físico, por ejemplo el de mecanismos, es complejo de simular en un procesador geométrico y requiere de buscar estrategias alternativas.
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Frecuentemente el tema del movimiento surge en el estudio de la geometría, especialmente en el de las transformaciones isométricas, sin embargo este, como dijera en alguna ocasión Hans Freudenthal, es objeto de estudio de la mecánica, más que de la geometría.

En este post me refiero a algunas dificultades para representar el movimiento físico en un procesador geométrico, y a las principales causas, que están directamente vinculadas con la naturaleza del concepto de movimiento para la geometría.
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Frecuentemente en el diseño se habla de “gráficos vectoriales”, los que son el resultado de avances que varios matemáticos hicieron en los años 60 al enfrentar problemas de diseño de carrocerías de autos.

Un gran ejemplo, son las llamadas curvas de Bézier, desarrolladas por el matemático francés Pierre Bézier en la Renault, y que también fueron estudiadas por Paul de Casteljau en la Citroen. En este post veremos cómo el Algoritmo de De Casteljau, para generar una curva de Bézier, genera una familia de otras curvas de menor grado, que están todas relacionadas jerárquicamente.

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Desde hace un par de años que existe una hoja de cálculo en Geogebra, opción que a simple vista podrá parecer la simple adición del clásico Excel y sus fórmulas numéricas. Sin embargo en este caso se trata de una herramienta mucho más potente, pues la “idea” de Excel, esa de escribir fórmulas y luego copiarlas, se integra de manera bastante natural al entorno de geometría, permitiendo realizar iteraciones de construcciones.

Veamos algunos ejemplos…
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Existen muchas expresiones artísticas que hacen uso de la geometría. Quizás no siempre de manera explícita, pero a cualquier persona con alguna formación matemática le habrá pasado que cuando ve alguna obra de arte dice “Eso es …” y a continuación indica un nombre matemático.

Hace poco me encontré con los llamados “Hiloramas” e inmediatamente dije “esas son curvas de Bezier”…
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Las más importantes curvas que se usan actualmente en el diseño computacional son las curvas de Bézier y los B-Splines. Es gracias al trabajo de dos matemáticos franceses, Bézier y de Casteljau, que se desarrollan aplicaciones para el incipiente diseño computacional de los años 60, bajo el alero de la industria automotriz.

El resultado son herramientas que los diseñadores ocupan regularmente, bajo el nombre genérico de “trazados” o diseño vectorial, cuya matemática opera tras bambalinas con las ideas que estos matemáticos franceses, y otros más, desarrollaron.

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Una dificultad frecuente con los procesadores geométricos, está vinculada a los ángulos mayores de 360º. Como mostraba en el post de Cinderella 2.0, es común en tales situaciones que, al superar los 360º, el ángulo se “reinicie”.

En este post muestro cómo tal dificultad requiere de recurrir a otros recursos, para construir curvas que involucran varias revoluciones, como son las “ruletas” y en este caso particular las Cicloides y Trocoides (hipo y epi).
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En estos días he estado graficando distintos tipos de curvas en Geogebra, usando de ecuaciones paramétricas.

Como voy a mostrar más adelante, este método permite solucionar varios problemas, que surgen al construir lugares geométricos que involucran varias “vueltas”, es decir, ángulos mayores de 360º.
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Hace unos meses describía cómo resolver algunos problemas de construcción, utilizando lugares geométricos, en el post problemas con lugares geométricos. A continuación ilustro la resolución uno que había quedado pendiente, con tal método.
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