En el post anterior mostré algunas disecciones que permiten transformar figuras manteniendo el área. Probablemente la más útil de estas transformaciones, es la que permite convertir un rectángulo en un cuadrado y viceversa, pues en muchas situaciones geométricas nos encontramos con igualdades de la forma m² = n·p, lo que puede interpretarse como la igualdad de las áreas de de un cuadrado y un rectángulo.
En este post veremos una aplicación de tal equivalencia, con los teoremas asociados a la altura de un triángulo rectángulo, conocidos en algunos lugares como El Teorema de Euclides, o simplemente el teorema de la altura y el del cateto.
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Geometría, Procesadores geométricos demostración, deslizador, geogebra, movimiento, transformación

En el primer tomo de Geometría de Omer Cano, aparecen lo que define como “transformación” de figuras, queriendo decir el desafío de construir una figura de cierto tipo e igual área a otra dada.
En muchas ocasiones estos esto involucra disecar la figura inicial a conveniencia, para reconstruir la figura buscada, estrategia muy comúnmente usada en demostraciones, como las del teorema de Pitágoras.

Sin embargo, hay ocasiones en que la lógica del puzzle no es suficiente, como las que veremos en este post, y que son transformaciones que mantienen el área sin ser necesariamente isométricas.
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Frecuentemente en el diseño se habla de “gráficos vectoriales”, los que son el resultado de avances que varios matemáticos hicieron en los años 60 al enfrentar problemas de diseño de carrocerías de autos.

Un gran ejemplo, son las llamadas curvas de Bézier, desarrolladas por el matemático francés Pierre Bézier en la Renault, y que también fueron estudiadas por Paul de Casteljau en la Citroen. En este post veremos cómo el Algoritmo de De Casteljau, para generar una curva de Bézier, genera una familia de otras curvas de menor grado, que están todas relacionadas jerárquicamente.

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Frecuentemente la geometría se dan argumentaciones que pueden ilustrarse o inducirse a partir de imágenes. La expresión “una imagen vale más que mil palabras” tiende a ser cierta, aunque muchas veces ciertas ideas son muy complejas para simplificarse sólo en una imagen.

Sin embargo, la geometría dinámica abre la posibilidad de explorar estas relaciones, a través del movimiento, lo que esencialmente consiste en muchas imágenes conectadas entre sí. De esta forma es posible modernizar el concepto de las “demostraciones sin palabras”, para articular lo que podríamos denominar el lenguaje de la geometría.
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Desde ya un tiempo que Geogebra viene incorporando herramientas de estadística y probabilidades, lo que abre un espacio interesante de exploración de estos conceptos. Aprovechando estos avances, estuve los últimos meses diseñando algunas visualizaciones de conceptos clave, como lo que veremos a continuación: los intervalos de confianza para la media.

Como espero ilustrar en este post, la geometría está presente transversalmente en la matemática, de manera que cumple un rol didáctico para mostrar conceptos potentes.

Veamos entonces la interpretación geométrica de los intervalos de confianza… y un poco más.
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Geometría, Procesadores geométricos deslizador, estadística, función, geogebra

Ultimamente he estado más cercano a la estadística que a la Geometría, lo que me ha permitido reconstruir aprendizajes además de hacer algunas relaciones que nunca me fueron tan evidentes.

Particularmente de lo que voy a hablar hoy, es sobre la Media y la Varianza, pero aprovechando la geometría, y Geogebra particularmente, para ilustrar la interpretación geométrica de ambas, buscando entender mejor qué son y para qué sirven.
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Artículos, Geometría deslizador, estadística, función, geogebra

El arte islámico es probablemente el mejor exponente de técnicas prácticas para crear diseños que involucran simetría. En particular, los artistas islámicos han hecho un gran uso de la simetría propia del hexágono regular y triángulos equiláteros, para crear intrincados diseños con gran creatividad.

En este post veremos una forma simple de crear diseños islámicos a partir de un hexágono regular, aprovechando las ventajas de Geogebra y las mallas isométricas.
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Estando apunto de cerrarse el carnaval de matemáticas 2.6, y habiendo celebrado recientemente las fiestas patrias en Chile, aprovecho de hacer una pequeña nota sobre nuestro principal símbolo patrio.

Conocida como la “Estrella solitaria”, la bandera chilena cuenta con una estructura geométrica simple y que ha cambiado con los años, tanto en sus colores como dimensiones.

Veamos un poco sobre la geometría de nuestra bandera.
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El mes pasado me encontré con una animación en un blog, que es relativamente simple, y que al observarla con detención se puede apreciar un recurso típico de animaciones que inducen la idea de movimiento ondulatorio.

Construyendo esta en Geogebra, recurrí a las secuencias de iteración, y aplicando la idea a varios objetos distintos, voy a ilustrar lo que podríamos llamar “animaciones equivalente”, o incluso, estructuralmente idénticas.
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Regularmente las teselaciones involucran figuras congruentes y transformaciones isométricas, pero el tipo que voy a mostrar a continuación está vinculada a la composición de rotaciones y homotecias y son una forma gráfica de ilustrar la idea de infinito.

Otro aspecto interesante, está en el requerir de estrategias concretas de iteración de transformaciones geométricas, y en este caso, utilizaré un recurso relativamente nuevo de Geogebra, llamado “secuencias” (de iteración).

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