Geometría Dinámica

Imprimiendo fractales en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 21 Nov 2011 00:30:04 +0000

Los fractales son probablemente los objetos geométricos más interesantes y atractivos, pero no menos complejos y por ello es que no logramos "verlos" hasta que contamos con computadores realmente capaces para tamaña tarea.

En este post voy a mostrar algunos fractales construidos con un método que en gran medida se aproxima al funcionamiento de una típica impresora.

Hoja de cálculo en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Sun, 13 Nov 2011 23:52:22 +0000

Desde hace un par de años que existe una hoja de cálculo en Geogebra, opción que a simple vista podrá parecer la simple adición del clásico Excel y sus fórmulas numéricas. Sin embargo en este caso se trata de una herramienta mucho más potente, pues la "idea" de Excel, esa de escribir fórmulas y luego copiarlas, se integra de manera bastante natural al entorno de geometría, permitiendo realizar iteraciones de construcciones.

Veamos algunos ejemplos...

Minimizando la dispersión

Rafael Miranda Molina — Mon, 31 Oct 2011 18:58:55 +0000

Ultimamente he estado más cercano a la estadística que a la Geometría, lo que me ha permitido reconstruir aprendizajes además de hacer algunas relaciones que nunca me fueron tan evidentes.

Particularmente de lo que voy a hablar hoy, es sobre la Media y la Varianza, pero aprovechando la geometría, y Geogebra particularmente, para ilustrar la interpretación geométrica de ambas, buscando entender mejor qué son y para qué sirven.

La idea central de este post proviene de un artículo del profesor Carlos Araújo de la Universidad Católica, relativo a la definición de la Media, de lo cual se desprenden algunas ideas geométricas que muestro más adelante.

Hiloramas en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Fri, 21 Oct 2011 15:08:49 +0000

Existen muchas expresiones artísticas que hacen uso de la geometría. Quizás no siempre de manera explícita, pero a cualquier persona con alguna formación matemática le habrá pasado que cuando ve alguna obra de arte dice "Eso es ..." y a continuación indica un nombre matemático.

Hace poco me encontré con los llamados "Hiloramas" e inmediatamente dije "esas son curvas de Bezier"...

Mosaicos islámicos hexagonales

Rafael Miranda Molina — Thu, 13 Oct 2011 00:46:38 +0000

El arte islámico es probablemente el mejor exponente de técnicas prácticas para crear diseños que involucran simetría. En particular, los artistas islámicos han hecho un gran uso de la simetría propia del hexágono regular y triángulos equiláteros, para crear intrincados diseños con gran creatividad.

En este post veremos una forma simple te crear diseños islámicos a partir de un hexágono regular, aprovechando las ventajas de Geogebra y las mallas isométricas.

La estrella solitaria

Rafael Miranda Molina — Sun, 25 Sep 2011 02:43:48 +0000

Estando apunto de cerrarse el carnaval de matemáticas 2.6, y habiendo celebrado recientemente las fiestas patrias en Chile, aprovecho de hacer una pequeña nota sobre nuestro principal símbolo patrio.

Conocida como la "Estrella solitaria", la bandera chilena cuenta con una estructura geométrica simple y que ha cambiado con los años, tanto en sus colores como dimensiones.

Veamos un poco sobre la geometría de nuestra bandera.

Aprender geometría creando soluciones

Rafael Miranda Molina — Fri, 23 Sep 2011 12:57:34 +0000

Se han abierto las inscripciones para una nueva versión del curso "Aprender geometría, creando soluciones", ahora orientado a docentes de matemática de enseñanza media.

En modalidad b-learning (semi-presencial), el curso se dicta a través del www.e-mineduc.cl y se puede encontrar una completa descripción en el siguiente enlace http://www.e-mineduc.cl/portal/?q=node/110.

Arte generativo en el PentaUC

Rafael Miranda Molina — Thu, 15 Sep 2011 23:57:49 +0000

Llevo algunos meses hablando del arte generativo, tema en el que me embarqué hace casi un año, en un entusiasmo por vincular la geometría y la programación.

Ya he mostrado muchos ejemplos de qué podemos hacer con estos programas, lo que también fue parte de la preparación, pero en esta ocasión quiero mostrar algunos trabajos de mis alumnos.

Veamos entonces qué hicimos en el curso "Arte generativo digital" en el Penta UC este verano.

La primera versión de este curso, se desarrolló durante la temporada de verano de este año, que correspondió a 10 clases de 4 horas cronológicas. En este trabajamos con 26 alumnos de 1º y 2º del Penta UC.

Ejemplos de CindyScript

Rafael Miranda Molina — Mon, 25 Jul 2011 23:07:06 +0000

Uno de los elementos más atractivos de Cinderella 2, es la inclusión de Cindyscript, un lenguaje de programación orientado a la integración con el entorno de geometría.

Si bien la mayoría de las herramientas de construcción permiten ya una gran variedad de posibilidades, Cindyscript permite ampliar significativamente el espectro de acciones posibles, y además añade un componente sumamente interesante de un punto de vista pedagógico.

A continuación incluyo algunos ejemplos, para en un futuro cercano elaborar más sobre los alcances didácticos.

Fractales en movimiento

Rafael Miranda Molina — Mon, 27 Jun 2011 16:04:13 +0000

En mayo mostré algunos ejemplos de Structure Synth, para construir estructuras basadas en la iteración de transformaciones geométricas. En el post anterior, vimos cómo se transforma un fractal 3D, al ordenadamente modificar uno de los parámetros que permite construirlo.

En este post incluyo varios ejemplos más, de cómo un fractal 3D se convierte en otro, al modificar un ángulo que lo genera.

Carnavales 2.0 de matemática en español

Rafael Miranda Molina — Sun, 29 May 2011 19:29:32 +0000

En los últimos meses este blog estuvo un poco inactivo, pero los carnavales de matemáticas en español han seguido avanzando y ya se acaba de realizar la versión 2.4.

A modo de actualización, dejo algunos enlaces sobre esta iniciativa.

Para quienes no los conocen, los carnavales de matemáticas en español, es una iniciativa que reune a distintos bloqueros que durante una o dos semanas escribimos sobre matemáticas en nuestros respectivos blog. Luego, en el blog anfitrión se realiza un resumen de los distintos aportes.

Hasta el año pasado, la comunidad del carnaval estuvo alojada en drupalgrdens, pero ahora está en una nueva ubicación: http://carnavaldematematicas.bligoo.es.

En este segundo año de carnavales de matemáticas en español, ya vamos en la cuarta edición, reciéntemente albergada en el blog Seis palabras, cuyo resumen se encuentra en la siguiente dirección: http://seispalabras-clara.blogspot.com/2011/05/resumen-de-la-edicion-24-del-carnaval.html.

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Variaciones de un fractal 3D

Rafael Miranda Molina — Sat, 21 May 2011 22:28:52 +0000

En el post anterior mostré varias imágenes creadas con Structure Synth, un potente programa que permite generar complejas estructuras iterando transformaciones geométricas 3D. Varios de estos ejemplos son fractales, como las distintas variaciones de árboles pitagóricos que mostré al final, y el que veremos a continuación es una especie de nube o planta formada por esferas.

En este post iremos un poco más allá, mostrando las distintas variedades que este fractal 3D adopta, cuando se modifica el ángulo de una de las rotaciones que lo genera.

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Structure Synth

Rafael Miranda Molina — Thu, 12 May 2011 20:43:54 +0000

En post anteriores mostré varios ejemplos de diseños creados con Context Free, los que en su mayoría involucran potentes ideas matemáticas como la iteración recursiva de transformaciones geométricas.

En esta capítulo, sigo con un pariente de Context Free, que funciona con una lógica similar, pero ahora en el espacio.

Veamos este "sintetizador de estructuras" llamado Structure Synth.

Explorando fractales en Context Free

Rafael Miranda Molina — Wed, 29 Dec 2010 01:23:01 +0000

En abril y mayo estuve explorando la última versión de Cinderella, especialmente en cuanto a las transformaciones geométricas y fractales. En tales ocasiones mostré cómo se podían definir semejanzas para construir fractales, utilizando los Sistemas de Funciones iteradas.

En esta ocasión voy a mostrar ideas muy similares, pero con un enfoque más numérico, en Context Free.

Así, con ayuda de un poco de JavaScript, implemento algunos elementos para modificar los parámetros con los que se construyen algunos fractales.

Curvas de Bézier

Rafael Miranda Molina — Sun, 19 Dec 2010 23:48:49 +0000

Las más importantes curvas que se usan actualmente en el diseño computacional son las curvas de Bézier y los B-Splines. Es gracias al trabajo de dos matemáticos franceses, Bézier y de Casteljau, que se desarrollan aplicaciones para el incipiente diseño computacional de los años 60, bajo el alero de la industria automotriz.

El resultado son herramientas que los diseñadores ocupan regularmente, bajo el nombre genérico de "trazados" o diseño vectorial, cuya matemática opera tras bambalinas con las ideas que estos matemáticos franceses, y otros más, desarrollaron.

Ramas aleatorias en Context free

Rafael Miranda Molina — Sat, 11 Dec 2010 01:33:11 +0000

En el post anterior mostré algunos ejemplos de diseños creados con Context free, un programa que hace uso de gramáticas libre de contexto para generar imágenes a veces muy complejas.

Los elementos que entran en juego aquí, son transformaciones geométricas que se aplican recursivamente hasta cierto límite, y así se pueden obtener imágenes compuestas por miles o incluso millones de figuras.

Lo que voy a mostrar ahora, es una descripción paso a paso de la construcción de una "planta", para ilustrar las procesos que combinan elementos determinísticos y aleatorios.

Arte generativo con Context Free

Rafael Miranda Molina — Sat, 20 Nov 2010 00:57:55 +0000

Luego del quinto aniversario de este Blog, me he propuesto ampliar un poco el espectro de temas, acercándome especialmente a un área en la que enseño desde hace algunos años: la programación.

En el primer post de esta nueva categoría, voy a mostrar algunos ejemplos de diseños, a veces muy complejos, generados a partir de códigos relativamente simples, lo que tiene una directa relación con los fractales.

Para ello voy a recurrir a un interesante lenguaje que conocí sólo unos meses atrás, llamado "Context free".

Esta entrada participa en el Octavo carnaval de matematicas en español, organizado en el Blog de Juan Martínez-Tébar: Los matemáticos no son gente seria.

Si bien todo el sentido de este blog parte de mi entusiasmo por la geometría, en los últimos años me he venido vinculando más con la programación, y este verano tendré el privilegio de dictar un curso de arte generativo en el Penta UC, lo que se articula iterando transformaciones geométricas.

Quizás ha sido el estar escuchando con mayor atención las palabras de Mandelbrot en los últimos meses lo que más me ha motivado a buscar formas de construir fractales y así di con algunos lenguajes que tienen mucho en común con estos temas, como el que voy a mostrar ahora, Context Free, que en palabras de sus autores es:

... un programa que genera imágenes a partir de instrucciones escritas, lo que se denomina gramática. El programa sigue estas instrucciones y en unos pocos segundos crea imágenes que pueden contener millones de figuras.

Este proceso se lleva a cabo, iterando las reglas definidas a partir de círculos, cuadrados o triángulos, hasta que las figuras son más pequeñas que un pixel.

En fin, sin explicar mucho de la gramática de Context Free, dejo a continuación algunos ejemplos para los usuarios inquietos que quieran jugar un poco con estos códigos.

Cinco años del Blog

Rafael Miranda Molina — Fri, 12 Nov 2010 23:07:18 +0000

Hace un par de semanas se cumplieron cinco años desde que di inicio a este blog, que en sus orígenes era un proyecto de comunidad de profesores de matemática. A poco andar me propuse convertir tal comunidad, entonces de ASP Nuke, en un Blog (ahora de Wordpress).

Hace poco también se cumplió la marca de los primeros 100 post, lo que es una cantidad ínfima en comparación a muchos Blogs, pero que no deja de ser para este humilde experimento.

A continuación resumo las principales ideas que he escrito en el Blog, para dar paso a una nueva etapa que espero delinear en las próximas semanas.

Fractales: Los colores del infinito

Rafael Miranda Molina — Sun, 24 Oct 2010 14:25:00 +0000

La semana pasada nos enteramos de la muerte de Mandelbrot, el gran precursor de la geometría fractal, y en el contexto de un nuevo carnaval de matemáticas en español, estuve pensando cuál sería el mejor homenaje que podemos hacerle a este brillante matemático.

Ocurre que, a diferencia de muchos otros casos, Mandelbrot si fue reconocido en vida y también alcanzó a ver muchas aplicaciones de esta nueva geometría que desarrollara.

Esta semana me tomé el tiempo de traducir al español uno de tantos homenajes, en los que el mismo pudo participar, un notable documental presentado por el gran Arthur C. Clarke.

Esta entrada participa en el Séptimo carnaval de matematicas en español, organizado desde el Blog El Máquina de Turing.

La matemática del coral (Margaret Wertheim)

Rafael Miranda Molina — Sun, 10 Oct 2010 23:38:22 +0000

El caso de la geometría hiperbólica no deja de ser sorprendente. Parte como un experimento teórico, una "geometría imaginaria" en la que se supone falso el quinto postulado de Euclides, de manera que existen inifitas paralelas (a una dada, por un punto exterior).

A pesar de ser una construcción teórica (supongamos que existen infinitas paralelas), tal geometría termina siendo un modelo que tiene sentido en el mundo real.

En esta charla de TED.com, Margaret Wertheim nos explica de qué se trata esta geometría que encarnan los corales y las babosas de mar, y cómo desarrolló un proyecto para modelar estas estructuras con tejido a crochet.

Equilibrio y el número de oro

Rafael Miranda Molina — Sat, 25 Sep 2010 19:47:11 +0000

El número de oro suele aparecer en los lugares más insospechados y el autor de uno de los artículos a los que haré referencia, lo describe muy bien. El dice, que "es siempre intrigante encontrarse con viejos amigos en nuevos contextos".

El problema que voy a mostrar, se trata de poder mantener en equilibrio una pieza en forma de "L", o mejor dicho, se trata de determinar las proporciones con las debe contar para que se equilibre en un vértice.

Podrá parecer que ya he adelantado el final, pero no lo he hecho, porque el problema de la L es sólo el principio.

La ilusión de los triángulos

Rafael Miranda Molina — Sun, 19 Sep 2010 14:31:24 +0000

Este es un problema más interesante de lo que puede parecer a simple vista. Se trata de la variación de una especie de ilusión óptica, en la que "mágicamente" desaparece un cuadrado.

Más allá de cómo clasificarlo, es un excelente ejemplo de qué quiere decir pensar "geométricamente".

Geogebra 4 y 3D (Beta)

Rafael Miranda Molina — Fri, 10 Sep 2010 01:32:00 +0000

Hace un par de semanas me recomendaron la Beta de Geogebra 4, que cuenta con varias características nuevas, y ya es posible de probar como un WebStart.

Otra versión que también se está desarrollando, es la 3D, que simula un entorno tridimensional con algunas herramientas para trabajar con rectas, planos y esferas.

A continuación dejo enlaces y applets para ambas versiones de prueba.

Resolución de problemas (Dan Meyer)

Rafael Miranda Molina — Tue, 31 Aug 2010 21:19:33 +0000

La resolución de problemas es un eje central de la educación matemática, aunque muchas veces le llamamos problemas a simples ejercicios con enunciado.

Así ocurre que gran parte de estos pseudo-problemas, aparecen pre-cocinados en los textos escolares, con lo que se pierde todo el sentido de la resolución de problemas, especialmente cuando se apela al desarrollo de habilidades.

En esta interesante charla, Dan Meyer nos muestra cómo existe una visión facilista de la educación matemática, y lo ilustra haciendo un paralelo con las sitcom (comedias de situaciones), en las que siempre se presentan problemas capaces de resolverse en 20 minutos.

Cicloides y trocoides

Rafael Miranda Molina — Thu, 19 Aug 2010 00:26:20 +0000

Una dificultad frecuente con los procesadores geométricos, está vinculada a los ángulos mayores de 360º. Como mostraba en el post de Cinderella 2.0, es común en tales situaciones que, al superar los 360º, el ángulo se "reinicie".

En este post muestro cómo tal dificultad requiere de recurrir a otros recursos, para construir curvas que involucran varias revoluciones, como son las "ruletas" y en este caso particular las Cicloides y Trocoides (hipo y epi).

Normalmente al estudiar este tipo de curvas, nos interesa cómo se generan, haciendo referencia a giros. Por ejemplo, la curva que describe un punto fijo de la rueda de una bicicleta, al rodar sobre el piso, por fuera de una circunferencia, o por dentro.

A pesar de que tal descripción es bastante natural, su implementación no es siempre tan directa. Así me he encontrado con que es más conveniente su construcción a partir de las ecuaciones paramétricas, como mostraré a continuación.

Fractales y el arte de la fracturación (Benoit Mandelbrot)

Rafael Miranda Molina — Mon, 26 Jul 2010 05:51:05 +0000

Normalmente cuando se habla de fractales, se suele hacer referencia a la "irregularidad" y la complejidad, pero no para Benoit Mandelbrot principal gestor de la geometría fractal.

En esta charla de Ted.com, Mandelbrot ilustra cómo los fractales aparecen de la inifita iteración de reglas esencialmente simples, y más que irregulares son más bien "ásperos".

Animaciones equivalentes

Rafael Miranda Molina — Wed, 09 Jun 2010 14:10:44 +0000

El mes pasado me encontré con una animación en un blog, que es relativamente simple, y que al observarla con detención se puede apreciar un recurso típico de animaciones que inducen la idea de movimiento ondulatorio.

Construyendo esta en Geogebra, recurrí a las secuencias de iteración, y aplicando la idea a varios objetos distintos, voy a ilustrar lo que podríamos llamar "animaciones equivalente", o incluso, estructuralmente idénticas.

En varias otras ocasiones, me he referido a lo que me gusta describir como actividades de reconstrucción, que son esos post en los que parto de un diseño e intento replicarlo y describir cómo está construido. Todos estos post se pueden encontrar con la etiqueta reconstrucción.

La reconstrucción de esta ocasión, a diferencia de todas las demás, está referida a una animación, más que un diseño estático. De todas maneras, la idea general similar, sólo que aprovecharemos las animaciones de deslizadores de Geogebra para darle movimiento al diseño.

Variedades de la rosa polar

Rafael Miranda Molina — Wed, 12 May 2010 19:59:25 +0000

En estos días he estado graficando distintos tipos de curvas en Geogebra, usando de ecuaciones paramétricas.

Como voy a mostrar más adelante, este método permite solucionar varios problemas, que surgen al construir lugares geométricos que involucran varias "vueltas", es decir, ángulos mayores de 360º.

En la próxima semana voy a aprovechar estas ideas para revisitar el problema de las cicloides (epicicloides e hipocicloides), pero en esta ocasión me voy a centrar en una familia de curvas muy interesante, como es la Rosa Polar.

Esta entrada participa en el cuarto carnaval de matematicas en español, organizado en el Blog Zurditorium.com.

Cinderella 2.0

Rafael Miranda Molina — Sat, 08 May 2010 00:16:45 +0000

En los últimos meses, he mostrado algunas características de Cinderella 2.0, principalmente vinculadas a las transformaciones geométricas, para crear tanto Grupos de Transformaciones como fractales.

En esta ocasión voy a mostrar otras características, algunas de ellas bastaste singulares, pues vinculan la física y la programación al entorno de geometría.

Cuarto carnaval de matemáticas

Rafael Miranda Molina — Sat, 01 May 2010 20:51:09 +0000

La cuarta edición del carnaval de matemáticas en español, se ha definido para la semana del 10 al 16 de Mayo, y el Blog anfitrión será Zurditorium.com.

Fractales en Cinderella 2

Rafael Miranda Molina — Fri, 30 Apr 2010 22:34:20 +0000

El mes pasado mostraba el nuevo enfoque que le han dado a las transformaciones en Cinderella 2, especialmente con la creación de los grupos de transformaciones. En esta ocasión, vamos a llevar esa idea más allá, para crear fractales a partir de un método denominado "Sistema de funciones iteradas" (SFI).

Como veremos a continuación, muchos fractales se pueden reducir a la iteración de semejanzas o transformaciones afines, y para suerte nuestra ambas existen en la nueva versión de Cinderella.

Así, veremos como aprovechar los SFI para construir la curva de Koch, el triángulo de Sierpinski, el helecho de Barnsley y varios más.

Resumen tercer carnaval de matemáticas

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Apr 2010 01:52:21 +0000

Estimadas y estimados, tal como veníamos anunciando en las últimas semanas, celebramos hoy el Tercer Carnaval de matemáticas en español, y con el propósito de dar por cerrado el evento, paso a resumir los aportes realizados por los participantes.

Para esta edición, participan 29 Blogs con 39 aportes, que corresponden a temas bien diversos, como matemáticas recreativas, Cálculo, Geometría, Números, Lógica y Matemática aplicada...

Círculos en Milk Hill

Rafael Miranda Molina — Fri, 16 Apr 2010 23:43:59 +0000

En el capítulo anterior mostraba la construcción de la Cadena de Pappus, pero el objetivo real de ese post, era dar paso a esta reconstrucción, que intenté unos años atrás.

Se trata de un diseño que se aparece en Wiltchire en el 2001 y que aun es consignado como el más grande de todos los "crop circles".

Fue el domingo 12 de Agosto de 2001, cuando se registra la aparición de estos misteriosos círculos en Milk Hill, el punto más alto del condado de Wiltshire (Inglaterra).

El colosal diseño está compuesto por más de 400 círculos de distintos tamaños, 68 de ellos formando seis cadenas de 13 eslabones, giradas en 60º, en torno a un círculo central. Acompañando a cada uno de los círculos principales, se ubican 6, 4 ó 2 círculos, más pequeños (satélites).

Cadena de Pappus

Rafael Miranda Molina — Thu, 08 Apr 2010 15:46:20 +0000

Hace algunos años, presté alguna atención a unos diseños que misteriosamente aparecen en campos de trigo o "Crop circles", más que por su origen, por lo complejos y altamente llamativos elementos geométricos que exhiben.

En esta ocasión, me centraré en una construcción que, en la próxima semana, me servirá para reconstruir un cropcircle muy famoso, y que puede relacionarse con un caso particular del problema de Apolonio.

Veamos esta cadena de Pappus...

Teselaciones radiales

Rafael Miranda Molina — Wed, 31 Mar 2010 20:14:17 +0000

Regularmente las teselaciones involucran figuras congruentes y transformaciones isométricas, pero el tipo que voy a mostrar a continuación está vinculada a la composición de rotaciones y homotecias y son una forma gráfica de ilustrar la idea de infinito.

Otro aspecto interesante, está en el requerir de estrategias concretas de iteración de transformaciones geométricas, y en este caso, utilizaré un recurso relativamente nuevo de Geogebra, llamado "secuencias" (de iteración).

Transformaciones en Cinderella 2

Rafael Miranda Molina — Wed, 24 Mar 2010 21:33:36 +0000

Desde hace algunas semanas he estado probando la nueva versión de Cinderella (2.0), la cual cuenta con una importante cantidad de nuevas funcionalidades respecto a su versión (1.4).

En unas semanas más espero dar una revisión completa, pero para esta ocasión me voy a centrar en mostrar algunas de las ventajas que trae en lo que respecta a las transformaciones geométricas.

Tercer carnaval de matemáticas

Rafael Miranda Molina — Tue, 16 Mar 2010 21:35:30 +0000

Luego de dos exitosas ediciones del carnaval de matemáticas, ya se ha programado la tercera edición, para el lunes 19 de abril, en la que Geometría Dinámica será el Blog anfitrión.

Recordemos que los carnavales de matemáticas en español, se vienen organizando desde Febrero, gracias a la iniciativa de José Antonio Prado, académico de la Universidad de Sevilla (aka. Tito Eliatron) y un grupo creciente de blogueros de varios países.

La dinámica de trabajo ha consistido en que cada participante publica en su propio Blog una entrada relativa a algún tema matemático; y en el día del evento se realizará un resumen de todas la publicaciones en el Blog anfitrión.

Teselación triple en Masjid Negara

Rafael Miranda Molina — Sat, 13 Mar 2010 20:04:02 +0000

El arte islámico es una fuente inagotable de los más diversos diseños geométricos, que no solo impresionan por su orden y simetría, sino también por su complejidad. Un aspecto sumamente interesante que tienen estos diseños, y que en este caso pretendo ilustrar, es que suelen relacionar distintos tipos de teselaciones.

En esta ocasión, me voy a centrar en el diseño de unas murallas de Masjid Negara, la mesquita nacional de Malasia, que consiste en una interesante superposición de teselaciones con rectángulos relacionados con un hexágono regular.

Como veremos al final, se trata no de una sola teselación, sino de la superposición de tres diseños muy simples (cada uno).

Tutorial: Animaciones compuestas en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Sun, 07 Mar 2010 02:07:30 +0000

Hace un tiempo que vengo mostrando ejemplos de animaciones creadas en Geogebra, principalmente aquellas que se componen de varias transformaciones sucesivas, como las que ilustran situaciones del Pool.

A continuación dejo un tutorial para crear estas animaciones, de manera que puedan ser controladas con un deslizador en Geogebra o en otro procesador geométrico similar.

El mecanismo de Jansen

Rafael Miranda Molina — Fri, 12 Feb 2010 21:06:17 +0000

Los mecanismos son una gran oportunidad para hacer geometría, sus construcciones involucran una gran cantidad de factores que no siempre son tan visibles, como la curva que algún extremo describiría si se modifica una parte de este.

Justamente este tipo de curvas es el que le permitió a Theo Jansen crear sus esculturas que caminan impulsadas por el viento, las que no sólo son un gran desafío de diseño, también son una genialidad artística.

Carnaval de matemáticas

Rafael Miranda Molina — Sun, 31 Jan 2010 00:05:37 +0000

Recientemente se ha organizado una iniciativa de creación y difusión de contenidos matemáticos a través de la Blogosfera, llamada Carnaval de matemáticas. La idea, inspirada en su versión en inglés, y que cuenta con un símil para física, es una iniciativa abierta a todos aquellos que tengan interés por escribir sobre temas matemáticos.

Deduciendo Pitágoras desde la demostración

Rafael Miranda Molina — Fri, 22 Jan 2010 20:05:46 +0000

Regularmente las demostraciones del Teorema de Pitágoras son “contenidos” que aparecen posteriormente a la “presentación” del mismo, y probablemente después de haberlo aplicado varias veces. Así la demostración tiende a explicar el “por qué” de una propiedad, pero estas ideas con las que demostramos las propiedades, también son útiles para deducirlas / descubrirlas.

A continuación comento algunas ideas sobre cómo deducir Pitágoras a partir de su demostración.

Carmetal 3.1

Rafael Miranda Molina — Fri, 15 Jan 2010 15:16:35 +0000

Tal como lo anunciaba en Noviembre, he estado revisando CarMetal, un procesador geométrico más conocido como Regla y Compás, que en esta versión en particular cuenta con un rediseño de su interfaz.

Como veremos a continuación, esta versión 3.1.1 cuenta con una contundente lista de funcionalidades que lo convierten en una interesante ampliación del programa de René Grothmann.

Animaciones compuestas en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 21 Dec 2009 22:47:36 +0000

En el capítulo anterior, hablaba de animaciones simples en Geogebra, y para continuar la idea veremos ahora algunos ejemplos de animaciones compuestas.

Las animaciones compuestas consisten en una secuencia de transformaciones, es decir, se anima una tras otra, lo que aquí ilustro cómo controlar con un deslizador.

Tutorial: Animaciones en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 15 Dec 2009 02:22:28 +0000

Una característica relativamente reciente en los procesadores geométricos, es aquella que permite controlar animaciones, principalmente a través de los llamados "deslizadores".

En este post voy a mostrar paso a paso cómo crear animaciones simples en Geogebra, estas son las que cuentan con sólo una transformación. Posteriormente, veremos una extensión de esta idea, para realizar animaciones más complejas.

El lenguaje de la simetría (Marcus du Sautoy)

Rafael Miranda Molina — Tue, 24 Nov 2009 01:51:45 +0000

Transformaciones isométricas y simetría son dos conceptos que van de la mano, las primeras las estudiamos muchas veces como movimientos, mientras que la simetría pareciera estar de fondo. Otra forma de decir esto es que las transformaciones son dinámicas, mientras que la simetría estática.

En esta charla de Ted.com, Marcus Du Sautoy describe esta relación entre transformación y simetría, a partir de lo que denomina el lenguaje de la simetría, creado por Galois.

Ejemplos de CarMetal

Rafael Miranda Molina — Tue, 17 Nov 2009 01:49:27 +0000

Hace un tiempo me recomendaron CarMetal, un rediseño del llamado Regla y Compás (Zirkel, RyC, Car, etc.), el que en un principio era simplemente una nueva interfaz, pero en sus últimas versiones ha incorporado una serie de características bien interesantes, como controles, construcciones 3D, condiciones para mostrar / ocultar objetos y varias más.

En las próximas semanas planeo revisar esta aplicación y por el momento, dejo algunos ejemplos ilustrativos.

Fractales africanos (Ron Eglash)

Rafael Miranda Molina — Sat, 07 Nov 2009 02:49:36 +0000

Entre los cientos de charlas que hay en TED.com, me encontré con un par relativas a geometría y a continuación incluyo una de ellas. Se trata de la investigación de Ron Eglash, Etnomatemático que muestra los diversos hallazgos de fractales en África, e ilustra cómo estos conocimientos han surgido naturalmente como parte de su cultura.

A continuación el video subtitulado y la transcripción con algunas ilustraciones.

Evolución de cuadrados

Rafael Miranda Molina — Wed, 21 Oct 2009 22:13:32 +0000

Hace un tiempo me encontré con un afiche que contenía un diseño que llamó mucho la atención, pues se componía de unas serie de figuras que van sucesivamente modificándose, lo que induce la idea de evolución o transformación. Esto tiene gran similitud con algunos diseños de Escher, justamente llamados evolución.

Finalmente me di el tiempo de mirar con mayor atención el afiche y ahora muestro cómo logré reconstruirlo en Geogebra.

Tutorial: Ejercicios en Cinderella

Rafael Miranda Molina — Thu, 15 Oct 2009 02:24:48 +0000

En un par de capítulos anteriores he venido mostrando Cinderella, al menos su versión gratuita (1.4.2) y particularmente su editor de ejercicios, con el que se pueden crear applets para realizar construcciones en páginas Web, que además indican cuando se ha construido la “solución”. A continuación, un tutorial para crear estos ejercicios. Recordemos que ahora [...]

Galería de diseños islamicos

Rafael Miranda Molina — Wed, 07 Oct 2009 19:55:35 +0000

En algunas ocasiones anteriores he hablado de las actividades de reconstrucción, como desafíos en los que, a partir de un diseño geométrico, buscamos descubrir los principios que permitieron su construcción. Esto permite generar dos productos: una réplica idealizada del diseño y las instrucciones que permiten reconstruirlo. En un futuro, relativamente cercano, espero referirme más a [...]

Ejercicios de Construcción con Cinderella

Rafael Miranda Molina — Wed, 30 Sep 2009 02:48:09 +0000

Una de las características más útiles de Cinderella, en relación a la geometría escolar, son los ejercicios de construcción, puesto que permiten realizar construcciones en páginas Web, y agregar tanto sugerencias como mensajes de éxito. A continuación agrego ocho de ellos, y espero en las próximas semanas preparar algún tutorial sobre su construcción. Bueno, mi [...]

Problemas con lugares geométricos 2

Rafael Miranda Molina — Tue, 22 Sep 2009 21:12:34 +0000

Hace unos meses describía cómo resolver algunos problemas de construcción, utilizando lugares geométricos, en el post problemas con lugares geométricos. A continuación ilustro la resolución uno que había quedado pendiente, con tal método. Recordemos de qué se trataba este método. En tal ocasión (Enero 2009), mostraba las soluciones de tres problemas de construcción: Construir una [...]

Taller de teselaciones

Rafael Miranda Molina — Sat, 12 Sep 2009 23:45:42 +0000

En estos días estuve preparando un taller de teselaciones, y echando mano a algunas cosas previamente publicadas, generé una versión imprimible de un artículo anterior: Siete formas de teselar. A continación comparto el material generado… Existen varias formas de usar este material, ya sea, para mostrar cómo teselar de varias formas, replicar o incluso relacionar [...]

ScreenCast #3: Medidas y cálculos en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 31 Aug 2009 18:58:04 +0000

Continuando con ideas un tanto pendientes, y aprovechando algunas nuevas características de Geogebra, en este tercer capítulo centramos la atención en las medidas y los cálculos que podemos realizar con ellas. Hace varios meses que esperaba continuar el ScreenCast, pero ya finalmente he podido armar un nuevo capítulo. Un aspecto que he modificado, es la [...]

Geogebra 3.2

Rafael Miranda Molina — Wed, 19 Aug 2009 06:38:56 +0000

Recientemente se ha liberado una nueva versión de Geogebra: 3.2. Dentro de los principales cambios, contamos con una mejorada interfaz, más amigable, que permite, por ejemplo, realizar construcciones a partir de varios objetos, como trasladar o rotar varios arcos en una teselación. Además, se cuenta con varias herramientas nuevas (cónicas, reflexión respecto a círculos, etc.) [...]

Modelos 3D de Kirigami

Rafael Miranda Molina — Sat, 08 Aug 2009 23:48:13 +0000

En el post anterior, me dediqué a traducir un pequeño artículo de George W. Hart, relativo a lo que llama Kirigami Modular, es decir, estructuras formadas al ensamblar copias de distintos polígonos regulares y estrellados. En este post, muestro los modelos 3D de Hart y las plantillas optimizadas para imprimir. Cabe destacar que gran parte [...]

Kirigami modular de George W. Hart

Rafael Miranda Molina — Sat, 01 Aug 2009 03:21:00 +0000

Me he encontrado hace poco con un artículo en un Blog, relativo a modelos tridimensionales creados por George Hart y finalmente me he entusiasmado en traducir el documento al español. Después de un poco de investigación, me he encontrado con que podríamos clasificarlo como un tipo especial de Kirigami, es decir, el equivalente al Origami, [...]

Aprender geometría creando soluciones

Rafael Miranda Molina — Thu, 30 Jul 2009 07:25:10 +0000

Se han abierto las inscripciones para una nueva versión del curso “Aprender geometría, creando soluciones”, ahora orientado a docentes de matemática de establecimientos técnico-profesionales. En modalidad b-learning (semi-presencial), el curso se dicta a través del CpeipVirtual y se puede encontrar una completa descripción en el sitio www.geometria.cl. Además se han abierto las inscripciones para el [...]

Cinderella gratuito

Rafael Miranda Molina — Thu, 04 Jun 2009 00:39:21 +0000

Con motivo de celebrar su aniversario nº 12, se ha liberado la versión 1.4 de Cinderella, un poderoso procesador geométrico con unas cuantas características particularmente interesantes como las vistas de geometrías no euclidianas y la capacidad de crear de ejercicios de construcción. A continuación veremos más en detalle de qué se trata de Cinderella y [...]

ScreenCast #2: Primeros pasos en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Wed, 22 Apr 2009 01:04:17 +0000

En esta segunda entrega del ScreenCast de Geometría Dinámica, vemos las distintas regiones de la ventana de Geogebra y el uso básico de sus herramientas. Además, ahora se incluyen algunos ejercicios propuestos, a modo de práctica y también de ejemplo de las construcciones típicas esperables a este nivel. Capítulo 2: Primeros pasos [...]

Versión 3.0

Rafael Miranda Molina — Sun, 05 Apr 2009 01:43:14 +0000

Estimadas y estimados, se acaba de habilitar la versión 3.0 de GeometriaDinamica.cl, después de unos cuantos meses de preparación. Varios cambios ya son visibles y el web se organiza ahora en una nueva estructura. Después de un cambio de servidor en Noviembre del año pasado, contamos con varias mejoras, gracias a estar ahora en un [...]

ScreenCast #1: Introducción a la geometría dinámica

Rafael Miranda Molina — Sat, 07 Feb 2009 02:12:50 +0000

Iniciamos hoy un nuevo proyecto: el ScreenCast de Geometría Dinámica, una serie de video tutoriales sobre el uso de los procesadores geométricos. Éste primer capítulo es una introducción, y a la vez, una especie de resumen de todos temas que pretendo cubrir durante el año. En los próximos capítulos nos dedicaremos a temas básicos [...]

Problemas con lugares geométricos

Rafael Miranda Molina — Fri, 02 Jan 2009 22:05:07 +0000

Hace un tiempo me encontré con algunos problemas de construcción, que aunque son absolutamente distintos, admiten un mismo método para resolverse. El hilo conductor es un lugar geométrico, distinto en cada caso, que nos da alguna pista de la solución, lo que es muy natural de implementar en un procesador geométrico. Fue en el libro [...]

Nuevo Blog

Rafael Miranda Molina — Thu, 06 Nov 2008 23:24:54 +0000

Estimadas y estimados, como pueden apreciar, el web ya se encuentra de vuelta en su gran mayoría. Con una gran cantidad de cambios (de servidor, de sistema de blog, etc.) acabo de terminar de habilitar el Blog con el contenido que tenía hasta Septiembre / Octubre. Dentro de mis planes, y ahora me encuentro dedicado [...]

Geometría del Pool

Rafael Miranda Molina — Tue, 01 Jul 2008 16:00:00 +0000

En el Pool, como en muchas otras actividades que involucran choques y rebotes, existen relaciones geométricamente interesantes. Desde ésta perspectiva, siempre es posible predecir un rebote, aprendizaje intuitivo que desarrollan frecuentemente los aficionados a ésta actividad. Existen, al menos, dos situaciones interesantes: La primera involucra rebotes contra las bandas, recurso frecuente en los juegos de [...]

Pitágoras 3D

Rafael Miranda Molina — Sun, 22 Jun 2008 00:41:00 +0000

Hace poco me preguntaron sobre la existencia de cuaternas pitagóricas, y mientras escribía la respuesta en la que desestimaba tal idea, me encontré con un par de ellas. Si, así como en el plano hay ternas pitagóricas (3, 4, 5), en el espacio hay cuaternas pitagóricas (9,1,4,8), pero… ¿qué representa cuaterna pitagórica? En éste tema, [...]

Siete formas de teselar

Rafael Miranda Molina — Sun, 20 Apr 2008 21:17:00 +0000

En el blog he mostrado varios métodos para teselar, especialmente durante el año pasado; lo que ha despertado el interés de muchas personas. He visto como varios profesores utilizan éste espacio para enseñar, de manera que, pensando en ellos he constuido una especie de resumen y continuación de dichas ideas. Siete formas para teselar es [...]

Versión 2.2

Rafael Miranda Molina — Fri, 05 Oct 2007 01:25:00 +0000

Se acaba de implementar una nueva mejora en el sistema de guías interactivas (y prediseñadas), tendiente a optimizar su funcionamiento, aprovechando las ventajas de JavaScript El nuevo sistema consiste en una mejora de la navegación interna de las guías interactivas, utilizando Geogebra y JavaScript. Se trata de un método que permite navegar entre los contenidos [...]

Geogebra 3

Rafael Miranda Molina — Wed, 12 Sep 2007 23:29:00 +0000

Recientemente se ha habilitado la descarga de una nueva versión de Geogebra (3), con una serie de mejoras y nuevas funcionalidades que hace un tiempo ya se podrían revisar en su versión en línea. Mostraré en ésta ocasión varios ejemplos creados con éste procesador geométrico. A continuación un resumen de lo nuevo de [...]

Actualización de contenidos

Rafael Miranda Molina — Sat, 07 Apr 2007 19:43:00 +0000

Estimadas y estimados, se acaban de renovar todos los contenidos del sitio (242 contenidos), utilizando Geogebra. Se trata de una modernización de estos, conservando la misma estructura que los anteriores (nombres de puntos y figuras, instrucciones, etc.), pero con las naturales mejoras visuales y de funcionamiento que éste procesador nos brinda (en oposición a las [...]

Construcciones 3D

Rafael Miranda Molina — Sun, 01 Apr 2007 21:15:00 +0000

Hace algunos meses me encontré con un notable sitio en Francés, de la profesora Genevieve Tulloue, quien muestra cómo hacer construcciones tridimensionales en Cabri. Se trata de una aplicación de los ángulos de Euler, que permite simular la vista 3d de puntos, utilizando las Macros de Cabri. De hecho, aproveché las macros que deja para [...]

Nueva sección: Software

Rafael Miranda Molina — Fri, 30 Mar 2007 15:12:00 +0000

Estimadas y estimados, se acaba de habilitar la sección de Software, incluyendo ejemplos y enlaces a las descargas de softwares de geometría. Una novedad, son las versiones Webstart, que permitirán cargar algunos softwares sin necesidad de instalación. Dichas versiones se mantendrán permanentemente en el sitio. Cabe destacar que éstas últimas se han habilitado utilizando métodos [...]

Arabesco de Alhambra

Rafael Miranda Molina — Wed, 28 Feb 2007 21:51:00 +0000

Uno de los elementos más interesantes del arte islámico son los Arabescos: adornos simétricos construidos con líneas que imitan las formas de hojas, flores, cintas, etc. Si bien estos suelen basarse en líneas más bien arbitrarias, suelen tienen estructuras que cumplen diversas propiedades de simetría. A continuación mostraré una aproximación a la reconstrucción de un [...]

Geogebra y JavaScript

Rafael Miranda Molina — Fri, 15 Dec 2006 06:40:00 +0000

En un post anterior dejé varios applets de Geogebra, tratanto de ilustrar algunos elementos que tienden a diferenciarlo de otros procesadores geométricos, en especial de otros también gratuitos. También en Noviembre mostré varias ilusiones ópticas construidas con éste software de geometría. Como he verificado recientemente, al incluir varios applets (seis en éste caso) en una [...]

Ilusiones ópticas

Rafael Miranda Molina — Sun, 26 Nov 2006 02:50:00 +0000

Frecuentemente en Geometría decimos que no importa lo que se ve sino lo que se sabe, con lo que intentamos ilustrar la idea de que las apariencias a veces engañan. Pues bien, existen una gran cantidad de situaciones en las que la se generan efectos ópticos que son completamente ilusorios. Veamos algunos casos [...]

Pruebe Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 21 Nov 2006 01:33:00 +0000

En meses anteriores he dedicado algunas líneas a Geogebra, un gran procesador geométrico libre y lleno de funcionalidades, y de esos detalles tendientes a simplificar las construcciones geoméricas. En artículos anteriores he hecho tanto una presentación como una evaluación de éste software, asimismo lo he comparado con otros softwares de geometría, quedando en un muy [...]

Ventana Mughal

Rafael Miranda Molina — Sat, 07 Oct 2006 02:23:00 +0000

De la gran diversidad de patrones geométricos utilizados en el arte y decoración islámica, al menos dos elementos son distintivos. En primer lugar, el uso de polígonos estrellados, que normalmente se entrelazan y/o conectan entre sí, aprovechando sus propiedades de simetría. En segundo lugar, la superposición de teselaciones en planos paralelos, las cuales se relacionan [...]

Versión 2.1

Rafael Miranda Molina — Wed, 20 Sep 2006 20:22:00 +0000

Con el propósito de optimizar el funcionamiento del sitio, se han terminado de implementar los cambios que constituyen la versión 2.1 de GeometriaDinamica.cl. La herramienta de creación de guías interactivas ahora no requiere del registro de usuarios, utilizando un sistema de ‘accesos directos’. De ésta manera, los profesores pueden crear guías y al final descargar [...]

Estrellas en Hassan II

Rafael Miranda Molina — Mon, 11 Sep 2006 15:37:00 +0000

La mezquita Hassan II, es la segunda más grande del mundo y está ubicada en Marruecos. En ella se pueden encontrar impresionantes diseños, propios de las mezquitas, con muchas aplicaciones de la simetría, como en sus cielos y pisos. ¿Cómo se ha construido éste diseño? El diseño que a continuación intento reconstruir no es único, [...]

¿Trasladar es mover?

Rafael Miranda Molina — Mon, 07 Aug 2006 04:52:00 +0000

Una de las formas más comunes de explicar las transformaciones isométricas es el relacionarlas o, incluso definirlas, como movimientos. Aunque esto pueda parecer una conexión natural, es razonable hacerse preguntas usando un poco el sentido común: En la traslación de un triángulo, ¿cuántos triángulos están involucrados? ¿Es uno sólo que se mueve o son dos [...]

Aprender geometría creando soluciones

Rafael Miranda Molina — Fri, 28 Jul 2006 22:50:00 +0000

El centro COMENIUS de la Universidad de Santiago, ha abierto las inscripciones para su versión 2006 del curso Aprender geometría, creando soluciones, curso interactivo para profesores de enseñanza Media. Inscripciones y matriculas en www.geometria.cl, del 3 de julio al 5 de agosto. Desarrollo del curso del 19 de agosto al 25 de noviembre. Más información: [...]

Cubo de Metatrón

Rafael Miranda Molina — Wed, 28 Jun 2006 08:56:00 +0000

En el post anterior mostraba algunos elementos de la Geometría Sagrada, como la flor de la vida y particularmente el cubo de metatrón. Ahora bien, ¿por qué se le denomina “cubo”, si en el se observan otros sólidos platónicos, como el tetraedro o el octaedro? Por otro lado, planteaba el problema de las vistas que [...]

Geometría Sagrada

Rafael Miranda Molina — Sun, 18 Jun 2006 06:58:00 +0000

La geometría sagrada es un conjunto de interpretaciones asociadas a elementos geométricos (y matemáticos) a los que se le atribuyen significados religiosos. Se trata de creencias sostenidas en la antig¸edad y la época medieval que influenciaron la construcción de templos, iglesias y arte religiosa. Técnicamente no es una geometría y algunos afirman que tampoco tiene [...]

Animaciones en Cabri

Rafael Miranda Molina — Wed, 07 Jun 2006 06:22:00 +0000

Durante las últimas semanas, he estado mostrando diversos tipos de teselaciones, las cuales suelen requerir de más de un tipo de transformación isométrica. Un tipo de construcciones sumamente útiles, para ilustrar éste tipo de transformaciones, son aquellas que permiten controlar gradualmetne las animaciones. Se trata del uso de “deslizadores” o controles deslizantes, cuya construcción no [...]

Resumen de teselaciones

Rafael Miranda Molina — Thu, 25 May 2006 04:50:00 +0000

Durante los últimos meses he mostrado algunos métodos para teselar, que se reducen a realizar transformaciones isométricas con líneas construidas sobre polígonos que permiten teselar, como triángulos equiláteros, hexágonos o paralelogramos. Algunas de las relaciones que existen entre estos polígonos, se heredan también a los patrones construidos, por ejemplo en el caso de un hexágono [...]

Mariposas de Escher

Rafael Miranda Molina — Thu, 11 May 2006 06:29:00 +0000

En abril expuse un método para teselar con figuras basadas en triángulos equiláteros, de manera que se mantenía el área. Dicho método, aunque es relativamente simple, es justamente el que utilizó Escher para crear su famosa teselación de mariposas. Lo interesante está en que, al parecer, la forma en que creo dicha mariposa, fue dividiendo [...]

Teoremas de Hawkins (cropcirles)

Rafael Miranda Molina — Thu, 27 Apr 2006 05:31:00 +0000

Profundizando un poco más en las relaciones geométricas presentes en los Cropcircles, me he encontrado con un par de teoremas que el atrónomo Gerald Hawkins demostró en los 90. Se trata de relaciones (por cuociente) entre diámetros y perímetros de circunferencias, cuya disposición aparece repetitivamente en éstas formaciones, y que tienen una gran relación con [...]

Cropcircles

Rafael Miranda Molina — Tue, 18 Apr 2006 03:42:00 +0000

Por cropcircle suele denominarse a complejos diseños circulares que han aparecido en diversos campos de trigo en Inglaterra desde los años 70. Ganando cada vez mayor complejidad y belleza, el fenómeno se ha enmarcado en contextos que no inspiran mucha credibilidad, como UFO (OVNI) o la Geometría Sagrada. Pero más alla del origen, los elementos [...]

Teselación equilátera

Rafael Miranda Molina — Mon, 10 Apr 2006 06:19:00 +0000

Siguiendo con las teselaciones hexagonales, mostraré a continuación un método para construir un patrón basado en un triángulo equilátero cuya área es igual al área del triángulo. Nuevamente se da la dinámica de girar el patrón en 60º, generando un hexágono regular que tesela por rotación y por consecuencia: El área del patrón hexagonal es [...]

Teselación hexagonal 2

Rafael Miranda Molina — Thu, 30 Mar 2006 07:12:00 +0000

En un tema anterior, mostraba cómo construir teselaciones hexagonales, basadas en triángulos equiláteros. En dicho caso, el patrón de la teselación se giraba en 60º, lo que generaba otro patrón, basado en un hexágono regular. Pero existen otros métodos, que cumplen con una propiedad particularmente interesante: El área del patrón triángular es igual al doble [...]

Teselación con paralelogramos 2

Rafael Miranda Molina — Wed, 22 Mar 2006 07:04:00 +0000

En el capítulo anterior, mostraba cómo construir patrones de teselaciones a partir de un paralelogramo. Si bien, por paralelogramo nos referimos a un cuadrilátero, es posible generalizar el método anterior, a polígonos que cumplan con las condiciones del paralelogramo que aprovechamos para teselar, es decir: que tenga una cantidad par de lados y que sus [...]

Teselación con paralelogramos

Rafael Miranda Molina — Thu, 16 Mar 2006 06:52:00 +0000

Las teselaciones más simples suelen ser las que involucran sólo traslaciones. La forma más simple es con paralelogramos, pero también es posible construir firguras con cualquier tipo de lineas, a partir de los vectores que determinan y su suma. ¿Qué tipo de figuras permiten éste tipo de teselaciones? Un patrón de éste tipo, se basa [...]

Versión 2.0

Rafael Miranda Molina — Wed, 15 Mar 2006 05:45:00 +0000

Se acaba de implementar la version 2.0 de la plataforma, como el resultado de una serie de actualizaciones acumulativas, optimizaciones e ingreso de nuevos contenidos (algunos a finalizarse durante marzo), además de la renovada gráfica del sitio. Durante el año actual, incluiremos más contenidos y una nueva sección: “Unidades didácticas”, programada para Junio 2006. Cambios [...]

Teselación hexagonal

Rafael Miranda Molina — Fri, 03 Mar 2006 04:40:00 +0000

En muchas teselaciones es posible identificar figuras geométricas, aunque sus patrones no sean exactamente dichas figuras. Por ejemplo, algunas teselaciones utilizan patrones basados en triángulos equiláteros, paralelogramos o hexágonos regulares. La pregunta del millón: ¿Cómo construir una figura que permita teselar a partir de un hexágono regular? Construcciones: 1 | 2 | 3 [...]

Decisiones arbitrarias en Cabri

Rafael Miranda Molina — Tue, 14 Feb 2006 00:31:00 +0000

Aunque parecen infalibles, en los procesadores geométricos existen diversas construcciones en las que, a pesar de ser coherentes en términos geométricos, el resultado al menos en términos de apariencia, no es el esperado. Más allá de los errores que puedan cometerse en la construcción, es claro que la definición de ciertos puntos responde a decisiones [...]

Contenidos 3D

Rafael Miranda Molina — Tue, 14 Feb 2006 00:08:00 +0000

Se han incorporado una serie de contenidos 3D, tanto en la nueva unidad “Volumen” (NB6), como en otras (como semejanza y circunferencia). Si bien en la programación inicial del proyecto estaban considerados contenidos de Cabri 3D, al parecer los planes del plugin gratuito han sido abandonados, de manera que los contenidos 3D serán desarrollados con [...]

Cicloides, trocoides y espirales

Rafael Miranda Molina — Sun, 22 Jan 2006 21:15:00 +0000

En el capítulo anterior mostraba las construcciones geométricas de curvas polares clásicas, como la Caracol de Pascal, Cicloide de Ceva, Cisoide y Lemniscata de Bernuolli. Todas esas construcciones hechas desde una mirada Euclidiana, es decir, prescindiendo de cualquier sistema de referencia (como el sistema de coordenadas polares). En éste capítulo, veremos unas construcciones un tanto [...]

Tangencia en el cálculo y la geometría

Rafael Miranda Molina — Wed, 11 Jan 2006 20:27:00 +0000

He aquí un problema con el que me encontré en primer año de universidad, época en la que no sabía casi nada de geometría (nunca fui un buen alumno en el colegio, pero esa es otra historia!), pero si creía saber qué era una recta tangente. ¿Le habrá causado sorpresa a alguien más el hecho [...]

Curvas polares

Rafael Miranda Molina — Wed, 04 Jan 2006 00:26:00 +0000

Finalmente de vuelta a mis andanzas, a pesar de un virus asesino, pendientes interminables, festividades ineludibles y descansos merecidos, ahora con un tema que me causó más de algún problema en la universidad: las curvas polares. He aqui un humilde intento de exorcizar de tanta álgebra unas cuantas curvas que son escencialmente geométricas. Probablemente todos [...]

Focos de la elipse

Rafael Miranda Molina — Sun, 20 Nov 2005 20:53:00 +0000

Sigo echando mano a esos problemillas que tuve cuando sólo conocía Cabri y Sketchpad, y habían tantas cosas que no se podían hacer, a pesar de parecer tan razonables. En varios procesadores geométricos se pueden construir elipses por cinco puntos libres, pero cómo construir el centro, focos, ejes, etc. No es un problema tan simple, [...]

Parábolas en Cabri

Rafael Miranda Molina — Fri, 18 Nov 2005 22:49:00 +0000

Un problema que tenía todo el tiempo cuando construía cónicas en Cabri, era con las parábolas. Cabri permite construir cónicas a partir de cinco puntos, lo que para elipses e hipérbolas es sumamente simple, pero ¿Es posible construir a mano alzada una parábola que pase por cinco puntos? Teóricamente es posible, pero se trata de [...]

Transformaciones en el logo

Rafael Miranda Molina — Sun, 06 Nov 2005 22:39:00 +0000

Continuando con el análisis geométrico del logo del sitio, mencionaba en el post anterior algunas transformaciones interesantes en ésta figura. No todas son necesariamente extrapolables al caso general (rotación de cualquier polígono regular), pero si lo es el procedimiento de construcción: Se trata de una figura construida por la iteración de la simetría axial de [...]

Rotación de pentágonos (logo)

Rafael Miranda Molina — Thu, 03 Nov 2005 01:13:00 +0000

En un post anterior mencionaba una curiosidad geométrica con la que me encontré mientras construia el logo del sitio.Básicamente consiste en disponer diez pentagonos regulares de manera que cada uno tenga dos lados adyacentes a otro; se trata de una disposición circular. En efecto, si consideramos el punto J, intersección de las rectas portadoras de [...]

Blog GeometriaDinamica.cl

Rafael Miranda Molina — Mon, 24 Oct 2005 13:33:00 +0000

A partir de éste mes se ha implementado la nueva interfaz de la comunidad: El Blog GeometriaDinamica.cl. Conservando los contenidos del formato anterior, como las publicaciones de los foros de discusión, artículos y noticias, el Blog conserva la misma estructura que la comunidad anterior (también creada con aspnuke), de manera que todos los contenidos seguirán [...]

¿Qué es un procesador geométrico?

Rafael Miranda Molina — Sat, 15 Oct 2005 03:16:00 +0000

Gran parte de los usos educativos de las TIC parten del afán por digitalizar o incluso emular las diversas tareas que se realizan en la salas de clase tradicionales. En particular, para la enseñanza de la geometría, un primer acercamiento a su digitalización está dado por la creación de dibujos asociados a situaciones geométricas. En [...]

Evaluación Regla y compás

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:38:00 +0000

Evaluación del software: Regla y compás Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Sketchpad

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:37:00 +0000

Evaluación del software: The Geometer’s Sketchpad (El geómetra) Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Kig

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:36:00 +0000

Evaluación del software: Kig (linux) Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Geonext

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:34:00 +0000

Evaluación del software: Geonext Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:33:00 +0000

Evaluación del software: Geogebra Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Cinderella

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:30:00 +0000

Evaluación del software: Cinderella Descarga éste artículo (formato pdf)

Kig

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 00:58:00 +0000

Kig es un procesador geométrico que destaca por su amplia gama de funcionalidades y facilidad de usar. De la mano del proyecto KDE-edu, además de tratarse de un software libre, Kig ha sido incluido en el entorno de escritorio KDE, desde la versión 3.1 y en repositorios de diversas distribuciones de Linux. La interfaz de [...]

Geonext

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 00:56:00 +0000

Dentro de la gran variedad de procesadores geométricos, Geonext es una interesante alternativa para la geometría euclidiana, en especial para las construcciones geométricas, como un contenido propiamente tal. La interfaz es simple, pero no tan amigable como en otros casos. Por ejemplo la disponibilidad de los menús desplegables depende de hacer “doble clic” sobre los [...]

Evaluación Cabri

Rafael Miranda Molina — Mon, 19 Sep 2005 16:23:00 +0000

Evaluación del software: Cabri Géomètre II Descarga éste artículo (formato pdf)

Comparación de procesadores geométricos

Rafael Miranda Molina — Tue, 09 Aug 2005 04:47:00 +0000

A continuación se presenta una detallada comparación entre siete procesadores geométricos, atendiendo a las diversas funcionalidades con las que cuentan, su accesibilidad e inmediatez, es decir, se han considerado diversos procedimientos que se pueden realizar directamente y sin requerir de un manejo necesariamente experto del software. De ésta manera, el asignar una cruz (×) a [...]

Regla y compás

Rafael Miranda Molina — Tue, 09 Aug 2005 00:01:00 +0000

Al igual que varios procesadores geométricos, Regla y compás fue desarrollado en Alemania y cuenta con la mayoría de las funcionalidades propias de los softwares de geometría, no obstante, con una interfaz no tan amigable como la mayoría. RyC permite la construcción ya sea gráfica (visual) o por comandos, aunque éste último caso no agrega [...]

Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 08 Aug 2005 21:38:00 +0000

Geogebra es esencialmente un procesador geométrico, pero optimizado para integrar funcionalidades propias de procesadores simbólicos (maple, mathcad, derive) y graficadores (graphmatica, funciones para Windows, etc.). Ésta es la principal ventaja (y elemento diferenciador) que destaca, pues integra el algebra, la geometría y el cálculo, con la flexibilidad necesaria para no necesariamente mezclarlos. De ésta manera [...]

Cinderella

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:39:00 +0000

Desarrollado en Alemania, Cinderella cuenta con características comunes a la mayoría de los softwares de geometría dinámica, pero también con mejoras que lo convierten en un potente procesador geométrico, no sólo euclidiano. Justamente ésta última característica es la que lo distingue de los demás, pues permite manejar en paralelo la vista euclidiana, hiperbólica y esférica [...]

Geometer’s Sketchpad

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:33:00 +0000

Sketchpad no sólo es uno de los primeros, sino que también es reconocido como uno de los más potentes procesadores geométricos. Las características que lo distinguen, dentro de la amplia gama de softwares de geometría dinámica, son principalmente las posibilidades que brinda para graficar ecuaciones, insertar botones para controlar animaciones (incluso opciones de visualización como [...]

Cabri Géomètre

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:17:00 +0000

Dentro de la amplia gama de procesadores geométricos, Cabri destaca no sólo por su popularidad, sino también por su simple y amigable interfaz. A diferencia de la mayoría de sus equivalentes, Cabri muestra leyendas descriptivas al ubicar el cursor sobre cualquier objeto, ya sea identificando su clase (éste punto, ésta recta, ésta parábola, etc.), o [...]

Acerca del logo de GeometriaDinamica.cl

Rafael Miranda Molina — Sun, 12 Jun 2005 04:36:00 +0000

He aqui una curiosidad que encontré hace un par de semanas, cuando ya llevaba varios meses de diseñado el logo del proyecto. Lo construí pensando en formar una “”G”" con figuras geométricas y para esto el pentágono regular me fue muy útil. Sin cuestionarme la razón geométrica por la cual al ubicar el décimo pentágono [...]

Softwares de geometría

Rafael Miranda Molina — Mon, 06 Jun 2005 08:16:00 +0000

Lista de softwares de geometría (procesadores geométricos) A continuación algunas descripciones generales de los principales procesadores geométricos. Cabri Geometre II Autor: CabriLog SASIdioma: EspañolS.O.: Win 98/98SE/NT/ME/2000/XPLicencia: Comercial / DemoCaracterísticas generales: Herramienta de gran potencial para la enseñanza – aprendizaje de la geometría euclideana, transformacional y analítica, que permite, en forma sencilla, construir objetos geométricos y [...]