Geometría Dinámica » Procesadores geométricos

Imprimiendo fractales en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 21 Nov 2011 00:30:04 +0000

Los fractales son probablemente los objetos geométricos más interesantes y atractivos, pero no menos complejos y por ello es que no logramos "verlos" hasta que contamos con computadores realmente capaces para tamaña tarea.

En este post voy a mostrar algunos fractales construidos con un método que en gran medida se aproxima al funcionamiento de una típica impresora.

Hoja de cálculo en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Sun, 13 Nov 2011 23:52:22 +0000

Desde hace un par de años que existe una hoja de cálculo en Geogebra, opción que a simple vista podrá parecer la simple adición del clásico Excel y sus fórmulas numéricas. Sin embargo en este caso se trata de una herramienta mucho más potente, pues la "idea" de Excel, esa de escribir fórmulas y luego copiarlas, se integra de manera bastante natural al entorno de geometría, permitiendo realizar iteraciones de construcciones.

Veamos algunos ejemplos...

Hiloramas en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Fri, 21 Oct 2011 15:08:49 +0000

Existen muchas expresiones artísticas que hacen uso de la geometría. Quizás no siempre de manera explícita, pero a cualquier persona con alguna formación matemática le habrá pasado que cuando ve alguna obra de arte dice "Eso es ..." y a continuación indica un nombre matemático.

Hace poco me encontré con los llamados "Hiloramas" e inmediatamente dije "esas son curvas de Bezier"...

Mosaicos islámicos hexagonales

Rafael Miranda Molina — Thu, 13 Oct 2011 00:46:38 +0000

El arte islámico es probablemente el mejor exponente de técnicas prácticas para crear diseños que involucran simetría. En particular, los artistas islámicos han hecho un gran uso de la simetría propia del hexágono regular y triángulos equiláteros, para crear intrincados diseños con gran creatividad.

En este post veremos una forma simple te crear diseños islámicos a partir de un hexágono regular, aprovechando las ventajas de Geogebra y las mallas isométricas.

La estrella solitaria

Rafael Miranda Molina — Sun, 25 Sep 2011 02:43:48 +0000

Estando apunto de cerrarse el carnaval de matemáticas 2.6, y habiendo celebrado recientemente las fiestas patrias en Chile, aprovecho de hacer una pequeña nota sobre nuestro principal símbolo patrio.

Conocida como la "Estrella solitaria", la bandera chilena cuenta con una estructura geométrica simple y que ha cambiado con los años, tanto en sus colores como dimensiones.

Veamos un poco sobre la geometría de nuestra bandera.

Ejemplos de CindyScript

Rafael Miranda Molina — Mon, 25 Jul 2011 23:07:06 +0000

Uno de los elementos más atractivos de Cinderella 2, es la inclusión de Cindyscript, un lenguaje de programación orientado a la integración con el entorno de geometría.

Si bien la mayoría de las herramientas de construcción permiten ya una gran variedad de posibilidades, Cindyscript permite ampliar significativamente el espectro de acciones posibles, y además añade un componente sumamente interesante de un punto de vista pedagógico.

A continuación incluyo algunos ejemplos, para en un futuro cercano elaborar más sobre los alcances didácticos.

Geogebra 4 y 3D (Beta)

Rafael Miranda Molina — Fri, 10 Sep 2010 01:32:00 +0000

Hace un par de semanas me recomendaron la Beta de Geogebra 4, que cuenta con varias características nuevas, y ya es posible de probar como un WebStart.

Otra versión que también se está desarrollando, es la 3D, que simula un entorno tridimensional con algunas herramientas para trabajar con rectas, planos y esferas.

A continuación dejo enlaces y applets para ambas versiones de prueba.

Cicloides y trocoides

Rafael Miranda Molina — Thu, 19 Aug 2010 00:26:20 +0000

Una dificultad frecuente con los procesadores geométricos, está vinculada a los ángulos mayores de 360º. Como mostraba en el post de Cinderella 2.0, es común en tales situaciones que, al superar los 360º, el ángulo se "reinicie".

En este post muestro cómo tal dificultad requiere de recurrir a otros recursos, para construir curvas que involucran varias revoluciones, como son las "ruletas" y en este caso particular las Cicloides y Trocoides (hipo y epi).

Normalmente al estudiar este tipo de curvas, nos interesa cómo se generan, haciendo referencia a giros. Por ejemplo, la curva que describe un punto fijo de la rueda de una bicicleta, al rodar sobre el piso, por fuera de una circunferencia, o por dentro.

A pesar de que tal descripción es bastante natural, su implementación no es siempre tan directa. Así me he encontrado con que es más conveniente su construcción a partir de las ecuaciones paramétricas, como mostraré a continuación.

Animaciones equivalentes

Rafael Miranda Molina — Wed, 09 Jun 2010 14:10:44 +0000

El mes pasado me encontré con una animación en un blog, que es relativamente simple, y que al observarla con detención se puede apreciar un recurso típico de animaciones que inducen la idea de movimiento ondulatorio.

Construyendo esta en Geogebra, recurrí a las secuencias de iteración, y aplicando la idea a varios objetos distintos, voy a ilustrar lo que podríamos llamar "animaciones equivalente", o incluso, estructuralmente idénticas.

En varias otras ocasiones, me he referido a lo que me gusta describir como actividades de reconstrucción, que son esos post en los que parto de un diseño e intento replicarlo y describir cómo está construido. Todos estos post se pueden encontrar con la etiqueta reconstrucción.

La reconstrucción de esta ocasión, a diferencia de todas las demás, está referida a una animación, más que un diseño estático. De todas maneras, la idea general similar, sólo que aprovecharemos las animaciones de deslizadores de Geogebra para darle movimiento al diseño.

Variedades de la rosa polar

Rafael Miranda Molina — Wed, 12 May 2010 19:59:25 +0000

En estos días he estado graficando distintos tipos de curvas en Geogebra, usando de ecuaciones paramétricas.

Como voy a mostrar más adelante, este método permite solucionar varios problemas, que surgen al construir lugares geométricos que involucran varias "vueltas", es decir, ángulos mayores de 360º.

En la próxima semana voy a aprovechar estas ideas para revisitar el problema de las cicloides (epicicloides e hipocicloides), pero en esta ocasión me voy a centrar en una familia de curvas muy interesante, como es la Rosa Polar.

Esta entrada participa en el cuarto carnaval de matematicas en español, organizado en el Blog Zurditorium.com.

Cinderella 2.0

Rafael Miranda Molina — Sat, 08 May 2010 00:16:45 +0000

En los últimos meses, he mostrado algunas características de Cinderella 2.0, principalmente vinculadas a las transformaciones geométricas, para crear tanto Grupos de Transformaciones como fractales.

En esta ocasión voy a mostrar otras características, algunas de ellas bastaste singulares, pues vinculan la física y la programación al entorno de geometría.

Fractales en Cinderella 2

Rafael Miranda Molina — Fri, 30 Apr 2010 22:34:20 +0000

El mes pasado mostraba el nuevo enfoque que le han dado a las transformaciones en Cinderella 2, especialmente con la creación de los grupos de transformaciones. En esta ocasión, vamos a llevar esa idea más allá, para crear fractales a partir de un método denominado "Sistema de funciones iteradas" (SFI).

Como veremos a continuación, muchos fractales se pueden reducir a la iteración de semejanzas o transformaciones afines, y para suerte nuestra ambas existen en la nueva versión de Cinderella.

Así, veremos como aprovechar los SFI para construir la curva de Koch, el triángulo de Sierpinski, el helecho de Barnsley y varios más.

Teselaciones radiales

Rafael Miranda Molina — Wed, 31 Mar 2010 20:14:17 +0000

Regularmente las teselaciones involucran figuras congruentes y transformaciones isométricas, pero el tipo que voy a mostrar a continuación está vinculada a la composición de rotaciones y homotecias y son una forma gráfica de ilustrar la idea de infinito.

Otro aspecto interesante, está en el requerir de estrategias concretas de iteración de transformaciones geométricas, y en este caso, utilizaré un recurso relativamente nuevo de Geogebra, llamado "secuencias" (de iteración).

Transformaciones en Cinderella 2

Rafael Miranda Molina — Wed, 24 Mar 2010 21:33:36 +0000

Desde hace algunas semanas he estado probando la nueva versión de Cinderella (2.0), la cual cuenta con una importante cantidad de nuevas funcionalidades respecto a su versión (1.4).

En unas semanas más espero dar una revisión completa, pero para esta ocasión me voy a centrar en mostrar algunas de las ventajas que trae en lo que respecta a las transformaciones geométricas.

Tutorial: Animaciones compuestas en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Sun, 07 Mar 2010 02:07:30 +0000

Hace un tiempo que vengo mostrando ejemplos de animaciones creadas en Geogebra, principalmente aquellas que se componen de varias transformaciones sucesivas, como las que ilustran situaciones del Pool.

A continuación dejo un tutorial para crear estas animaciones, de manera que puedan ser controladas con un deslizador en Geogebra o en otro procesador geométrico similar.

Carmetal 3.1

Rafael Miranda Molina — Fri, 15 Jan 2010 15:16:35 +0000

Tal como lo anunciaba en Noviembre, he estado revisando CarMetal, un procesador geométrico más conocido como Regla y Compás, que en esta versión en particular cuenta con un rediseño de su interfaz.

Como veremos a continuación, esta versión 3.1.1 cuenta con una contundente lista de funcionalidades que lo convierten en una interesante ampliación del programa de René Grothmann.

Animaciones compuestas en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 21 Dec 2009 22:47:36 +0000

En el capítulo anterior, hablaba de animaciones simples en Geogebra, y para continuar la idea veremos ahora algunos ejemplos de animaciones compuestas.

Las animaciones compuestas consisten en una secuencia de transformaciones, es decir, se anima una tras otra, lo que aquí ilustro cómo controlar con un deslizador.

Tutorial: Animaciones en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 15 Dec 2009 02:22:28 +0000

Una característica relativamente reciente en los procesadores geométricos, es aquella que permite controlar animaciones, principalmente a través de los llamados "deslizadores".

En este post voy a mostrar paso a paso cómo crear animaciones simples en Geogebra, estas son las que cuentan con sólo una transformación. Posteriormente, veremos una extensión de esta idea, para realizar animaciones más complejas.

Ejemplos de CarMetal

Rafael Miranda Molina — Tue, 17 Nov 2009 01:49:27 +0000

Hace un tiempo me recomendaron CarMetal, un rediseño del llamado Regla y Compás (Zirkel, RyC, Car, etc.), el que en un principio era simplemente una nueva interfaz, pero en sus últimas versiones ha incorporado una serie de características bien interesantes, como controles, construcciones 3D, condiciones para mostrar / ocultar objetos y varias más.

En las próximas semanas planeo revisar esta aplicación y por el momento, dejo algunos ejemplos ilustrativos.

Tutorial: Ejercicios en Cinderella

Rafael Miranda Molina — Thu, 15 Oct 2009 02:24:48 +0000

En un par de capítulos anteriores he venido mostrando Cinderella, al menos su versión gratuita (1.4.2) y particularmente su editor de ejercicios, con el que se pueden crear applets para realizar construcciones en páginas Web, que además indican cuando se ha construido la “solución”. A continuación, un tutorial para crear estos ejercicios. Recordemos que ahora [...]

Ejercicios de Construcción con Cinderella

Rafael Miranda Molina — Wed, 30 Sep 2009 02:48:09 +0000

Una de las características más útiles de Cinderella, en relación a la geometría escolar, son los ejercicios de construcción, puesto que permiten realizar construcciones en páginas Web, y agregar tanto sugerencias como mensajes de éxito. A continuación agrego ocho de ellos, y espero en las próximas semanas preparar algún tutorial sobre su construcción. Bueno, mi [...]

ScreenCast #3: Medidas y cálculos en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 31 Aug 2009 18:58:04 +0000

Continuando con ideas un tanto pendientes, y aprovechando algunas nuevas características de Geogebra, en este tercer capítulo centramos la atención en las medidas y los cálculos que podemos realizar con ellas. Hace varios meses que esperaba continuar el ScreenCast, pero ya finalmente he podido armar un nuevo capítulo. Un aspecto que he modificado, es la [...]

Geogebra 3.2

Rafael Miranda Molina — Wed, 19 Aug 2009 06:38:56 +0000

Recientemente se ha liberado una nueva versión de Geogebra: 3.2. Dentro de los principales cambios, contamos con una mejorada interfaz, más amigable, que permite, por ejemplo, realizar construcciones a partir de varios objetos, como trasladar o rotar varios arcos en una teselación. Además, se cuenta con varias herramientas nuevas (cónicas, reflexión respecto a círculos, etc.) [...]

Cinderella gratuito

Rafael Miranda Molina — Thu, 04 Jun 2009 00:39:21 +0000

Con motivo de celebrar su aniversario nº 12, se ha liberado la versión 1.4 de Cinderella, un poderoso procesador geométrico con unas cuantas características particularmente interesantes como las vistas de geometrías no euclidianas y la capacidad de crear de ejercicios de construcción. A continuación veremos más en detalle de qué se trata de Cinderella y [...]

ScreenCast #2: Primeros pasos en Geogebra

Rafael Miranda Molina — Wed, 22 Apr 2009 01:04:17 +0000

En esta segunda entrega del ScreenCast de Geometría Dinámica, vemos las distintas regiones de la ventana de Geogebra y el uso básico de sus herramientas. Además, ahora se incluyen algunos ejercicios propuestos, a modo de práctica y también de ejemplo de las construcciones típicas esperables a este nivel. Capítulo 2: Primeros pasos [...]

ScreenCast #1: Introducción a la geometría dinámica

Rafael Miranda Molina — Sat, 07 Feb 2009 02:12:50 +0000

Iniciamos hoy un nuevo proyecto: el ScreenCast de Geometría Dinámica, una serie de video tutoriales sobre el uso de los procesadores geométricos. Éste primer capítulo es una introducción, y a la vez, una especie de resumen de todos temas que pretendo cubrir durante el año. En los próximos capítulos nos dedicaremos a temas básicos [...]

Geogebra 3

Rafael Miranda Molina — Wed, 12 Sep 2007 23:29:00 +0000

Recientemente se ha habilitado la descarga de una nueva versión de Geogebra (3), con una serie de mejoras y nuevas funcionalidades que hace un tiempo ya se podrían revisar en su versión en línea. Mostraré en ésta ocasión varios ejemplos creados con éste procesador geométrico. A continuación un resumen de lo nuevo de [...]

Construcciones 3D

Rafael Miranda Molina — Sun, 01 Apr 2007 21:15:00 +0000

Hace algunos meses me encontré con un notable sitio en Francés, de la profesora Genevieve Tulloue, quien muestra cómo hacer construcciones tridimensionales en Cabri. Se trata de una aplicación de los ángulos de Euler, que permite simular la vista 3d de puntos, utilizando las Macros de Cabri. De hecho, aproveché las macros que deja para [...]

Nueva sección: Software

Rafael Miranda Molina — Fri, 30 Mar 2007 15:12:00 +0000

Estimadas y estimados, se acaba de habilitar la sección de Software, incluyendo ejemplos y enlaces a las descargas de softwares de geometría. Una novedad, son las versiones Webstart, que permitirán cargar algunos softwares sin necesidad de instalación. Dichas versiones se mantendrán permanentemente en el sitio. Cabe destacar que éstas últimas se han habilitado utilizando métodos [...]

Geogebra y JavaScript

Rafael Miranda Molina — Fri, 15 Dec 2006 06:40:00 +0000

En un post anterior dejé varios applets de Geogebra, tratanto de ilustrar algunos elementos que tienden a diferenciarlo de otros procesadores geométricos, en especial de otros también gratuitos. También en Noviembre mostré varias ilusiones ópticas construidas con éste software de geometría. Como he verificado recientemente, al incluir varios applets (seis en éste caso) en una [...]

Pruebe Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 21 Nov 2006 01:33:00 +0000

En meses anteriores he dedicado algunas líneas a Geogebra, un gran procesador geométrico libre y lleno de funcionalidades, y de esos detalles tendientes a simplificar las construcciones geoméricas. En artículos anteriores he hecho tanto una presentación como una evaluación de éste software, asimismo lo he comparado con otros softwares de geometría, quedando en un muy [...]

Animaciones en Cabri

Rafael Miranda Molina — Wed, 07 Jun 2006 06:22:00 +0000

Durante las últimas semanas, he estado mostrando diversos tipos de teselaciones, las cuales suelen requerir de más de un tipo de transformación isométrica. Un tipo de construcciones sumamente útiles, para ilustrar éste tipo de transformaciones, son aquellas que permiten controlar gradualmetne las animaciones. Se trata del uso de “deslizadores” o controles deslizantes, cuya construcción no [...]

Decisiones arbitrarias en Cabri

Rafael Miranda Molina — Tue, 14 Feb 2006 00:31:00 +0000

Aunque parecen infalibles, en los procesadores geométricos existen diversas construcciones en las que, a pesar de ser coherentes en términos geométricos, el resultado al menos en términos de apariencia, no es el esperado. Más allá de los errores que puedan cometerse en la construcción, es claro que la definición de ciertos puntos responde a decisiones [...]

Focos de la elipse

Rafael Miranda Molina — Sun, 20 Nov 2005 20:53:00 +0000

Sigo echando mano a esos problemillas que tuve cuando sólo conocía Cabri y Sketchpad, y habían tantas cosas que no se podían hacer, a pesar de parecer tan razonables. En varios procesadores geométricos se pueden construir elipses por cinco puntos libres, pero cómo construir el centro, focos, ejes, etc. No es un problema tan simple, [...]

Parábolas en Cabri

Rafael Miranda Molina — Fri, 18 Nov 2005 22:49:00 +0000

Un problema que tenía todo el tiempo cuando construía cónicas en Cabri, era con las parábolas. Cabri permite construir cónicas a partir de cinco puntos, lo que para elipses e hipérbolas es sumamente simple, pero ¿Es posible construir a mano alzada una parábola que pase por cinco puntos? Teóricamente es posible, pero se trata de [...]

¿Qué es un procesador geométrico?

Rafael Miranda Molina — Sat, 15 Oct 2005 03:16:00 +0000

Gran parte de los usos educativos de las TIC parten del afán por digitalizar o incluso emular las diversas tareas que se realizan en la salas de clase tradicionales. En particular, para la enseñanza de la geometría, un primer acercamiento a su digitalización está dado por la creación de dibujos asociados a situaciones geométricas. En [...]

Evaluación Regla y compás

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:38:00 +0000

Evaluación del software: Regla y compás Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Sketchpad

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:37:00 +0000

Evaluación del software: The Geometer’s Sketchpad (El geómetra) Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Kig

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:36:00 +0000

Evaluación del software: Kig (linux) Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Geonext

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:34:00 +0000

Evaluación del software: Geonext Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:33:00 +0000

Evaluación del software: Geogebra Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Cinderella

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:30:00 +0000

Evaluación del software: Cinderella Descarga éste artículo (formato pdf)

Kig

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 00:58:00 +0000

Kig es un procesador geométrico que destaca por su amplia gama de funcionalidades y facilidad de usar. De la mano del proyecto KDE-edu, además de tratarse de un software libre, Kig ha sido incluido en el entorno de escritorio KDE, desde la versión 3.1 y en repositorios de diversas distribuciones de Linux. La interfaz de [...]

Geonext

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 00:56:00 +0000

Dentro de la gran variedad de procesadores geométricos, Geonext es una interesante alternativa para la geometría euclidiana, en especial para las construcciones geométricas, como un contenido propiamente tal. La interfaz es simple, pero no tan amigable como en otros casos. Por ejemplo la disponibilidad de los menús desplegables depende de hacer “doble clic” sobre los [...]

Evaluación Cabri

Rafael Miranda Molina — Mon, 19 Sep 2005 16:23:00 +0000

Evaluación del software: Cabri Géomètre II Descarga éste artículo (formato pdf)

Comparación de procesadores geométricos

Rafael Miranda Molina — Tue, 09 Aug 2005 04:47:00 +0000

A continuación se presenta una detallada comparación entre siete procesadores geométricos, atendiendo a las diversas funcionalidades con las que cuentan, su accesibilidad e inmediatez, es decir, se han considerado diversos procedimientos que se pueden realizar directamente y sin requerir de un manejo necesariamente experto del software. De ésta manera, el asignar una cruz (×) a [...]

Regla y compás

Rafael Miranda Molina — Tue, 09 Aug 2005 00:01:00 +0000

Al igual que varios procesadores geométricos, Regla y compás fue desarrollado en Alemania y cuenta con la mayoría de las funcionalidades propias de los softwares de geometría, no obstante, con una interfaz no tan amigable como la mayoría. RyC permite la construcción ya sea gráfica (visual) o por comandos, aunque éste último caso no agrega [...]

Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 08 Aug 2005 21:38:00 +0000

Geogebra es esencialmente un procesador geométrico, pero optimizado para integrar funcionalidades propias de procesadores simbólicos (maple, mathcad, derive) y graficadores (graphmatica, funciones para Windows, etc.). Ésta es la principal ventaja (y elemento diferenciador) que destaca, pues integra el algebra, la geometría y el cálculo, con la flexibilidad necesaria para no necesariamente mezclarlos. De ésta manera [...]

Cinderella

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:39:00 +0000

Desarrollado en Alemania, Cinderella cuenta con características comunes a la mayoría de los softwares de geometría dinámica, pero también con mejoras que lo convierten en un potente procesador geométrico, no sólo euclidiano. Justamente ésta última característica es la que lo distingue de los demás, pues permite manejar en paralelo la vista euclidiana, hiperbólica y esférica [...]

Geometer’s Sketchpad

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:33:00 +0000

Sketchpad no sólo es uno de los primeros, sino que también es reconocido como uno de los más potentes procesadores geométricos. Las características que lo distinguen, dentro de la amplia gama de softwares de geometría dinámica, son principalmente las posibilidades que brinda para graficar ecuaciones, insertar botones para controlar animaciones (incluso opciones de visualización como [...]

Cabri Géomètre

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:17:00 +0000

Dentro de la amplia gama de procesadores geométricos, Cabri destaca no sólo por su popularidad, sino también por su simple y amigable interfaz. A diferencia de la mayoría de sus equivalentes, Cabri muestra leyendas descriptivas al ubicar el cursor sobre cualquier objeto, ya sea identificando su clase (éste punto, ésta recta, ésta parábola, etc.), o [...]

Softwares de geometría

Rafael Miranda Molina — Mon, 06 Jun 2005 08:16:00 +0000

Lista de softwares de geometría (procesadores geométricos) A continuación algunas descripciones generales de los principales procesadores geométricos. Cabri Geometre II Autor: CabriLog SASIdioma: EspañolS.O.: Win 98/98SE/NT/ME/2000/XPLicencia: Comercial / DemoCaracterísticas generales: Herramienta de gran potencial para la enseñanza – aprendizaje de la geometría euclideana, transformacional y analítica, que permite, en forma sencilla, construir objetos geométricos y [...]