Geometría Dinámica » Artículos

Minimizando la dispersión

Rafael Miranda Molina — Mon, 31 Oct 2011 18:58:55 +0000

Ultimamente he estado más cercano a la estadística que a la Geometría, lo que me ha permitido reconstruir aprendizajes además de hacer algunas relaciones que nunca me fueron tan evidentes.

Particularmente de lo que voy a hablar hoy, es sobre la Media y la Varianza, pero aprovechando la geometría, y Geogebra particularmente, para ilustrar la interpretación geométrica de ambas, buscando entender mejor qué son y para qué sirven.

La idea central de este post proviene de un artículo del profesor Carlos Araújo de la Universidad Católica, relativo a la definición de la Media, de lo cual se desprenden algunas ideas geométricas que muestro más adelante.

La estrella solitaria

Rafael Miranda Molina — Sun, 25 Sep 2011 02:43:48 +0000

Estando apunto de cerrarse el carnaval de matemáticas 2.6, y habiendo celebrado recientemente las fiestas patrias en Chile, aprovecho de hacer una pequeña nota sobre nuestro principal símbolo patrio.

Conocida como la "Estrella solitaria", la bandera chilena cuenta con una estructura geométrica simple y que ha cambiado con los años, tanto en sus colores como dimensiones.

Veamos un poco sobre la geometría de nuestra bandera.

Arte generativo en el PentaUC

Rafael Miranda Molina — Thu, 15 Sep 2011 23:57:49 +0000

Llevo algunos meses hablando del arte generativo, tema en el que me embarqué hace casi un año, en un entusiasmo por vincular la geometría y la programación.

Ya he mostrado muchos ejemplos de qué podemos hacer con estos programas, lo que también fue parte de la preparación, pero en esta ocasión quiero mostrar algunos trabajos de mis alumnos.

Veamos entonces qué hicimos en el curso "Arte generativo digital" en el Penta UC este verano.

La primera versión de este curso, se desarrolló durante la temporada de verano de este año, que correspondió a 10 clases de 4 horas cronológicas. En este trabajamos con 26 alumnos de 1º y 2º del Penta UC.

Explorando fractales en Context Free

Rafael Miranda Molina — Wed, 29 Dec 2010 01:23:01 +0000

En abril y mayo estuve explorando la última versión de Cinderella, especialmente en cuanto a las transformaciones geométricas y fractales. En tales ocasiones mostré cómo se podían definir semejanzas para construir fractales, utilizando los Sistemas de Funciones iteradas.

En esta ocasión voy a mostrar ideas muy similares, pero con un enfoque más numérico, en Context Free.

Así, con ayuda de un poco de JavaScript, implemento algunos elementos para modificar los parámetros con los que se construyen algunos fractales.

Curvas de Bézier

Rafael Miranda Molina — Sun, 19 Dec 2010 23:48:49 +0000

Las más importantes curvas que se usan actualmente en el diseño computacional son las curvas de Bézier y los B-Splines. Es gracias al trabajo de dos matemáticos franceses, Bézier y de Casteljau, que se desarrollan aplicaciones para el incipiente diseño computacional de los años 60, bajo el alero de la industria automotriz.

El resultado son herramientas que los diseñadores ocupan regularmente, bajo el nombre genérico de "trazados" o diseño vectorial, cuya matemática opera tras bambalinas con las ideas que estos matemáticos franceses, y otros más, desarrollaron.

Ramas aleatorias en Context free

Rafael Miranda Molina — Sat, 11 Dec 2010 01:33:11 +0000

En el post anterior mostré algunos ejemplos de diseños creados con Context free, un programa que hace uso de gramáticas libre de contexto para generar imágenes a veces muy complejas.

Los elementos que entran en juego aquí, son transformaciones geométricas que se aplican recursivamente hasta cierto límite, y así se pueden obtener imágenes compuestas por miles o incluso millones de figuras.

Lo que voy a mostrar ahora, es una descripción paso a paso de la construcción de una "planta", para ilustrar las procesos que combinan elementos determinísticos y aleatorios.

Cinco años del Blog

Rafael Miranda Molina — Fri, 12 Nov 2010 23:07:18 +0000

Hace un par de semanas se cumplieron cinco años desde que di inicio a este blog, que en sus orígenes era un proyecto de comunidad de profesores de matemática. A poco andar me propuse convertir tal comunidad, entonces de ASP Nuke, en un Blog (ahora de Wordpress).

Hace poco también se cumplió la marca de los primeros 100 post, lo que es una cantidad ínfima en comparación a muchos Blogs, pero que no deja de ser para este humilde experimento.

A continuación resumo las principales ideas que he escrito en el Blog, para dar paso a una nueva etapa que espero delinear en las próximas semanas.

Equilibrio y el número de oro

Rafael Miranda Molina — Sat, 25 Sep 2010 19:47:11 +0000

El número de oro suele aparecer en los lugares más insospechados y el autor de uno de los artículos a los que haré referencia, lo describe muy bien. El dice, que "es siempre intrigante encontrarse con viejos amigos en nuevos contextos".

El problema que voy a mostrar, se trata de poder mantener en equilibrio una pieza en forma de "L", o mejor dicho, se trata de determinar las proporciones con las debe contar para que se equilibre en un vértice.

Podrá parecer que ya he adelantado el final, pero no lo he hecho, porque el problema de la L es sólo el principio.

La ilusión de los triángulos

Rafael Miranda Molina — Sun, 19 Sep 2010 14:31:24 +0000

Este es un problema más interesante de lo que puede parecer a simple vista. Se trata de la variación de una especie de ilusión óptica, en la que "mágicamente" desaparece un cuadrado.

Más allá de cómo clasificarlo, es un excelente ejemplo de qué quiere decir pensar "geométricamente".

Resolución de problemas (Dan Meyer)

Rafael Miranda Molina — Tue, 31 Aug 2010 21:19:33 +0000

La resolución de problemas es un eje central de la educación matemática, aunque muchas veces le llamamos problemas a simples ejercicios con enunciado.

Así ocurre que gran parte de estos pseudo-problemas, aparecen pre-cocinados en los textos escolares, con lo que se pierde todo el sentido de la resolución de problemas, especialmente cuando se apela al desarrollo de habilidades.

En esta interesante charla, Dan Meyer nos muestra cómo existe una visión facilista de la educación matemática, y lo ilustra haciendo un paralelo con las sitcom (comedias de situaciones), en las que siempre se presentan problemas capaces de resolverse en 20 minutos.

Círculos en Milk Hill

Rafael Miranda Molina — Fri, 16 Apr 2010 23:43:59 +0000

En el capítulo anterior mostraba la construcción de la Cadena de Pappus, pero el objetivo real de ese post, era dar paso a esta reconstrucción, que intenté unos años atrás.

Se trata de un diseño que se aparece en Wiltchire en el 2001 y que aun es consignado como el más grande de todos los "crop circles".

Fue el domingo 12 de Agosto de 2001, cuando se registra la aparición de estos misteriosos círculos en Milk Hill, el punto más alto del condado de Wiltshire (Inglaterra).

El colosal diseño está compuesto por más de 400 círculos de distintos tamaños, 68 de ellos formando seis cadenas de 13 eslabones, giradas en 60º, en torno a un círculo central. Acompañando a cada uno de los círculos principales, se ubican 6, 4 ó 2 círculos, más pequeños (satélites).

Cadena de Pappus

Rafael Miranda Molina — Thu, 08 Apr 2010 15:46:20 +0000

Hace algunos años, presté alguna atención a unos diseños que misteriosamente aparecen en campos de trigo o "Crop circles", más que por su origen, por lo complejos y altamente llamativos elementos geométricos que exhiben.

En esta ocasión, me centraré en una construcción que, en la próxima semana, me servirá para reconstruir un cropcircle muy famoso, y que puede relacionarse con un caso particular del problema de Apolonio.

Veamos esta cadena de Pappus...

Teselación triple en Masjid Negara

Rafael Miranda Molina — Sat, 13 Mar 2010 20:04:02 +0000

El arte islámico es una fuente inagotable de los más diversos diseños geométricos, que no solo impresionan por su orden y simetría, sino también por su complejidad. Un aspecto sumamente interesante que tienen estos diseños, y que en este caso pretendo ilustrar, es que suelen relacionar distintos tipos de teselaciones.

En esta ocasión, me voy a centrar en el diseño de unas murallas de Masjid Negara, la mesquita nacional de Malasia, que consiste en una interesante superposición de teselaciones con rectángulos relacionados con un hexágono regular.

Como veremos al final, se trata no de una sola teselación, sino de la superposición de tres diseños muy simples (cada uno).

El mecanismo de Jansen

Rafael Miranda Molina — Fri, 12 Feb 2010 21:06:17 +0000

Los mecanismos son una gran oportunidad para hacer geometría, sus construcciones involucran una gran cantidad de factores que no siempre son tan visibles, como la curva que algún extremo describiría si se modifica una parte de este.

Justamente este tipo de curvas es el que le permitió a Theo Jansen crear sus esculturas que caminan impulsadas por el viento, las que no sólo son un gran desafío de diseño, también son una genialidad artística.

Deduciendo Pitágoras desde la demostración

Rafael Miranda Molina — Fri, 22 Jan 2010 20:05:46 +0000

Regularmente las demostraciones del Teorema de Pitágoras son “contenidos” que aparecen posteriormente a la “presentación” del mismo, y probablemente después de haberlo aplicado varias veces. Así la demostración tiende a explicar el “por qué” de una propiedad, pero estas ideas con las que demostramos las propiedades, también son útiles para deducirlas / descubrirlas.

A continuación comento algunas ideas sobre cómo deducir Pitágoras a partir de su demostración.

Problemas con lugares geométricos 2

Rafael Miranda Molina — Tue, 22 Sep 2009 21:12:34 +0000

Hace unos meses describía cómo resolver algunos problemas de construcción, utilizando lugares geométricos, en el post problemas con lugares geométricos. A continuación ilustro la resolución uno que había quedado pendiente, con tal método. Recordemos de qué se trataba este método. En tal ocasión (Enero 2009), mostraba las soluciones de tres problemas de construcción: Construir una [...]

Taller de teselaciones

Rafael Miranda Molina — Sat, 12 Sep 2009 23:45:42 +0000

En estos días estuve preparando un taller de teselaciones, y echando mano a algunas cosas previamente publicadas, generé una versión imprimible de un artículo anterior: Siete formas de teselar. A continación comparto el material generado… Existen varias formas de usar este material, ya sea, para mostrar cómo teselar de varias formas, replicar o incluso relacionar [...]

Problemas con lugares geométricos

Rafael Miranda Molina — Fri, 02 Jan 2009 22:05:07 +0000

Hace un tiempo me encontré con algunos problemas de construcción, que aunque son absolutamente distintos, admiten un mismo método para resolverse. El hilo conductor es un lugar geométrico, distinto en cada caso, que nos da alguna pista de la solución, lo que es muy natural de implementar en un procesador geométrico. Fue en el libro [...]

Geometría del Pool

Rafael Miranda Molina — Tue, 01 Jul 2008 16:00:00 +0000

En el Pool, como en muchas otras actividades que involucran choques y rebotes, existen relaciones geométricamente interesantes. Desde ésta perspectiva, siempre es posible predecir un rebote, aprendizaje intuitivo que desarrollan frecuentemente los aficionados a ésta actividad. Existen, al menos, dos situaciones interesantes: La primera involucra rebotes contra las bandas, recurso frecuente en los juegos de [...]

Pitágoras 3D

Rafael Miranda Molina — Sun, 22 Jun 2008 00:41:00 +0000

Hace poco me preguntaron sobre la existencia de cuaternas pitagóricas, y mientras escribía la respuesta en la que desestimaba tal idea, me encontré con un par de ellas. Si, así como en el plano hay ternas pitagóricas (3, 4, 5), en el espacio hay cuaternas pitagóricas (9,1,4,8), pero… ¿qué representa cuaterna pitagórica? En éste tema, [...]

Siete formas de teselar

Rafael Miranda Molina — Sun, 20 Apr 2008 21:17:00 +0000

En el blog he mostrado varios métodos para teselar, especialmente durante el año pasado; lo que ha despertado el interés de muchas personas. He visto como varios profesores utilizan éste espacio para enseñar, de manera que, pensando en ellos he constuido una especie de resumen y continuación de dichas ideas. Siete formas para teselar es [...]

Arabesco de Alhambra

Rafael Miranda Molina — Wed, 28 Feb 2007 21:51:00 +0000

Uno de los elementos más interesantes del arte islámico son los Arabescos: adornos simétricos construidos con líneas que imitan las formas de hojas, flores, cintas, etc. Si bien estos suelen basarse en líneas más bien arbitrarias, suelen tienen estructuras que cumplen diversas propiedades de simetría. A continuación mostraré una aproximación a la reconstrucción de un [...]

Ilusiones ópticas

Rafael Miranda Molina — Sun, 26 Nov 2006 02:50:00 +0000

Frecuentemente en Geometría decimos que no importa lo que se ve sino lo que se sabe, con lo que intentamos ilustrar la idea de que las apariencias a veces engañan. Pues bien, existen una gran cantidad de situaciones en las que la se generan efectos ópticos que son completamente ilusorios. Veamos algunos casos [...]

Ventana Mughal

Rafael Miranda Molina — Sat, 07 Oct 2006 02:23:00 +0000

De la gran diversidad de patrones geométricos utilizados en el arte y decoración islámica, al menos dos elementos son distintivos. En primer lugar, el uso de polígonos estrellados, que normalmente se entrelazan y/o conectan entre sí, aprovechando sus propiedades de simetría. En segundo lugar, la superposición de teselaciones en planos paralelos, las cuales se relacionan [...]

Estrellas en Hassan II

Rafael Miranda Molina — Mon, 11 Sep 2006 15:37:00 +0000

La mezquita Hassan II, es la segunda más grande del mundo y está ubicada en Marruecos. En ella se pueden encontrar impresionantes diseños, propios de las mezquitas, con muchas aplicaciones de la simetría, como en sus cielos y pisos. ¿Cómo se ha construido éste diseño? El diseño que a continuación intento reconstruir no es único, [...]

¿Trasladar es mover?

Rafael Miranda Molina — Mon, 07 Aug 2006 04:52:00 +0000

Una de las formas más comunes de explicar las transformaciones isométricas es el relacionarlas o, incluso definirlas, como movimientos. Aunque esto pueda parecer una conexión natural, es razonable hacerse preguntas usando un poco el sentido común: En la traslación de un triángulo, ¿cuántos triángulos están involucrados? ¿Es uno sólo que se mueve o son dos [...]

Cubo de Metatrón

Rafael Miranda Molina — Wed, 28 Jun 2006 08:56:00 +0000

En el post anterior mostraba algunos elementos de la Geometría Sagrada, como la flor de la vida y particularmente el cubo de metatrón. Ahora bien, ¿por qué se le denomina “cubo”, si en el se observan otros sólidos platónicos, como el tetraedro o el octaedro? Por otro lado, planteaba el problema de las vistas que [...]

Geometría Sagrada

Rafael Miranda Molina — Sun, 18 Jun 2006 06:58:00 +0000

La geometría sagrada es un conjunto de interpretaciones asociadas a elementos geométricos (y matemáticos) a los que se le atribuyen significados religiosos. Se trata de creencias sostenidas en la antig¸edad y la época medieval que influenciaron la construcción de templos, iglesias y arte religiosa. Técnicamente no es una geometría y algunos afirman que tampoco tiene [...]

Mariposas de Escher

Rafael Miranda Molina — Thu, 11 May 2006 06:29:00 +0000

En abril expuse un método para teselar con figuras basadas en triángulos equiláteros, de manera que se mantenía el área. Dicho método, aunque es relativamente simple, es justamente el que utilizó Escher para crear su famosa teselación de mariposas. Lo interesante está en que, al parecer, la forma en que creo dicha mariposa, fue dividiendo [...]

Teoremas de Hawkins (cropcirles)

Rafael Miranda Molina — Thu, 27 Apr 2006 05:31:00 +0000

Profundizando un poco más en las relaciones geométricas presentes en los Cropcircles, me he encontrado con un par de teoremas que el atrónomo Gerald Hawkins demostró en los 90. Se trata de relaciones (por cuociente) entre diámetros y perímetros de circunferencias, cuya disposición aparece repetitivamente en éstas formaciones, y que tienen una gran relación con [...]

Cropcircles

Rafael Miranda Molina — Tue, 18 Apr 2006 03:42:00 +0000

Por cropcircle suele denominarse a complejos diseños circulares que han aparecido en diversos campos de trigo en Inglaterra desde los años 70. Ganando cada vez mayor complejidad y belleza, el fenómeno se ha enmarcado en contextos que no inspiran mucha credibilidad, como UFO (OVNI) o la Geometría Sagrada. Pero más alla del origen, los elementos [...]

Decisiones arbitrarias en Cabri

Rafael Miranda Molina — Tue, 14 Feb 2006 00:31:00 +0000

Aunque parecen infalibles, en los procesadores geométricos existen diversas construcciones en las que, a pesar de ser coherentes en términos geométricos, el resultado al menos en términos de apariencia, no es el esperado. Más allá de los errores que puedan cometerse en la construcción, es claro que la definición de ciertos puntos responde a decisiones [...]

Focos de la elipse

Rafael Miranda Molina — Sun, 20 Nov 2005 20:53:00 +0000

Sigo echando mano a esos problemillas que tuve cuando sólo conocía Cabri y Sketchpad, y habían tantas cosas que no se podían hacer, a pesar de parecer tan razonables. En varios procesadores geométricos se pueden construir elipses por cinco puntos libres, pero cómo construir el centro, focos, ejes, etc. No es un problema tan simple, [...]

Parábolas en Cabri

Rafael Miranda Molina — Fri, 18 Nov 2005 22:49:00 +0000

Un problema que tenía todo el tiempo cuando construía cónicas en Cabri, era con las parábolas. Cabri permite construir cónicas a partir de cinco puntos, lo que para elipses e hipérbolas es sumamente simple, pero ¿Es posible construir a mano alzada una parábola que pase por cinco puntos? Teóricamente es posible, pero se trata de [...]

¿Qué es un procesador geométrico?

Rafael Miranda Molina — Sat, 15 Oct 2005 03:16:00 +0000

Gran parte de los usos educativos de las TIC parten del afán por digitalizar o incluso emular las diversas tareas que se realizan en la salas de clase tradicionales. En particular, para la enseñanza de la geometría, un primer acercamiento a su digitalización está dado por la creación de dibujos asociados a situaciones geométricas. En [...]

Evaluación Regla y compás

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:38:00 +0000

Evaluación del software: Regla y compás Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Sketchpad

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:37:00 +0000

Evaluación del software: The Geometer’s Sketchpad (El geómetra) Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Kig

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:36:00 +0000

Evaluación del software: Kig (linux) Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Geonext

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:34:00 +0000

Evaluación del software: Geonext Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Geogebra

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:33:00 +0000

Evaluación del software: Geogebra Descarga éste artículo (formato pdf)

Evaluación Cinderella

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 05:30:00 +0000

Evaluación del software: Cinderella Descarga éste artículo (formato pdf)

Kig

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 00:58:00 +0000

Kig es un procesador geométrico que destaca por su amplia gama de funcionalidades y facilidad de usar. De la mano del proyecto KDE-edu, además de tratarse de un software libre, Kig ha sido incluido en el entorno de escritorio KDE, desde la versión 3.1 y en repositorios de diversas distribuciones de Linux. La interfaz de [...]

Geonext

Rafael Miranda Molina — Tue, 20 Sep 2005 00:56:00 +0000

Dentro de la gran variedad de procesadores geométricos, Geonext es una interesante alternativa para la geometría euclidiana, en especial para las construcciones geométricas, como un contenido propiamente tal. La interfaz es simple, pero no tan amigable como en otros casos. Por ejemplo la disponibilidad de los menús desplegables depende de hacer “doble clic” sobre los [...]

Evaluación Cabri

Rafael Miranda Molina — Mon, 19 Sep 2005 16:23:00 +0000

Evaluación del software: Cabri Géomètre II Descarga éste artículo (formato pdf)

Comparación de procesadores geométricos

Rafael Miranda Molina — Tue, 09 Aug 2005 04:47:00 +0000

A continuación se presenta una detallada comparación entre siete procesadores geométricos, atendiendo a las diversas funcionalidades con las que cuentan, su accesibilidad e inmediatez, es decir, se han considerado diversos procedimientos que se pueden realizar directamente y sin requerir de un manejo necesariamente experto del software. De ésta manera, el asignar una cruz (×) a [...]

Regla y compás

Rafael Miranda Molina — Tue, 09 Aug 2005 00:01:00 +0000

Al igual que varios procesadores geométricos, Regla y compás fue desarrollado en Alemania y cuenta con la mayoría de las funcionalidades propias de los softwares de geometría, no obstante, con una interfaz no tan amigable como la mayoría. RyC permite la construcción ya sea gráfica (visual) o por comandos, aunque éste último caso no agrega [...]

Geogebra

Rafael Miranda Molina — Mon, 08 Aug 2005 21:38:00 +0000

Geogebra es esencialmente un procesador geométrico, pero optimizado para integrar funcionalidades propias de procesadores simbólicos (maple, mathcad, derive) y graficadores (graphmatica, funciones para Windows, etc.). Ésta es la principal ventaja (y elemento diferenciador) que destaca, pues integra el algebra, la geometría y el cálculo, con la flexibilidad necesaria para no necesariamente mezclarlos. De ésta manera [...]

Cinderella

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:39:00 +0000

Desarrollado en Alemania, Cinderella cuenta con características comunes a la mayoría de los softwares de geometría dinámica, pero también con mejoras que lo convierten en un potente procesador geométrico, no sólo euclidiano. Justamente ésta última característica es la que lo distingue de los demás, pues permite manejar en paralelo la vista euclidiana, hiperbólica y esférica [...]

Geometer’s Sketchpad

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:33:00 +0000

Sketchpad no sólo es uno de los primeros, sino que también es reconocido como uno de los más potentes procesadores geométricos. Las características que lo distinguen, dentro de la amplia gama de softwares de geometría dinámica, son principalmente las posibilidades que brinda para graficar ecuaciones, insertar botones para controlar animaciones (incluso opciones de visualización como [...]

Cabri Géomètre

Rafael Miranda Molina — Mon, 01 Aug 2005 07:17:00 +0000

Dentro de la amplia gama de procesadores geométricos, Cabri destaca no sólo por su popularidad, sino también por su simple y amigable interfaz. A diferencia de la mayoría de sus equivalentes, Cabri muestra leyendas descriptivas al ubicar el cursor sobre cualquier objeto, ya sea identificando su clase (éste punto, ésta recta, ésta parábola, etc.), o [...]