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Elipse de Van Schooten

Domingo, 25 de noviembre de 2012
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Elipse de Van Schooten

En Agosto escribí un post, Mecanismos en un Procesador Geométrico, mayormente motivado por el problema que ahora presento.

El problema de la elipse de van Schooten, permite ilustrar cómo el movimiento físico, por ejemplo el de mecanismos, es complejo de simular en un procesador geométrico y requiere de buscar estrategias alternativas.

Franciscus van Schooten fue un matemático Holandés, reconocido por popularizar la geometría analítica de Descartes. En su libro Exercitationes mathematicae (1657) estudia varios problemas asociados a las cónicas, como el del dibujo de una elipse, y de hecho presenta un aparato para dibujarlas, actualmente denominado Elipsógrafo de Van Schooten (que puede observarse en acción aquí).

Este post participa en la Versión 3.14159265 del carnaval matemáticas en español, organizado en el Blog Pimedios.

 

El Lugar Geométrico de Van Schooten

Los vértices de un triángulo rígido, se deslizan en el plano por los rayos de un ángulo. ¿Qué Lugar Geométrico describe el tercer vértice?

Para resolver esto, Van Schooten considera un caso especial, problema que al parecer ya habría estudiado previamente Proclo (410-485): un segmento rígido que se desliza sobre los rayos de un ángulo recto.

 

En una línea recta se marcan tres puntos, dos de los cuales se deslizan sobre los rayos de un ángulo recto. ¿Qué Lugar Geométrico describe el tercer punto?

Consideremos los rayos del ángulo en cuestión como los ejes coordenados, el punto A sobre el eje X, C sobre el eje Y.

Además tomemos B colineal con A y C, de manera que se encuentre a “a” unidades de A y “b” unidades de C.

Nos interesa determinar el Lugar Geométrico del punto B, a medida que el segmento AC se desliza sobre los ejes coordenados

Siendo θ el ángulo que el segmento forma con el eje X, tenemos que x2 = a2 cos2 θ y y2 = b2 cos2 θ, y sumando ambas ecuaciones obtenemos la relación:

Construcciones: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6

1. Segmento en un ángulo recto

Para visualizar correctamente este applet, debes instalar (o activar) Java. Visita Java.com/es

El resultado algebraico antes obtenido, podemos observarlo en esta escena. Se trata de una elipse centrada en el origen, con semiejes de longitud “a” y “b”. Nótese que la longitud del semieje mayor corresponde al mayor entre “a” y “b”. Cuando “a” y “b” son iguales, se genera una circunferencia.

Este resultado lo utilizaremos para resolver el problema general de Van Schooten, pero primero, veremos algunas consideraciones respecto a esta construcción en Geogebra, dado que el movimiento continuo del segmento no es posible de construir directamente.

2. Lugar geométrico y continuidad del movimiento

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La construcción de este lugar geométrico no es tan simple. Si se construye directamente un segmento de longitud a+b, que se deslice sobre un ángulo recto, el punto C, que lo divide en “a” y “b”, describe solamente la mitad de la elipse.

Al arrastrar el punto A de derecha a izquierda, B se ubica en la parte superior, mientras que se esperaría que cuando se devoviera A, B pasara a la parte inferior. Tal comportamiento más que geométrico, es físico, es decir, B pasaría a la parte inferior por una suerte de inercia.

En Geogebra estos elementos físicos no entran en juego, de manera que el mover de derecha a izquierda o viceversa, B sigue el mismo trayecto (superior), cuando se esperaría que al “volver” B tomara el “caso 2”.

Esto nos obliga, a falta de herramientas físicas, a atacar el problema de forma diferente, para lo que hay un par de perpendiculares (clic en “perpendiculares”) que dan una pista.

3. Lugar geométrico continuo

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Una forma alternativa de implementar este lugar geométrico, es considerar un punto que gira sobre una circunferencia centrada en el origen (en este caso, de radio 1). Las proyecciones del punto (B) sobre los ejes, determinan un segmento rígido que se desliza de la forma esperada.

Si desde By construimos un segmento de longitud “o”, su extremo libre describe una elipse. Este es el mismo lugar geométrico de los casos anteriores, sólo que planteado de una manera alternativa que permite un movimiento continuo en Geogebra.

La implementación directa de este lugar geométrico en Geogebra no es posible, aunque podría programarse para que pareciera serlo, pero la dificultad de fondo es la falta de variables físicas para modelar este fenómeno. Luego, en vez de deslizar un segmento rígido sobre los rayos de un ángulo, utilizamos una circunferencia en la que un punto gira, y sus proyecciones determinan el segmento buscado.

4. Triángulo sobre un ángulo recto

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Pero el problema de Van Schooten se trata de un triángulo rígido, y ya es posible resolverlo con lo visto en los ejemplos anteriores. Sobre el segmento rígido construimos un triángulo congruente a uno dado, y podemos observar cómo el tercer vértice describe una elipse.

Aquí se puede observar que el lugar geométrico es una elipse con ejes oblicuos, mientras el triángulo tiene área. En cambio, cuando C se alinea con E y D, se reduce al caso anterior, en el que los ejes son paralelos a los ejes coordenados.

Debe notarse también, que la circunferencia del punto móvil, tiene radio igual a la longitud del segmento que se desliza sobre el ángulo recto, en este caso, DE.

Considerando este caso preliminar, veamos cómo desarrolló el problema Van Schooten.

5. Triángulo rígido sobre un ángulo

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(1 / 6) Consideremos el ángulo RST, (2 / 6) y el triángulo rígido ABC, congruente con GFE. (3 / 6) Trazamos la circunferencia que pasa por A, B y S; y su centro M. (4 / 6) Luego construimos la recta CM, (5 / 6) y marcamos los puntos de intersección P y Q.

Lo que observó Van Schooten, es que las rectas SQ y SP (6 / 6) son perpendiculares. Más interesante aun (mover A), así como AB se mueve rígidamente sobre el ángulo RST; el segmento PQ se mueve rígidamente sobre el ángulo recto PSQ.

Esto muestra que, el lugar geométrico de C, asociado al movimiento del segmento AB sobre el ángulo RST, es el mismo asociado al movimiento del segmento PQ sobre el ángulo recto; y ya sabemos que tal caso genera una elipse cuyos ejes son las perpendiculares que construimos.

6. Elipse de Van Schooten

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La solución de Van Schooten permite implementar el movimiento continuo del triángulo, girando un punto sobre una circunferencia que se relaciona con los los ejes de la elipse.

Seguimos los pasos antes descritos, (4 / 8) trazando la circunferencia ASB, su centro y la recta CM. Tal recta determina los puntos PQ, y los ejes de la elipse SQ y SP.

(5 / 8) Construimos la circunferencia SA, (6 / 8) un punto H sobre la misma y sus proyecciones a los ejes de la elipse. (7 / 8) El segmento IK, congruente con QC es el segmento móvil buscado, de manera que al mover H, K describe la elipse buscada.

A partir de esto, (8 / 8) el triángulo construido se mueve continuamente sobre el ángulo dado (clic en “ocultar construcción”), describiendo su tercer vértice la elipse buscada.

En el post que he mencionado anteriormente, básicamente describo algunos problemas con los que nos encontramos al intentar modelar el movimiento físico en un procesador geométrico. La descripción más sintética posible es que un procesador geométrico no toma en consideración aspectos físicos como el tiempo, la fuerza, la masa, etc.

Luego, podríamos decir que lo que hemos hecho, es modelar el movimiento físico con herramientas geométricas, lo que es una descripción incompleta, y justamente de tal dificultad surge la necesidad de abordar los problemas de formas alternativas.

Así ocurre que la circunferencia por la que gira un punto para animar segmentos o triángulos no es más que un artificio para modelar cómo se deslizaría un segmento (una varilla, un hilo tensado, etc.)por un ángulo (rieles, caminos, etc.).

Existe al menos un procesador geométrico que sí modela de un punto de vista físico estas situaciónes (que yo sepa) y ese es Cinderella con su aplicación “Cindylab”. Más adelante intentaré utilizarlo y mostrar algunos resultados, pero dejo al menos propuesta la idea general de que cualquier simulación de movimiento en un procesador geométrico podría abrir muchos problemas que finalmente quedarían ocultos si se quiere mantener la ilusión. Muchos ejemplos se pueden encontrar en las matemáquinas de José Antonio Mora.

Videos

Finalmente dejo algunos videos de las construcciones más importantes en Geoegebra.

Referencia: H. Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution

Geometría, Procesadores geométricos , , , , , ,

  1. Padli
    Viernes, 14 de diciembre de 2012 a las 10:29 | #1

    por que mas que mil palabras y no dos?dejo coiretanmo antes de entender tu imagen supongo que gif pero es una manera dinamica de explicarlo es bueno en ese punto ya que en este tipo de cosas se me hace gratificante variar para no aburrirse y para encontrar nuevos metodos que tal vez uno se complique un poco pero para mi es gratificante al final ya que te esforzate y no solo te quedas con lo comun y diria quee es para mentes curiosas.
    pd: tengo 17

  2. David Mantilla
    Lunes, 4 de noviembre de 2013 a las 02:01 | #2

    quisiera saber porque la expresión x^2=a^2(cos^2 (0)) esta elevada al cuadrado. solo para que la ecuación cuadre o porque… y de donde sale ese 1 que aparce en la expresión de la elipse

    • rafael
      Lunes, 4 de noviembre de 2013 a las 09:19 | #3

      Hola David. Si en ambas ecuaciones despejas respectivamente sen2(x) y cos2(x), y luego las sumas, en un lado de la igualdad vas a obtener sen2(x) + cos2(x). Esa última expresión es igual a 1, de lo que se obtiene la ecuación de la elipse.

      Saludos
      Rafael

Comentarios cerrados.

Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/11/elipse-de-van-schooten/.