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Disecciones en el triángulo rectángulo

Domingo, 21 de octubre de 2012
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Disecciones en el triángulo rectángulo

En el post anterior mostré algunas disecciones que permiten transformar figuras manteniendo el área. Probablemente la más útil de estas transformaciones, es la que permite convertir un rectángulo en un cuadrado y viceversa, pues en muchas situaciones geométricas nos encontramos con igualdades de la forma m2 = n·p, lo que puede interpretarse como la igualdad de las áreas de de un cuadrado y un rectángulo.
En este post veremos una aplicación de tal equivalencia, con los teoremas asociados a la altura de un triángulo rectángulo, conocidos en algunos lugares como El Teorema de Euclides, o simplemente el teorema de la altura y el del cateto.

Con este post iba a participar en el Versión 3,1415926 del carnaval matemáticas en español, organizado en el Blog Series Divergentes. Aunque no alcancé a enviarlo a tiempo, dejo el enlace del resumen donde se incluyen muchos post interesantes desde esa comunidad.

 

Semejanza en el triángulo rectángulo

Una relación regularmente estudiada en la geometría clásica, se da al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la cual lo divide en dos triángulo semejantes al triángulo mayor.

Combinando esta relación de semejanza con el Teorema de Pitágoras, usualmente se establecen tres igualdades:

  1. La del cuadrado de la altura con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (h2 = p·q).
  2. La del cuadrado de un cateto, y el producto de la proyección del otro sobre la hipotenusa por sobre esta misma (c2 = a·p) y viceversa (b2 = a·q).

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En esta escena se pueden verificar numéricamente las relaciones entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y los lados del triángulo rectángulo. Pero todas estas relaciones involucran números cuadrados y productos, es decir, áreas de cuadrados y rectángulos, de manera que es posible verificarlas de manera más geométrica.

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El teorema de la altura, establece una relación entre la altura correspondiente a la hipotenusa, y las proyecciones de los catetos sobre la misma. Así, el área del cuadrado de la altura (área del cuadrado de lado…) es igual al producto de las proyecciones p y q, es decir, igual al área del rectángulo de lados p y q.

Así gráficamente podemos ver representados un cuadrado y un rectángulo de áreas iguales, lo que podría describirse como la interpretación geométrica del teorema de la altura.

Análogamente (clic en “teorema de la altura”), el teorema del cateto, relaciona un cuadrado construido sobre un cateto, con un rectángulo construido sobre la hipotenusa.

Transformar un cuadrado en un rectángulo

Este problema lo discuto en el post anterior Transformación de figuras, y consiste en convertir un rectángulo en un cuadrado de igual área, y viceversa. La conveniencia de esto es el poder ilustrar gráficamente (sin palabras) los teoremas antes descritos.

Existen varias formas de realizar esta transformación, pero coincide que el método que mostré en el post anterior funciona de manera muy natural en el triángulo rectángulo. Para ello, dado el cuadrado ABCD, construimos un punto E sobre AD y trazamos la recta EB. Luego por los dos vértices superiores (en un mismo semiplano de EB) trazamos paralelas a EB, las que con AB y ED determinan los dos vértices restantes del rectángulo buscado.

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De esta forma, se construye el rectángulo AFGE, de igual area que el cuadrado ABCD, dado que las paralelas construidas los dividen en dos pares de triángulos congruentes y un par de paralelogramos de igual área.

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Gráficamente, transformar el cuadrado en el rectángulo corresponde simplemente a trasladar los triángulos pequeños, y deslizar un lado de un paralelogramo, para convertirlo en el otro, lo que permite mantener sólo el área (no es una transformación isométrica).

Transformaciones en el triángulo rectángulo

Aplicando estas ideas en el triángulo rectángulo, es interesante la coincidencia para el Teorema de la Altura, es decir, al trazar las paralelas desde el cuadrado de lado h, basta con trasladas los triángulos para obtener el rectángulo. Esto se debe al paralelismo en el triángulo rectángulo.

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Para el teorema del cateto, en cambio, no es tan simple. Las rectas portadoras de los lados del cuadrado no son paralelas a las de los lados del rectángulo, de manera que, aunque hay igualdad de áreas, es necesario girar las piezas para ilustrar la relación. Sin embargo, logrando el paralelismo de lados, la transformación es similar a la anterior.

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Es importante notar que estas animaciones están diseñadas para ilustrar sin palabras los teoremas de la altura y del cateto. No son necesariamente ilustraciones simples, es decir, no es más simple que una buena explicación de un profesor o en un texto. Sin embargo, es interesante como parte de un lenguaje orientado a ilustrar de relaciones geométricas manera económica, y contando con un buen observador que tenga algunos conocimientos básicos, se logra comunicar gráficamente la idea.

Estos son ejercicios de pensamiento visual, como ilustraba en un post anterior, el lenguaje de la geometría, que ha existido desde épocas ancestrales, y que sólo ahora podemos enriquecer con el movimiento, lo que es una de varias finalidades de la geometría dinámica.

Construcciones en Geogebra

Como es usual, comparto videos de algunas construcciones que presenté en este post.

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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/10/disecciones-en-el-triangulo-rectangulo/.