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Transformación de figuras

Lunes, 17 de septiembre de 2012
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Transformación de figuras

En el primer tomo de Geometría de Omer Cano, aparecen lo que define como “transformación” de figuras, queriendo decir el desafío de construir una figura de cierto tipo e igual área a otra dada.
En muchas ocasiones estos esto involucra disecar la figura inicial a conveniencia, para reconstruir la figura buscada, estrategia muy comúnmente usada en demostraciones, como las del teorema de Pitágoras.

Sin embargo, hay ocasiones en que la lógica del puzzle no es suficiente, como las que veremos en este post, y que son transformaciones que mantienen el área sin ser necesariamente isométricas.

En Febrero publiqué una primera aproximación a este tema, en el post El lenguaje de la geometría, donde propongo actualizar la idea de demostraciones visuales (o “sin palabras”) a animaciones. De este post, es importante recordar una idea previa, que corresponde a una transformación que mantiene el área de un paralelogramo o de un triángulo:

Para visualizar correctamente este applet, debes instalar (o activar) Java. Visita Java.com/es

En este applet se puede apreciar una transformación que mantiene el área de un paralelogramo o un triángulo, al arrastrar el punto D. Este es un recurso sumamente útil en determinadas circunstancias, que permite establecer que todos los triángulos (o paralelogramos) que se obtienen al mover un vértice paralelamente al lado opuesto tienen la misma área.

Veamos algunos casos

1. Transformar un cuadrado en un rectángulo de igual área

El problema de construcción asociado corresponde a construir un rectángulo con la misma área que un cuadrado dado.

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Para lograr esto, se construye el punto E sobre un lado del cuadrado, y se trazan paralelas a EB por C y D y una perpendicular por E. Los puntos F y G corresponden a los otros vértices (junto con E y B) del rectángulo buscado.

En este esquema, tanto el cuadrado [ABCD], como el rectángulo [AFGE], quedan divididos en un par de triángulos congruentes y un paralelogramo. Nótese que estos paralelogramos, [BHDE] y [BFIE], no son congruentes, pero si de igual área, al contar con la misma altura (en el sentido de distancia entre lados) y tener un lado (EB) en común.

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Esta animación ilustra la transformación del cuadrado en rectángulo, manteniendo el área, donde hay dos triángulos que se trasladan, pero más interesante es la transformación del paralelogramo central, que también mantienen el área al deslizar un lado por una paralela al lado opuesto.

2. Transformar un rectángulo en un cuadrado

El proceso inverso del anterior, no es tan simple como invertir la animación. Si se cuenta con un rectángulo dado, ¿cómo construir un cuadrado de la misma área?

Esto hace referencia al Teorema de Euclides (más conocido como el teorema de la altura en un triángulo rectángulo), en el que se da esta relación métrica. En particular, si el rectángulo tiene lados de medidas “p” y “q”, se busca “a” tal que pq=a2.

Luego, la construcción que se busca, es equivalente a construir un triángulo rectángulo, con una altura que divide la hipotenusa en dos segmentos congruentes a los lados del rectángulo dado.

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Sintéticamente, esta construcción consiste en construir una semicircunferencia con diámetro a+b, siendo a y b las medidas de los lados del rectángulo dado. De tal forma, la altura correspondiente al diámetro (hipotenusa), según el teorema de la altura, mide  ab , de manera que su área debe ser igual a la del rectángulo.

La animación que se muestra al final, corresponde a lo inverso de lo mostrado en el ejemplo anterior.

3. Transformar un triángulo en cuadrado

Dado un triángulo, construir un cuadrado de igual área, es posible de realizar de varias formas. Esta la encontré en un libro de Claudi Alsina y Roger Nelsen: Math made visual, y hace uso de cuatro pasos:

  1. Convertir un triángulo en un paralelogramo del doble de su área (giro en 180º).
  2. Convertir el paralelogramo en un rectángulo de igual área.
  3. Convertir el rectángulo en un cuadrado de igual área.
  4. Convertir el cuadrado en otro de la mitad de su área.

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Una aproximación más directa, se desprende de esta idea, aunque en vez de considerar cuadrados y rectángulos, relacionar los triángulos isósceles rectángulos que se obtienen al trazar una diagonal de estos cuadriláteros.

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4. Polígono de n-lados a n-1

También tomado del libro de Alsina y Nelsen, un polígono de n lados puede reducirse a n-1, manteniendo el área, transformando un triángulo que lo compone a conveniencia.

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Si se considera el triángulo BAC, existe un triángulo de igual área, con base AC, que ubicado en la misma posición convertiría el hexágono en un pentágono.

En esta escena, se traza un paralela a AC por B, y se intersecta con la recta CD para obtener G. Dado que BG y AC son paralelas, los triángulos ABC y AGC tienen la misma área, luego al reemplazar el primero por el segundo se obtiene el pentágono [AGDEF].

Este reemplazo no afecta el área, de manera que el pentágono que se obtiene, tiene la misma área que el hexágono inicial.

Lo interesante es que el proceso se puede repetir sucesivamente hasta obtener un triángulo, algoritmo que se muestra en la siguiente escena.

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  1. Lunes, 22 de octubre de 2012 a las 05:42 | #1

    Muy interesante tu pagina.
    Muchas gracias por el conocimiento.

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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/09/transformacion-de-figuras/.