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Mecanismos en un procesador geométrico

Viernes, 10 de agosto de 2012
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Mecanismos en un procesador geométrico

Frecuentemente el tema del movimiento surge en el estudio de la geometría, especialmente en el de las transformaciones isométricas, sin embargo este, como dijera en alguna ocasión Hans Freudenthal, es objeto de estudio de la mecánica, más que de la geometría.

En este post me refiero a algunas dificultades para representar el movimiento físico en un procesador geométrico, y a las principales causas, que están directamente vinculadas con la naturaleza del concepto de movimiento para la geometría.

Algunos años atrás estuve dándole vueltas al tema de los mecanismos, de lo cuál surgieron algunas construcciones del Mecanismo de Theo Jansen. En aquel entonces me sorprendió un hecho curioso: en determinadas circunstancias, un mecanismo se traba, dado que sus piezas no pueden estirarse más, sin embargo, en un procesador geométrico la misma situación lleva en realidad a que las piezas en cuestión “desaparezcan”.

Lo anterior es un buen ejemplo de cómo muchas veces una situación física, al intentar representarla en un procesador geométrico, se convierte en un problema diferente (aunque similar). Dicho de otra forma, cuando decimos “representar” tal situación, estamos abusando del término, pues en realidad queremos “simular” tal situación. Sin embargo, simular una situación física de un punto de vista geométrico es un proceso, al menos, incompleto.

1. Movimiento y geometría

El movimiento consiste esencialmente en un cambio de posición respecto al tiempo, pero como el tiempo no es relevante para la geometría, modelar cualquier movimiento desde un punto de vista geométrico significa considerar solamente los aspectos espaciales de tal fenómeno. De tal forma, si consideramos dos móviles que se desplazan con distinta rapidez podrían estar “moviéndose” de manera geométricamente equivalente, por ejemplo, trasladándose según el mismo vector geométrico.

Luego, al intentar modelar el movimiento sólo con herramientas geométricas, estamos transitando del espacio físico al espacio euclideo, lo que suele generar una cierta confusión sobre la que reflexionaba en el año 2006 en el post ¿Trasladar es mover? :

Al afirmar que un objeto se trasladó ¿cuántos de ellos están involucrados?

Si se considera desde un punto de vista geométrico, un triángulo ABC se traslada para obtener el triángulo A’B’C’, se cuenta con dos triángulos y la relación que existe entre ambos triángulos es congruencia.

En cambio si se considera desde un punto de vista físico, un objeto que se traslada es único, simplemente cambió de posición en un determinado lapso de tiempo, luego la relación entre el objeto inicial y el final es de igualdad.

Esto es esencialmente lo que Freudenthal plantea al decir que el movimiento es objeto de estudio de la mecánica, y no de la geometría, el hecho de que el tiempo no es una variable relevante para la forma en la que la geometría modela el movimiento.

2. Sentido didáctico del movimiento

A pesar de lo anterior, la relación entre el movimiento y la geometría existe, y es tanto transformacional como didáctica. De un punto de vista transformacional, la geometría euclidiana se ocupa del estudio de las propiedades invariantes respecto a las transformaciones isométricas, la mayoría de ellas asociadas a la modelación geométrica del movimiento. Desde un punto de vista didáctico, el movimiento es un recurso que permite sistematizar el estudio de estas propiedades invariantes (entre otras), por ejemplo, en los procesadores geométricos.

Es en estos entornos se añade el sentido dinámico a las construcciones geométricas, donde, todo lo que se cumple para una familia de objetos geométricos, es posible de observarse gráficamente a medida que un elemento se transforma en otro de la misma familia.

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En esta escena se ha construido un triángulo isósceles y su altura. El triángulo está construido de manera que sólo se pueda deformar manteniéndose como tal. Al mover cualquiera de sus vértices, se puede observar cómo siempre se mantiene isósceles. Más interesante aun, es observar que cualquiera sea el triángulo isósceles que se genere, siempre se obtiene que el pie de la altura (D) equidista de A y B. Luego, se puede inferir la idea de que esto ocurre en todos los triángulos isósceles.

Con esta lógica, se logra observar, al menos, una propiedad de una familia de triángulos isósceles, y el movimiento en este caso cumple el rol de convertir un triángulo isósceles en otro. En suma, el movimiento se articula como un recurso didáctico en la medida que permite distinguir aquellas relaciones que se mantienen invariantes para una familia de objetos geométricos, de aquellas que no están estructuralmente relacionadas con ellos.

3. Lugares geométricos

El concepto de lugar geométrico es central en la geometría dinámica, dadas las potencialidades de articular el movimiento de objetos dependientes a partir de objetos libres (o parcialmente libres). Sin embargo en la antigüedad ya existían métodos para construirlos a partir de medios mecánicos, y muchos de estos lugares geométricos estaban vinculados a problemas físicos, como el estudio de curvas como la Cicloide (las ruletas en general), o las cónicas.

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Se atribuye a Arquímedes la creación de este mecanismo, usualmente denominado el “compás de Arquímedes”, que permite dibujar elipses a partir del deslizamiento de piezas sobre un ángulo recto.

La articulación de este tipo de mecanismos en un procesador geométrico no está libre de dificultades. Aunque a simple vista pueda parecer relativamente intuitivo de implementar, un mecanismo es un objeto que pertenece al mundo físico, y por lo tanto está gobernado por leyes o propiedades (como la inercia) que no son parte de la geometría. Asimismo, la geometría dinámica ya presenta algunas dificultades para modelar situaciones estrictamente geométricas.

La mejor forma de describir estas dificultades está en considerar que cualquier situación que involucre movimiento físico, al intentar modelarla en un procesador geométrico se está recurriendo a dos traducciones no triviales: del mundo físico a la geometría, y de la geometría al entorno de geometría dinámica. Así, si en cada uno de estos pasos se generan ciertas dificultades, y al pasar de los dos se generan más. Esto no significa que el modelar el movimiento físico sea imposible en un procesador geométrico, sino que la naturaleza del problema varia cualitativamente.

4. De la geometría a la geometría dinámica

Representar situaciones geométricas de manera dinámica no es trivial. Si bien los procesadores geométricos están construidos para modelar la geometría, existen una serie de situaciones que surgen del simple propósito de hacer dinámicas las construcciones, que nunca antes fueron necesarias de definir.

Por ejemplo, si se construye un punto C sobre un segmento, y luego se arrastra libremente un extremo del segmento, ¿cómo debe moverse el punto C? La respuesta no está necesariamente definida en la geometría euclidiana, pues ésta es en esencia estática, sin embargo, la opción que usualmente se ha tomado, es mantener la razón en la que tal punto divide al segmento.

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Las condiciones que permiten determinar la posición del punto C, es que está sobre el segmento y en la posición que se hizo clic al construirlo, lo que responde a una arbitrariedad. La simple condición de que C pertenezca al segmento no lo determina “gráficamente”, aunque en múltiples situaciones de geometría clásica es suficiente para que C sea un punto genérico del segmento (o un punto cualquiera). Sin embargo, ante la necesidad de ubicar gráficamente el punto, es necesaria una condición más (en qué razón divide el segmento). Así, el sentido dinámico de C está en que cumple con dos condiciones, una obligatoria y otra variable. La obligatoria, y que responde a su definición, es que está sobre C, mientras que la condición variable es en qué parte específica se ubica.

En consecuencia, el sentido dinámico de los objetos en un entorno de geometría dinámica, consiste en la articulación de condiciones fijas, que responden a definiciones, pero también de condiciones variables, que permiten fijarlos en pantalla. Y justamente variando la condición variable, es posible transformar un elemento en otro de la misma familia, por ejemplo, convertir un punto del segmento en otro del mismo (arrastrando C).

Con esto queda en evidencia que el problema práctico de definir objetos en un entorno dinámico requiere muchas veces de condiciones adicionales a las que se definen en la geometría clásica, y esto hace que algunos problemas cambien cualitativamente dadas ciertas circunstancias. El siguiente ejemplo es más clarificador de esta naturaleza de los problemas en el entorno dinámico.

Construcción de la perpendicular por un punto exterior

Considérese la construcción de una recta perpendicular a una dada, que pase por un punto exterior. Usualmente en esta construcción se parte por trazar una circunferencia de un radio arbitrario, en la siguiente escena; de radio 3.

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En esta escena está la construcción antes descrita, y dado su sentido dinámico, es posible mover algunos de los puntos iniciales y observar las diferencias. Le problema surge cuando C se encuentra a más de 3 unidades de la recta dada, cuando la perpendicular construida simplemente desaparece (esto más adelante veremos que también ocurrirá con los mecanismos construidos).

En términos de la geometría clásica, la circunferencia inicial debe ser “suficientemente grande” para que intersecte la recta dada. En cambio, en el entorno dinámico, si se quiere que la construcción permanezca en todos los casos, es necesario considerar condiciones adicionales o diferentes a las usuales.

Una solución al problema anterior, consiste en considerar una circunferencia con radio siempre mayor a la distancia del punto a la recta.

5. Continuidad del movimiento

Un problema conocido en los procesadores geométricos, está asociado a la continuidad del movimiento de puntos sobre algunos objetos. Varios de estos problemas los he mostrado, refiriéndome a Cinderella, por ejemplo en el post Cinderella 2.0, como también referido a la construcción de curvas como la Rosa Polar o las Cicloides y Trocoides.

Particularmente en el post de Cinderella 2.0 me refiero a la continuidad de la rotación, que se puede observar en esta escena. Si se arrastra el punto B, se observa que el ángulo central varía de 0 a 360º, sin embargo, D, intersección de la simetral de AC con la circunferencia, sólo recorre la mitad del trayecto. Luego, el movimiento de D es discontinuo, pues justo en los 360º vuelve al principio.

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Son muchas las construcciones de lugares geométricos que producto de esta falta de continuidad no logran dibujarse completamente, como las que muestro en el post Cicloides y Trocoides, pero veamos un caso más concreto que se vincula con la construcción del mecanismo de Arquímedes.

6. De la geometría a la física

Probablemente las construcciones que mejor ilustran las dificultades de modelar el movimiento físico en un procesador geométrico, son los mecanismos, engranajes, y todo tipo de máquina destinada a la transmisión de energía. Estos funcionan no sólo a partir de leyes de la geometría, sino también de la física, de manera que el intentar simularlos en un procesador geométrico es en muchas ocasiones parcial.

Una construcción directa del mecanismo de Arquímedes, permite dibujar sólo una parte de la elipse
que describiría en el mundo físico. Nótese en esta construcción que el punto A se mueve de la manera esperada, mientras que B sólo se mantiene a la derecha del vértice. Lo que se esperaría, es que cuando A “vuelve”, es decir, cuando se desliza hacia arriba, B pasara hacia la izquierda.

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En rigor, esta simulación se basa en la intersección entre una circunferencia y un segmento, y la construcción que e basa en cada intersección permite dibujar una parte de la elipse.

En consecuencia, la forma de enfrentar el problema, es decir, construyendo directamente el mecanismo en el procesador geométrico, no permite obtener el resultado que se obtendría si la construcción fuese concreta (física).

En cambio, es necesario enfrentar el problema de construcción de manera diferente para obtener un movimiento continuo que dibuje la elipse completa.

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En esta escena se muestra la clave para construir un movimiento continuo que dibuje la elipse, siguiendo el principio del mecanismo de Arquímedes. Esencialmente se trata de un punto que gira sobre una circunferencia y sus proyecciones sobre los ejes coordenados determinan un segmento unitario. De esta forma, las proyecciones de P se mueven como si el segmento AB se deslizara sobre los rayos de un ángulo recto.

En suma, la construcción geométrica que permite simular este mecanismo, corresponden a un enfoque un tanto indirecto, aunque relacionado con el lugar geométrico que se pretende construir.

7. Interdependencia vs jerarquía del movimiento

Otro aspecto estructural que diferencia un mecanismo concreto de uno construido en un procesador geométrico, está en qué elementos pueden originar el movimiento de todas las piezas. En el caso de un mecanismo concreto, es usualmente posible que se pueda mover un determinado elemento, y que este, por arrastre, movilice el resto del mecanismo. Asimismo es común que otros elementos de un mecanismo generen el mismo resultado, de manera que la transmisión de energía se origina a partir de varios elementos posibles, en una lógica de interdependencia del movimiento.

Un procesador geométrico, en cambio, cuenta con una lógica más bien jerárquica en la que usualmente se distinguen objetos libres (usualmente sólo puntos) o dependientes. Existen también algunos elementos que son parcialmente libres, es decir, que pueden moverse sólo dentro de un dominio en el que fueron definidos, como son los puntos que sólo se mueven sobre una recta, segmento, circunferencia, etc.

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En esta escena, la construcción depende de los puntos A, B, y C, este último construido sobre la circunferencia. Al mover A, todo el mecanismo se mueve, y así se está simulando así la transmisión de energía que se daría en el mundo físico, sin embargo, esto funciona sólo con C. En un mecanismo real concreto sería posible arrastrar C, para que como consecuencia A y B fueran arrastrados, es decir transmitir la energía en el sentido inverso.

8. Bloqueo del movimiento y dominios de construcción

Una característica también muy común y frecuentemente utilizada con mucha inteligencia en las máquinas, es la de que en determinados casos un mecanismo simplemente se bloquee. Considérese el mecanismo de la siguiente figura:

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En tal caso, cuando los puntos A y C están a la misma distancia que la suma de las longitudes de las varillas, el mecanismo se bloquea, es decir, no puede seguir movilizándose. Esto es una característica que puede utilizarse muchas veces a conveniencia, sin embargo, la contraparte geométrica de esta situación es cualitativamente diferente.

Sin embargo, cuando los puntos están a mayor distancia que la suma de longitudes de las varillas, o bien, a menor distancia que la diferencia, se genera que las circunferencias dejan de ser secantes. Justo en el momento que ambas circunferencias son tangentes, se está simulando el bloqueo del mecanismo, pero cuando la distancia es mayor, las circunferencias simplemente no se intersectan lo que origina que la intersección se indetermine y el mecanismo completo (salvo A y C) desaparezca. Sólo con condiciones geométricas no es posible simular de manera “natural” este bloqueo.

En cambio si se busca simular el bloque en apariencia, se debe pensar en qué dominio deben moverse los puntos A y C, para que no se excedan las distancias que permiten que las circunferencias sean secantes o al menos tangentes. Sin embargo, esto significa una construcción diferente desde el principio, definiendo los puntos sobre segmentos. Así, la simulación de los bloqueos dependen de definir los objetos dentro de dominios convenientes, más que la imposibilidad de seguir transfiriendo energía debido a las dimensiones de los elementos que lo componen (como efectivamente ocurre en el mundo físico).

En rigor, en el mecanismo es consecuencia de las características del mismo el dominio en el que los puntos A y C se mueven, mientras que en el procesador geométrico esta condición debe ser una condición inicial.

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En esta escena, en cambio, se han construido los segmentos, considerando desde un principio en qué dominio se mueven los puntos involucrados. Aunque aparentemente B, F y E son colineales, el mecanismo se bloquea, en realidad lo que ocurre es que E está construido sobre un arco (conveniente) que justo termina en ese caso. Así, las condiciones para generar el bloqueo y evitar que desaparezcan las intersecciones, están consideradas en los primeros pasos de la construcción, particularmente, en la construcción del punto móvil E.

 

En suma, la simulación del movimiento físico en un procesador geométrico no es trivial. En gran medida, las condiciones geométricas son sólo una descripción parcial de estos fenómenos y por lo tanto al enfrentar el problema de la construcción de un mecanismo sólo con recursos geométricos la dificultad y naturaleza del problema cambia. Esto es equivalente a considerar la física y geometría como recursos para modelar estas situaciones, y cuando se busca enfrentarlas con menos recursos, naturalmente es necesario enfrentar el problema de manera diferente.

Esto no quiere decir que no sea técnicamente posible simular tal tipo de comportamiento, pero si se atiende exclusivamente a las condiciones geométricas, probablemente el problema es diferente a si se intenta construir concretamente el mismo mecanismo. Si se busca simular la transmisión de energía en ambos sentidos, se deben considerar otras o más condiciones geométricas, es decir, el problema se amplía. Esto lo hace más interesante, lo que es una ventaja fundamental para la enseñanza y el estudio de la física y la geometría.

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  1. Sin comentarios aún.
  1. Domingo, 25 de noviembre de 2012 a las 21:13 | #1

Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/08/mecanismos-en-un-procesador-geometrico/.