En varios post anteriores, he ido mostrando distintas variantes de la idea de «evolución» o «desarrollo» presente en teselaciones, como muchas que realizó Escher. En este post veremos una combinación de dos ideas, la de una teselación radial, es decir, una que va cubriendo el plano circularmente al mismo tiempo que gradualmente evoluciona en otra figura diferente.

 

La idea general de evolución en el contexto de las teselaciones, consiste en que las figuras que componen una teselación van gradualmente cambiando. El primer post de esta serie es del año 2009, cuando reconstruyo un afiche que contiene una organización rectangular de cuadrados que van evolucionando (evolución de cuadrados). Y en mayo profundizo un poco más en esta idea, generando teselaciones evolutivas basadas en traslaciones, en el post evolución lineal.

En esta ocasión, tomaremos la idea de evolución lineal, combinándola con la de teselación radial, esto es, una teselación que va cubriendo el plano con el uso de rotaciones y homotecias, como la que se muestra en la siguiente imagen:

1. Secuencia de evolución

Como en la evolución lineal, partimos de un cuadrado y un punto cualquiera en su interior que se gira en 90º respecto al centro. Estos puntos determinan vectores que utilizaremos para gradualmente convertir el cuadrado. En particular, queremos que el cuadrado se convierta en 10 pasos en el polígono determinado por los vértices: A, Tn·vA(A), B, Tn·vB(B), C, Tn·vC(C), D, Tn·vD(D).

 

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Así, el octágono que se está construyendo tiene cuatro vértices que se acercan a los puntos interiores, en este caso, 1/10 cada vez. Si además cada pieza se traslada respecto al vector u, se estarán organizando en una misma fila igualmente espaciadas.

En Geogebra, la fórmula para generar esta fila sería:

Fórmula de Geogebra

secuencia[polígono[A, traslacion[A,(u + vA/10) · n], B, traslacion[B,(u + vB/10) · n], C, traslacion[C,(u + vC/10) · n], D, traslacion[D,(u + vD/10) · n]],n,1,10]

 

2. Evolución con homotecia

Pero una característica de los mosaicos radiales, es que progresan con homotecia, es decir, se van formando anillos cada vez más pequeños con un mismo centro. De manera que para adaptar la evolución lineal a la forma radial, es necesario utilizar homotecia para avanzar en vez de traslación.

 

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Consideremos r, como la razón de homotecia y O como el centro de homotecia. Entonces, necesitamos aplicar esta transformación a un cuadrado que gradualmente se convierte en la nueva figura. Así, la fórmula anterior la adaptamos para que no traslade respecto al vector u, sino que se aplique homotecia en la razón «rn» (siendo n, el valor que varía de 1 a 10).

Fórmula de Geogebra

secuencia[homotecia[polígono[A, traslacion[A,n·vA/10], B, traslacion[B,n·vB/10], C, traslacion[C,n·vC/10], D, traslacion[D,n·vD/10]],r^n,O],n,1,10]

 

3. Evolución con rotación y homotecia

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El tercer elemento a añadir, son las rotaciones. En este caso, si una secuencia de figuras, como la anterior, se gira alrededor del centro de homotecia, es posible, dadas ciertas condiciones, lograr el efecto buscado.

Este applet está diseñado para explorar tales condiciones. Dos elementos son esenciales. Primero, lograr que las figuras que se generan por homotecia se conecten, es decir, que dos pares de vértices de cada figura se alineen con el centro de homotecia. En segundo lugar es necesario también lograr que los otros pares de vértices se conecten con las figuras que se generan por rotación.

Es decir, al lograr que todas las figuras estén conectadas con otras tres o cuatro, se logran espacios intermedios que también evolucionan.

4. Evolución radial

De la exploración anterior se pueden deducir un par de ideas cruciales para esta construcción, las cuales se pueden ver con más detalle en el video que dejo al final del post. Primero, es necesario construir el cuadrado de manera que esté contenido entre rectas que forman el mismo ángulo en el que se realizarán las rotaciones. Así, cada fila (esa que se proeycta por homotecia hacia el centro) se conecta con la siguiente.

En segundo lugar, es necesario además, utilizar precisamente la razón de homotecia necesaria para que los anillos (de figuras de igual tipo) se conecten entre sí. Esto tiene que ver con unas paralelas que se trazan en el video.

 

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Fórmula de Geogebra

secuencia[secuencia[rota[homotecia[polígono[A, traslacion[A,n·vA/10], B, traslacion[B,n·vB/10], C, traslacion[C,n·vC/10], D, traslacion[D,n·vD/10]],r^n,O],j*2π/n],n,1,10],j,0,r]

 

5. Evolución con homotecia 2

Ahora bien, este modelo es sólo uno de muchos que pueden crearse. No podría decir que hay un método único para realizar las construcciones, pero si se tiene claridad sobre cómo realizar una evolución «lineal» es decir una secuencia de figuras que gradualmente evolucionan hacia otra, los pasos antes descritos permitirían adaptarla para que sea además «radial».

Tómese como ejemplo esta siguiente secuencia, descrita también en el post de evolución lineal. Esta también se basa en un cuadrado, pero la forma en la que se construye es distinta.

En este caso, la figura inicial es un cuadrado, y la final depende de las simetrías respecto a los puntos medios de los lados, siendo la figura final la más oscura [A,E,E’,B,H,H’,C,G,G’,D,F,F’].

 

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Para lograr que esta secuencia progrese con homotecia (en la razón «r»), básicamente utilizamos la secuencia:

Fórmula de Geogebra

secuencia[homotecia[polígono[A,traslada[I,vector[I,E]],traslada[I,-vector[I,E]],B,traslada[J,vector[J,H]],traslada[J,-vector[J,H]],C,traslada[K,vector[K,G]],traslada[K,-vector[K,G]],D,traslada[L,vector[L,F]],traslada[L,-vector[L,F]]]]]

 

6. Evolución radial 2

 

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En fin, es interesante observar cómo los métodos de teselación de Escher son abordables con el uso de descripciones vectoriales, lo que permite automatizar estas construcciones en Geogebra. Además, es posible deconstruir estas ideas, identificando los distintos elementos, como lo evolutivo, lo lineal y radial. Este post, así como los tres antes mencionados, son un esfuerzo por describir desde la práctica las ideas geométricas que Escher.

Dejo finalmente un video con la construcción completa del último diseño en Geogebra.