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Clasificación de cuadriláteros y su funcionalidad

Jueves, 21 de junio de 2012
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Clasificación de cuadriláteros y su funcionalidad

La clasificación de cuadriláteros es a veces un tema un tanto polémico, pues suelen existir algunas divergencias en cuando a cómo “debe” realizarse. Al mismo tiempo, tales divergencias son fuente de interesantes discusiones en torno a la distintas posibles definiciones de ciertos cuadriláteros y su utilidad a la hora de resolver problemas.

En este post veremos algunos elementos fundamentales de tal discusión, a partir de la pregunta esencial ¿es un cuadrado un rectángulo?

 

Este post participa en el Versión 3.14159 del carnaval matemáticas en español, organizado en el Blog Scientia.

Tales preguntas, aunque pueden parecer aparentemente simples, pueden llevar rápidamente a un terreno en que requiere de cierta precisión conceptual fundamental para cualquier profesor. Lo interesante está en que este tema involucra aspectos tanto históricos, filosóficos y por supuesto todos los aspectos matemáticos asociados a la geometría como un sistema deductivo.

Diversidad conceptual

Probablemente la mayor dificultad en discusiones de este tipo, está en la creencia de que en la matemática, en su carácter de ciencia exacta, existe sólo una forma correcta de definir los objetos y relaciones que estudia. Esto se ve muy frecuentemente cuando alumnos y profesores hacen preguntas o afirmaciones bajo el supuesto de la necesidad de un principio de autoridad al respecto: “cómo se clasifican”, o bien, “cuál es la verdadera” o incluso “cuál es la correcta” clasificación.

Sin embargo, en la matemática no es un conjunto de hechos, sino de ideas, por lo que muchas veces hay varias formas (correctas) de definir las cosas. Quien lo expresaba con mucha claridad en los años 70, era Hans Freudenthal, matemático alemán quien planteaba en su libro “La matemática como una tarea educativa” de 1973:

 

Se mencionó previamente que existen varias nociones de ángulo. Algunos educadores quieren convencernos que sólo una de ellas es correcta. El orden es algo maravilloso, pero no debería exagerarse si esto lleva a la supresión de nociones importantes simplemente porque no tienen cabida en nuestro sistema.

Traducido al español del video de la charla de Ulrich Kortenkamp, “The Impact of Computer Science on Mathematics Education” (14:10).

 

Y este principio es aplicable a muchos otros temas matemáticos, dentro de los cuales probablemente la geometría sea quizás la que admite mayor diversidad, dado que se desarrolló tan tempranamente en nuestra historia y precedió la aparición de una gran cantidad de matemática nueva que naturalmente impactaría en todo lo que se generó en la antigüedad. Por eso es que hay tantas discusiones sobre conceptos como los ángulos (definidos como figuras o regiones), la interminable discusión entre congruencia e igualdad, muchas ideas que se modernizaron como de las tangentes, cónicas y la trigonometría, y por supuesto la lógica incluyente o excluyente para definir los cuadriláteros, que veremos en este post.

Así, queda en evidencia la cuestión filosófica central de todas estas discusiones, y es que en la matemática no existe sólo una forma de definir todos sus conceptos, sino que existe una cierta diversidad en ello. No se trata de creer que todas las posibles formas de definir los objetos matemáticos son equivalentes, hay claramente diferencias, pero es una tarea fundamental en el estudio de al geometría, especialmente para profesores, el identificar criterios para evaluar cuáles son mejores según determinados objetivos, y qué funcionalidad pueden tener estas distintas formas definir los objetos en la geometría.

Definir y clasificar

Claramente el proceso de clasificar conceptos no ocurre de manera independiente, sino que es consecuencia de las definiciones con las que se cuente. De tal forma, respuestas a preguntas como las planteadas al principio, ¿es un cuadrado un rectángulo?, dependen de cómo se defina el concepto de rectángulo y el de cuadrado, que como veremos puede realizarse consistentemente de más de una forma.

Pero divaguemos un poco en torno al cuadrado, y supongamos que no sabemos cómo se define precisamente. Esto nos llevaría a considerar varias propiedades que se cumplen en un cuadrado cualquiera, por ejemplo:

  1. Sus lados son congruentes
  2. Sus lados son paralelos
  3. Sus ángulos internos son todos congruentes
  4. Tiene sólo ángulos rectos
  5. Sus diagonales son perpendiculares
  6. Sus diagonales se dimidian
  7. Es inscriptible
  8. Es circunscriptible
  9. Las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas
  10. Sus ángulos opuestos y adyacentes son congruentes

… y así podríamos seguir enunciando una infinidad de propiedades, algunas de las cuales debemos incluir en la definición de cuadrado, pero ¿cuáles son las más apropiadas para hacer una buena definición?

Alguien podría pensar, no corramos riesgos, definamos el cuadrado a partir de las diez ideas que acabamos de identificar, y por lo tanto, cualquier cuadrilátero que cumpla con todas; será un cuadrado. Si bien esto es algo particularmente seguro, es decir, difícilmente un cuadrilátero no-cuadrado podrá cumplir con todos estos requisitos, pero es poco práctico. Si así lo hiciéramos, cada vez que debamos comprobar si un cuadrilátero es cuadrado, tendríamos que verificar diez condiciones. En lenguaje matemático, esta sería una definición poco económica, una mala definición de hecho, pues nos requeriría de una cantidad excesiva de trabajo.

Más aun, algunas de estas condiciones son más importantes que otras. Algunas, de hecho, son consecuencia de las otras. Por ejemplo, el hecho de que los lados sean todos congruentes, nos permitiría demostrar sin mucho esfuerzo, que los lados también son paralelos. Así, podríamos tomar (1) como parte de la definición y (2) sería más bien un teorema. Asimismo, la condición (3) en conjunto con la idea de que los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360º, trae como consecuencia que los ángulos internos del cuadrado son rectos. Luego (4) es, en parte, consecuencia de (2).

Economía e independencia, son dos principios fundamentales, que básicamente apuntan a que la definición cuente con las llamadas condiciones necesarias y suficientes. Por ejemplo, es necesario para que un cuadrilátero sea cuadrado, que sus lados sean congruentes, pero no es suficiente y por lo tanto no permite por si solo determinar un cuadrado. En cambio, si a tal condición le agregamos que además sus ángulos sean congruentes, entonces si se determina un cuadrado, de manera que ambas serían condiciones necesarias y suficientes (aunque no las únicas, más bien, son las más usuales).

Definiciones en “Los elementos”

Como indicaba anteriormente, la historia de la geometría está llena de casos en los que una idea que ha sido previamente definida se reformula más adelante. Es razonable suponer que la aparición de tanta nueva matemática en los siglos posteriores a la antigüedad, necesariamente afectara toda la geometría ya construida, no sólo en cuanto a los métodos, sino también en términos conceptuales. Si consideramos que las figuras geométricas son conjuntos de puntos, considérese qué implicancias conceptuales puede haber traído la aparición de la teoría de conjuntos y la noción del punto como indicador de posición en la geometría analítica.

¿Pero cuáles son las diferencias históricas en las definiciones de cuadriláteros? Si nos remontamos a la antigüedad, es inevitable hacer referencia a “Los elementos” de Euclides. Antes de revisar un par de ejemplos, es importante aclarar que no todas las traducciones son equivalentes. Las hay algunas más literales que otras, algunas más interpretativas que otras y algunas un tanto modernizadas. La edición en línea en español de Los Elementos (Euclides.org), por ejemplo, entrega una versión más bien literal en la lógica de las definiciones de diversos cuadriláteros:

Definición 22.

De los cuadriláteros, cuadrado es el que tiene los lados iguales y los ángulos rectos; rectángulo el que es rectangular pero no equilátero; rombo el que es equilátero, pero no tiene los ángulos rectos; y romboide el que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales, pero ni es equilátero ni tiene los ángulos rectos. Los otros cuadriláteros se llaman trapecios.

Este tipo de definiciones se suelen denominar excluyentes o particionales, y traen como consecuencia que el cuadrado no sea un caso particular de rectángulo o rombo, visión que responde a una lógica propia de la antigüedad.

Otra traducción, que explícitamente propone modernizar la terminología y conceptualización del texto, es la de John Casey (1885), que en sus primeras páginas consigna:

Esta edición de Los Elementos de Euclides, elaborada a petición de los directores de los principales colegios universidades de Irlanda, se propone para suplir una necesidad muy patente de los profesores de la época actual, un trabajo en el que, manteniendo la originalidad en toda su integridad, contiene también las nuevas concepciones y desarrollos de la porción de geometría que Los Elementos abarca.

Traducido al español del texto digitalizado para el Proyecto Gutenberg, “The First Six Books of the Elements of Euclid by John Casey and Euclid

En la versión de Casey, las definiciones de cuadriláteros se proponen con una lógica, más moderna, incluyente, a saber:

xxvi. Una figura plana delimitada por más de tres líneas rectas generalmente se denomina polígono.
xxvii. Un polígono se dice que es convexo cuando no tiene un ángulo reentrante.
XXVIII. Un polígono de cuatro lados que se denomina un cuadrilátero.
XXIX. Un cuadrilátero cuyos lados son iguales se denomina rombo (“lozenge” en español: diamante).
XXX. Un rombo que tiene un ángulo recto se denomina cuadrado.

Como consecuencia de esta forma de definir estos cuadriláteros, el cuadrado sería un caso particular de rombo y rectángulo. Así vemos que ya para el siglo XIX se tenía noción de que la modernización de la geometría abarcaba tanto nombres, conceptos y por supuesto la lógica que subyace a ciertas relaciones, y en los años posteriores, ya en 1885 por cierto, se estará trabajando intensamente en la axiomatización de la geometría.

Sin embargo, cualquier profesor que observe dos tipos de definiciones, y denominaciones, suele preguntarse naturalmente ¿cuál es la correcta? Más allá de constatar que en la antigüedad se adscribía a una lógica más bien excluyente, y que la lógica incluyente se habría introducido posteriormente, estas posibilidades de definir los cuadriláteros de una u otra forma requiere de un análisis más bien funcional.

Comprensión funcional de la clasificación de cuadriláteros

La principal motivación para escribir este post, surge de haber encontrado un artículo que plantea con mucha claridad el tema. El artículo del profesor Michael De Villiers, “Rol y función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros”, cuya traducción al español publico en este espacio, aborda el problema de la clasificación desde la lógica de lo que denomina la “comprensión funcional”.


Rol y función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros

Michael De Villiers, 1994
http://dynamicmathematicslearning.com/homepage4.html
Artículo original en http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf

Traducción al español por Rafael Miranda Molina
GeometriaDinamica.cl
10/06/2012

La pregunta central, para De Villiers, no está en cómo se pueden definir los cuadriláteros, pues ambas clasificaciones usuales SON matemáticamente correctas, sino que se trata de considerar para qué clasificar de una u otra forma. El comprender la utilidad, rol, valor o función de un determinado contenido o proceso matemático, es lo que propone como la “comprensión funcional” de la matemática, y en gran medida fomentar esta comprensión de la funcionalidad de la matemática, permite hacerla más significativa.

De Villiers describe dos tipos usuales de clasificación. La particional, basada en definiciones excluyentes, que lleva a que los subconjuntos generados sean disjuntos. Por ejemplo, definir un paralelogramo como un cuadrilátero de lados opuestos paralelos, pero ángulos no rectos, excluiría inmediatamente los rectángulos. Esta lógica particional, si bien no es usualmente muy aceptada por los matemáticos, es matemáticamente correcta y puede realizarse de manera razonablemente económica.

En contraste, existe una clasificación jerárquica, que se basa en definiciones incluyentes. El paralelogramo, por ejemplo, se definiría en este caso como un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, y como el rectángulo cumple con tal condición, se trataría de un caso especial de paralelogramo. Esto genera, más que una clasificación estricta, una jerarquía de cuadriláteros con clases inclusivas.

En el siguiente esquema, adaptado del artículo antes citado, se ilustran ambas posibles clasificaciones.

Como se puede observar, en la clasificación jerárquica, el paralelogramo sería el tipo más general que se muestra, que incluye como subconjuntos a los rectángulos y rombos y la intersección de ambos subconjuntos serían los cuadrados.

Mientras que la clasificación particional excluye a rombos y rectángulos de la categoría de paralelogramos, y excluye el cuadrado también de los mismos.

Si bien ambas clasificaciones son matemáticamente correctas, es importante comprender por qué una, la jerárquica, es usualmente más funcional en el estudio de la geometría, y las principales ventajas que De Villiers plantea son:

  • Lleva a definiciones y formulaciones de teoremas más económicas.
  • Simplifica la sistematización deductiva y derivación de propiedades o conceptos más específicos.
  • Provee a menudo de un útil esquema conceptual para resolver problemas.
  • A veces sugiere definiciones alternativas y nuevas proposiciones.
  • Provee de una perspectiva global útil.

Definiciones incluyentes

  • Trapecio: Cuadrilátero con, al menos, un par de lados opuestos paralelos
  • Paralelogramo: Cuadrilátero con lados opuestos paralelos
  • Rectángulo: Cuadrilátero con ángulos congruentes (equiángulo)
  • Rombo: Cuadrilátero con lados congruentes (equilátero)
  • Cuadrado: Cuadrilátero con lados congruentes (equilátero) y ángulos congruentes (equiángulo)

Definiciones excluyentes

  • Trapecio: Cuadrilátero con sólo un par de lados opuestos paralelos
  • Paralelogramo: Cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero no equiángulo, ni equilátero
  • Rectángulo: Cuadrilátero equiángulo, pero no equilátero
  • Rombo: Cuadrilátero equilátero, pero no equilátero
  • Cuadrado: Cuadrilátero equilátero y ángulos equiángulo

Volviendo al tema de la economía, cualquier definición excluyente requiere de explicitar mayor información, con el propósito de excluir casos no deseados. Así, una definición particional de paralelogramo, que excluya rectángulos y rombos puede ser: Un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero ángulos internos no congruentes y diagonales no perpendiculares.

En cambio una definición incluyente, es más económica, pues no es necesario agregar información adicional para excluir casos: Un cuadrilátero con lados opuestos paralelos.

Asimismo, hay teoremas que se cumplen para varios tipos distintos de cuadriláteros, independientemente de cómo se clasifiquen, pero en un sistema particionado, se requiere mencionar mayor cantidad de casos, dado que están todos diferenciados. Tómese por ejemplo, la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se dimidian mutuamente. Si los definimos de manera que excluyan rectángulos, rombos y cuadrados, en los que esta propiedad también ocurre, la formulación del teorema debiera ser: En un paralelogramo, rectángulo, rombo y cuadrado, sus diagonales se dimidian mutuamente.

En cambio, en un sistema jerárquico, es decir, de definiciones incluyentes, bastaría con consignar que lo anterior se cumple para el paralelogramo, y se asume que también se cumplirá para todos sus casos particulares. Luego tenemos mayor economía, tanto definiciones como en la formulación de teoremas.

Una completa clasificación jerárquica de cuadriláteros se puede encontrar en el sitio de Michael De Villiers, aunque esté en inglés, es una construcción dinámica (en Sketchpad) de 16 categorías de cuadriláteros: http://frink.machighway.com/~dynamicm/quad-tree-web.html

Demostración
Los lados opuestos de un paralelogramos son congruentes

Sea ABCD un paralelogramo, es decir, un cuadrilátero de lados opuestos paralelos.
Dado que AD // BC, los ángulos α y β son congruentes. Análogamente, por ser AB // CD, los ángulos γ y δ son congruentes.

Luego, los triángulos ADC y CBA son congruentes, por el criterio [ALA], por lo tanto, los pares de lados AD con CB y AB con CD, son correspondientemente congruentes.

Existen muchos ejemplos que se pueden dar para ilustrar la economía deductiva de un sistema jerárquico, dado que si se demuestra que las diagonales de un deltoide son perpendiculares, al considerar que el rombo y el cuadrado son casos particulares, se asume que para ellos, tal propiedad también se cumple. Es más, el afirmar que un cuadrado es un rombo cumple un rol argumentativo: decir que un cuadrado es un rombo significa que lo que sabemos que ocurre en un rombo, también ocurre en un cuadrado. Así, en contexto, la simple afirmación de la relación entre el cuadrado y el rombo tiene una utilidad práctica, lo que es de hecho una funcionalidad de la clasificación jerárquica.

Esto provee un útil esquema conceptual para resolver problemas, que permite un sacar conclusiones a partir de las clases a las que un cuadrilátero pertenezca. Es más, es muy interesante observar como ciertas propiedades son propias de ciertas clases, y se heredan a otras subclases. En un paralelogramo, por ejemplo, sus lados opuestos son congruentes. Esto también ocurre en los rectángulos, rombos y cuadrados, pero si se busca demostrar tal propiedad, la demostración más elegante suele utilizar solamente la idea de que los lados opuestos son paralelos, es decir, BASTA con que, por ejemplo, el rectángulo sea un paralelogramo para que esto se cumpla.

Así, podemos afirmar que esta propiedad es propia (estructural, si se quiere) del paralelogramo, y se hereda a los casos más particulares, porque el caso más general de cuadrilátero en el que se cumple es el paralelogramo. De esta misma forma podemos hacer afirmaciones muy elegantes sobre esta pertenencia de propiedades, decir por ejemplo, que el rectángulo hereda las diagonales que se dimidian del paralelogramo, o bien que el rombo hereda las diagonales perpendiculares del deltoide.

Desde la geometría dinámica

En suma, la clasificación jerárquica permite establecer un sistema deductivo más económico, y con una lógica en la que la clasificación permite resolver problemas y argumentar. Más aun, hay una funcionalidad más particular, que es la de permitir definiciones alternativas ciertos cuadriláteros. Dado que muchos conceptos no son más que intersección de otros más generales, muchas veces hay intersecciones equivalentes.

Por ejemplo, si definimos un rectángulo como un cuadrilátero equiángulo y un rombo como un cuadrilátero equilátero, el cuadrado, por ser equilátero y equiángulo sería justamente la intersección de ambos conceptos. Como sabemos que en un rombo sus diagonales son perpendiculares, podemos aprovechar esta idea para definir de manera alternativa el cuadrado: Un cuadrado es un rectángulo con diagonales perpendiculares.

O bien, en un rectángulo sabemos que sus ángulos son rectos, por lo que también es posible definir el cuadrado como: un rombo con al menos un ángulo recto.

Para visualizar correctamente este applet, debes instalar (o activar) Java. Visita Java.com/es

En esta escena, es posible articular de manera práctica el concepto de cuadrado como la intersección entre los conceptos de rectángulo y rombo. En el primer caso se tiene un rectángulo, en el que el ángulo que forman las diagonales se puede ajustar moviendo el punto R. Si se logra que las diagonales sean perpendiculares, se puede observar que como consecuencia los lados se hacen todos congruentes, es decir, se obtiene un cuadrilátero equiángulo y equilátero como es el cuadrado. Análogamente, en el caso 2 se tiene un rombo, construido como un cuadrilátero equilátero. Si se ajusta C para que al menos un ángulo interno sea recto, se puede observar cómo el rombo se convierte en un cuadrado.

Estas ideas pueden entenderse tanto como definiciones alternativas o como propiedades que hemos descubierto a partir de la intersección de conceptos (o combinación de propiedades). En ambos casos, se trata de una característica propia de las clasificaciones jerárquicas, lo que es un juego conceptual sumamente interesante para efectos de facilitar la comprensión de los conceptos geométricos y las relaciones subyacentes. En este tipo de ejercicios, hay una suerte de traducción conceptual de las posibles intersecciones de los conceptos de rectángulo y rombo, para definir el cuadrado. Estas otras formas de definir, De Villiers las desarrolla como definiciones como descriptivas (a posteriori) o constructivas (a priori), y tienen relación con los procesos de generalización y especialización.

Como se puede observar, los ejemplos construidos en Geoegebra, permiten explorar estas ideas de manera gráfica. En cualquier procesador geométrico es perfectamente posible construir cuadriláteros a partir de definiciones incluyentes, como un paralelogramo a partir de pares de rectas paralelas, y explorar qué ocurre cuando a tal paralelogramo dinámico se le añade alguna condición adicional. Aun así es importante notar que las definiciones incluyentes son más naturales de articular en un procesador geométrico que las excluyentes, puesto que es complejo construir objetos que “no cumplan” con determinada condición. Considérense los ejemplos de definiciones excluyentes mostrados anteriormente, para estimar las posibles construcciones geométricas.

Otro aspecto notable que los programas de geometría dinámica nos permiten desarrollar, es el representar de diversas formas los cuadriláteros y las figuras en general. Es preocupante encontrarse con situaciones en las que, dependiendo de la posición de un cuadrilátero, los alumnos crean que se trata de una figura distinta. Esto ocurre frecuentemente cuando se presentan cuadrados con sus diagonales alineadas con los bordes de los libros (pizarras o pantallas), que hace pensar a muchos alumnos que se trata en realidad de un rombo (no-cuadrado), o bien cuando se presenta un rombo con un lado horizontal, lo que les hace pensar que se trataría de un paralelogramo (no-rombo).

Tómese como ejemplo, el ícono de este post, en el que se presentan dos cuadriláteros. Es ilustrativo y un buen ejercicio preguntarle a los alumnos qué tipo de cuadriláteros observan, y más importante, por qué.

Esta problemática es descrita por las investigadoras Sara Scaglia y Susana Moriena, en los artículos “Prototipos y estereotipos en geometría” y “Efectos de las representaciones gráficas estereotipadas en la enseñanza de la geometría”. El problema surge cuando frecuentemente, no sólo en situación de aula, se representan las figuras sólo en determinadas dimensiones y orientaciones, lo que hace que los alumnos internalicen ciertas características, como la orientación de las figuras, como si fueran parte de las definiciones de las mismas.

Pero en un entorno dinámico es posible observar cómo una figura se puede convertir en otra, manteniendo invariante ciertas propiedades. Los objetos, en su carácter dinámico, son más bien representantes de conceptos, como un rectángulo que varía de diversas formas convirtiéndose en otros, pero siempre manteniendo los ángulos internos congruentes. Así se confirma el sentido fundamental de la geometría dinámica, donde el movimiento es un recurso didáctico que nos permite descubrir aquellas relaciones que se mantienen invariantes y que tan frecuentemente son objeto de estudio de la geometría.

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  1. Viernes, 27 de julio de 2012 a las 13:33 | #1

    Me parece una interesante discusión para mostrarle a los alumnos la flexibilidad de las definiciones y la forma en que se desarrollan las ciencias en especial la matemática. (pd:necesito menos horas de clase y mas de investigación) gracias.

  2. milagros
    Domingo, 26 de agosto de 2012 a las 20:01 | #2

    hola¡
    tengo una tarea de matemáticas y quisiera comentarla xq realmente no entiendo, dice,
    1)las diagonales de los paralelogramos se cortan en su punto medio ?que condiciones son necesarias para que se determine un rectángulo?¿y un cuadrado?

    2) los cuatro lados del rombo son iguales ¿que condición hay que agregar para q ese rombo sea ,ademas,un cuadrado?

    3) se sabe que un cuadrilátero tiene dos ángulos opuestos que son rectos ¿es posible estar seguro de que se trata de un cuadrado?

    Me serviría mucho q me ayudaran

    • Lunes, 27 de agosto de 2012 a las 22:55 | #3

      Hola, a ver, estas preguntas son muy interesantes, porque te permiten relacionar los paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados. En este artículo se explica, aunque está más dirigido a profesores. Te recomiendo dos construcciones que te pueden ayudar:

      Para la primera pregunta, ocupa esta construcción: http://www.geometriadinamica.cl/postimg/paralelogramo_comentarios.html

      Es un paralelogramo, pero sus ángulos pueden variar, es decir, es un paralelogramo cualquiera. Modifícalo de manera que se convierta en un rectángulo, ¿qué cambio? ¿qué condición cumple ahora este paralelogramo para ser además un rectángulo?

      Asimismo modifícalo para que sea un cuadrado, ¿qué condiciones adicionales cumple para se cuadrado? o bien ¿cómo tuviste que modificarlo para que se convirtiera en un cuadrado?

      Para la pregunta 2 es la misma idea, pero con esta otra construcción: http://www.geometriadinamica.cl/postimg/rombo_comentarios.html

      En ella hay un rombo, pero puedes deformarlo, aunque siempre se mantiene como rombo. Convierte el rombo en un cuadrado, ¿cómo debes modificarlo para se convierta en un cuadrado? ¿qué tiene de diferente el rombo inicial con el rombo que además es cuadrado?

      Lo principal es que consideres que cuando dices que un rombo es un cuadrilátero con lados congruentes (o iguales dice tu profe), no estás diciendo nada de sus ángulos, o sea, podrían ser de muchas formas diferentes, pero ¿cómo deben ser para que se convierta en un cuadrado? Probablemente si a la condición de “4 lados iguales” le agregas otra condición estarías hablando de un cuadrado, ¿pudiste identificar cuál es esa condición extra?

      Espero que te ayude.
      Saludos
      Rafael

  3. erika ponce
    Miércoles, 18 de marzo de 2015 a las 00:59 | #4

    bno esto viene muy claro pero solo q yo quería ¿cuadrilátero con los lados paralelos 2 a 2? y no lo encuentro solo esta el romboide pero ese no es:(

  1. Miércoles, 27 de junio de 2012 a las 03:17 | #1

Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/06/clasificacion-de-cuadrilateros-y-su-funcionalidad/.