Dentro de la gran variedad de recursos que usó Escher en sus diseños, está la idea de evolución o desarrollo, que usualmente consistió en cubrir el plano con una figura que progresivamente iba cambiando.

Tales ideas se combinan con las de las teselaciones y las propiedades de simetría de las distintas figuras a partir de las cuales se construyen. En este post, veremos una primera aproximación a tales desarrollos.

Los diseños a los que me refiero, son teselaciones en las que se cubre el plano con varias figuras, que conforman una modificación gradual de una hasta otra. Por ejemplo, en este caso, los reptiles se van organizando de manera que se proyectan hacia un punto en el centro, convirtiéndose progresivamente en hexágonos.

Development II, 1939

Ya es interesante el hecho de que se pueda cubrir el plano con los reptiles, pero al observar estos diseños surge naturalmente la pregunta de cómo van cambiando para que los espacios que van quedando hacia el centro se puedan cubrir con piezas similares, pero más pequeñas.

Obsérvese dos piezas contiguas. ¿Cómo han sido construidas para que una parte del reptil calse precisamente con otra parte de otro reptil más pequeño y “atenuado”.

1. Evolución de cuadrados

Hace un par de años analicé la geometría detrás de un afiche compuesto por figuras que progresivamente iban cambiando a partir de un cuadrado, en el post Evolución de cuadrados.

En tal afiche las figuras no siguen un patrón claro de transición, es decir, los cambios de una figura a otra son más bien arbitrarios. Pero es posible articular esta misma idea de manera un tanto más regular, con en el diseño de Escher, es decir, que la transición de una pieza a otra siga una misma lógica.

Veamos una transición similar, pero no arbitraria, sino gradual desde un cuadrado a una figura que cuente con simetría.

Tomemos, por ejemplo, un cuadrado y un punto cualquiera en su interior, y giremoslo respecto al centro en 90º sucesivamente. La figura determinada por los vértices del cuadrado y estos puntos interiores es un buen ejemplo para realizar la transición desde el cuadrado.

Para operacionalizar esta transición, es útil considerar los vectores trazados desde los vértices del cuadrado a los puntos interiores. De esta forma, la pieza n-sima de la secuencia, estaría determinada por los vértices: A, T_n·vA(A), B, T_n·vB(B), C, T_n·vC(C), D, T_n·vD(D).

Es decir, el octágono que se está construyendo tiene cuatro vértices que se acercan a los puntos interiores, en este caso, 1/10 cada vez. Si además cada pieza se traslada respecto al vector u, se estarán organizando en una misma fila igualmente espaciadas.

En Geogebra, la fórmula para generar esta fila sería:

Fórmula de Geogebra

secuencia[polígono[A, traslacion[A,(u + v_A/10) · n], B, traslacion[B,(u + v_B/10) · n], C, traslacion[C,(u + v_C/10) · n], D, traslacion[D,(u + v_D/10) · n]],n,1,10]

Y para continuar esta secuencia, hacia ambos lados, es posible considerar los caminos inversos de la secuencia, es decir, luego de la n-sima figura, continuar con la n-1, n-2 y así sucesivamente hasta la primera (el cuadrado) y luego volver a partir. Numéricamente se puede ilustrar de la siguiente forma: 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3….

Esta secuencia, mientras las figuras de cada desarrollo se mantengan en el interior del cuadrado, puede repetirse hacia arriba y abajo, generando un interesante efecto de positivos y negativos.

Siguiendo la lógica de Geogebra, la secuencia para realizar la mitad de este diseño (desmarcar la casilla “doble”) sería de la forma:

Fórmula de Geogebra

secuencia[secuencia[polígono[traslada[A, i*u + j*v], traslada[A, i*(u +V_A/10) + j*v],traslada[B, i*u + j], traslada[B, i*(u +V_B/10) + j*v],traslada[C, i*u + j*v], traslada[B, i*(u +V_C/10) + j*v],traslada[D, i*u + j*v], traslada[D, i*(u +V_D/10) + j*v]],j,0,10],i,1,10]

Si el punto del que dependen (E) se ubica en el exterior, en cambio, se genera solapamiento, lo que también es un efecto interesante desde un punto de vista artístico, aunque se tiende a perder el efecto que producen los espacios intermedios.

3. Desarrollo de un triángulo equilátero

Esta misma idea es muy natural de extender a un triángulo equilátero. Los puntos que en el caso anterior se giraban en 90º, ahora se giran en 120º y las traslaciones son por los mismos vectores que portan lados consecutivos.

Es intersante además cuando en este diseño cuenta con el mismo alto y ancho, la figura que circunscribe todo es un paralelogramo. Pero también ocurre, si cada fila tiene una pieza menos que la anterior, que la organización de las piezas es en realidad triangular (desmarcar la casilla “doble”).

4. Desarrollo hexagonal

Una variación de la idea anterior, consiste en tomar esa disposición triangular de figuras como una figura más, que está inscrita en un triángulo equilátero. Por lo anterior, podemos rotarla en múltiplos de 60º para obtener una disposición hexagonal de triángulos que se convierten en otras figuras.

¿Son estas teselaciones? No necesariamente, pero si se decoraran los espacios en blanco de manera que tuvieran algún sentido (peces, pájaros, etc.) podría serlo. Aun así lo que se está logrando es controlar el desarrollo de una figura que deja espacios sin completar.

Otro enfoque, también utilizado por Escher, consiste en generar figuras que fan cambiando y a la vez se logran ensamblar sin generar espacios o solapamiento.

5. Desarrollo sin solapamiento

Retomemos la idea inicial de evolución a partir del cuadrado, en este caso de manera un tanto diferente. Tenemos un cuadrado [ABCD], los puntos medios de los lados, M, N, O y P; y un punto libre, G, que se rota en 90º respecto al centro (generando F, E y H). Si tomamos los vectores u₁, u₂,u₃ y u₄ para progresivamente ir convirtiendo el cuadrado, obtenemos figuras que cuentan con simetría rotacional.

En particular, los vértices que componen esta figura son: A, T_u1(M), B, T_u2(N),C, T_u3(O),D, T_u4(P).

Controlando el deslizador “Pasos”, es posible observar las distintas figuras que se generan, y cómo se conectan con la siguiente. Como puede apreciarse, especialmente si G es relativamente lejano a O, la conexión entre ambas piezas no es perfecta, quedando un espacio intermedio.

Esto deja en evidencia que en el esquema de evolución usado por Escher, la forma como una pieza evoluciona en otra, no es homogenea, sino que requiere que ciertas líneas (las que nacen del lado AD) cambien a un ritmo distinto de las demás… pero nos estamos acercando.

6. Piezas definitivas

Pensémoslo así, si cada pieza en el patrón de evolución es una generación, no es posible que la generación 2 se una precisamente con la generación 3, a menos que las líneas que las conectan sean precisamente las mismas. De esta forma, la pieza 3, debe componerse de ciertas líneas que evolucionan a la 3ª generación y otras que están en la 2ª. Estas últimas están destacadas en rojo en la siguiente escena.

Lo que debe notarse aquí es que cada pieza, para que pueda acoplarse correctamente con la anterior, requiere que las líneas grises sean de la generación “n” y las líneas en rojo deben ser de la generación “n-1″.

De esta forma, Escher debe haber pensado en este patrón evolutivo, no por piezas o figuras, sino por líneas. Obsérvese nuevamente el diseño hexagonal anterior, y se podrá verificar que las líneas van evolucionando de afuera hacia adentro.

Las fórmulas de Geogebra ahora se van complejizando más:

Fórmula de Geogebra

Secuencia[Polígono[Traslada[A, u i], Traslada[P, i (u + w / 10) - w / 10], Traslada[P, i (u - w / 10) + w / 10], Traslada[D_1, u i], Traslada[O, i (u + v / 10)], Traslada[O, i (u - v / 10)], Traslada[H, u i], Traslada[N, i (u - w / 10)], Traslada[N, i (u + w / 10)], Traslada[B, u i], Traslada[M, i (u - v / 10)], Traslada[M, i (u + v / 10)], Traslada[A, i u]], i, 1, 10]

7. Doble evolución de cuadrados

Finalmente la completación de esta teselación requiere de continuar las secuencias en ambos sentidos, lo que puede realizarse revirtiendo el proceso de evolución, aunque como estamos tratando con figuras que cuentan con simetría rotacional en 90º, es posible rotarlas en 180º respecto a ciertos puntos.

Producto de lo mismo, cada banda es una figura que permite teselar por traslación.

Hay muchas variaciones de estos diseños que se pueden realizar aplicando sucesivamente unas pocas ideas geométricas. Es importante notar que la forma como se van construyendo estas figuras, en cierta medida, responden a la simetría de la figura de la que parten. Así, las que parten del cuadrado, requieren de giros en 90º, a diferencia de las que parten del triángulo equilátero, que requieren giros en 120º.

Es así como las figuras que se generan a partir del triángulo equilátero, cada una, permite teselar de forma análoga a este, por lo que sus propiedades de simetría, producto de cómo se han construido, se heredan a cada pieza del patrón evolutivo.

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