La semana pasada mostraba cómo construir ciertos tipos de teselaciones, llamadas algunas veces “evolutivas”, puesto que contienen una figura que varía o “evoluciona” hacia otra. Esta idea consiste en una serie de técnicas que Escher utilizó de maneras muy inteligentes y creativas, aunque naturalmente como diseños estáticos, es decir, para crear un diseño cada vez.

A partir de algunas ideas que mostré en el post anterior, ahora aprovecho estos diseños evolutivos para crear animaciones que tienen un cierto aspecto de caleidoscopio, y que permiten ilustrar cómo convertir un diseño evolutivo en otro de la misma estructura.

Existen muchas formas de crear caleidoscopios, pero la forma que mostraré a continuación es más bien una curiosidad con la que me encontré mientras estudiaba las teselaciones evolutivas. Aun así es bastante natural, a partir de las teselaciones, crear animaciones en las que la tesela varía de alguna forma para crear animaciones de caleidoscopios, basta con imaginar cómo se animaría una teselación si uno de los puntos de los que depende girara sobre una circunferencia arbitraria.

Como estos diseños que he estado reconstruyendo son evolutivos, la característica más especial de estas animaciones, es que estamos viendo cómo una teselación evolutiva se convierte en otra, aunque es posible que en algunos casos se genere solapamiento y se pierda la característica de teselación, pero no la de caleidoscopio.

Caleidoscopios rectangulares

En primer lugar, estas animaciones que mostraré, se basan en construcciones que expliqué en el post anterior: Evolución lineal, del cual, la última construcción corresponde a la siguiente.

El objetivo que me proponía en dicho post, y cuyo resultado es esta construcción, era cubrir el plano con una figura que “evoluciona”. En este caso, cada fila está compuesta por una secuencia de 16 figuras, de las cuales son sólo 8 distintas. El deslizador “ancho” permite controlar, en cuántos pasos el cuadrado se transforma en la figura final, lo que involucra una serie de pequeñas traslaciones de algunos puntos intermedios.

Para modificar la figura final, basta con mover los puntos E o F, de los cuales ésta depende.

Hay múltiples formas de explicar esta teselación. Se podría hacer referencia, por ejemplo, a pequeñas figuras que se sacan del interior del cuadrado y ubican al exterior. Pero también esta figura final puede describirse en función de sólo dos líneas distintas, que son las que van de E a F y se repiten en distintas posiciones. En general los diseños de Escher cuentan con esta característica, que es el poder formarse con sólo unos pocos trazos distintos, pero siempre muy inteligentemente organizados a partir de todas estas propiedades de simetría que nos permiten cubrir el plano.

En estas situaciones, no sólo es interesante la teselación, sino también el cómo cambia una teselación al mover algún punto del que depende, lo que va generando animaciones que tienen un cierto carácter de caleidoscopio. En este diseño, la figura final depende de un punto E’, que corresponde a la rotación de E alrededor de F. ¿Cómo cambia este diseño a medida que E gira entorno a F? (presionar el botón de “play” ▶).

Caleidoscopios hexagonales

Otro diseño evolutivo que mostré la semana pasada, parte de un triángulo equilátero, y evoluciona en una figura que cuenta con el mismo orden de simetría rotacional. Lo interesante está en que con tales figuras se pueden organizar en una disposición triángular, lo que conforma un sexto del diseño completo. Al centro del hexágono se encuentran seis figuras finales, estas son las figuras en las que gradualmente evoluciona el triángulo, y depende sólo de un punto, G, que al modificar su posición permite generar distintas variedades de este diseño.

Continuando la idea anterior, es interesante animar el punto del que dependen las figuras finales, en este caso, circularmente, de manera que podemos observar cómo varía el diseño a medida que G gira alrededor de O.

Para lograr distintos efectos esta construcción permite modificar el punto que gira (G), el centro de rotación (O), opacidad y colores, y presionando el botón de “play” ▶ se activa la animación automática.

Un problema para continuar

Finalmente aprovecho de dejar planteado un problema práctico que surge del diseño hexagonal y que me parece particularmente interesante.

Partimos de un triángulo equilátero para organizar su “evolución” en una organización hexagonal. Lo que me pregunto ahora es, si es posible partir de un triángulo isósceles para generar una organización evolutiva con forma de otro polígono regular, por ejemplo, de un octágono regular. A esto le llamo por el momento “evolución poligonal” y espero en las próximas semanas poder mostrar resultados para intentar generalizar esta técnica de teselación.

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