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Números de De Moivre

Domingo, 29 de abril de 2012
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Números de De Moivre

Cosas curiosas ocurren a veces con los números complejos. Con los reales, las potencias enteras de un número son siempre distintas (salvo con 1 y -1), pero en los complejos existen ciertos ciclos, de tal forma que las potencias de un número complejo se tienden a organizar como espirales o como una circunferencia.

En este post veremos cómo las potencias de ciertos números complejos corresponden a los vértices de polígonos regulares, algunos simples como los convexos, y otros que pueden llegar a ser muy complejos, como los son ciertos polígonos estrellados.

 

Este post participa en el Versión 3.141 del carnaval matemáticas en español, organizado en el Blog DesEquiLIBROS.

 

Hace un par de años mostré algunos tipos especiales de teselaciones, basadas en homotecias y rotaciones, en el post Teselaciones Radiales. Tales diseños se construyen aplicando esencialmente cierto tipo de transformaciones llamadas semejanzas (la composición de una rotación y una homotecia, con un mismo centro). Sin embargo, existe otra forma de describir tales tipos de transformaciones, lo que responde particularmente a la interpretación geométrica de las potencias de números complejos.

Productos de números complejos

Usualmente representamos los números complejos de dos posibles formas:

  • Notación binomial: , donde i corresponde a la unidad imaginaria, es decir, la raíz cuadrada de -1.
  • Notación polar: , donde
    r, corresponde al módulo del número complejo, es decir, su distancia del origen, y α su argumento, es decir, el ángulo que forma el vector con el eje X eje real.

 

Ambas descripciones son útiles para distintos fines, aunque para efectos de este post nos interesará más la notación polar, puesto que lo que observaremos de las potencias de números complejos está asociado a sus módulos y argumentos.

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En esta construcción, Z corresponde al producto de A y B. Moviendo cualquiera de los dos, se puede apreciar cómo el módulo del producto es igual al producto del módulo. Asimismo el argumento del producto es igual a la suma de argumentos. Ambas ideas son clave para lo que viene a continuación, porque determinan la forma como se organizan “gráficamente” las potencias de un número complejo.

Potencias de un número complejo

Como consecuencia de lo anterior, las potencias de un número complejo, corresponden a otros números, cuyos módulos van en progresión geométrica, es decir:

  • |A2|=|A|2
  • |A3|=|A|3
  • |A4|=|A|4
  • |A5|=|A|5
  • |A6|=|A|6

De esta forma, se cumple que el módulo de una potencia (de base compleja y exponente entero, al menos) es igual a la potencia del módulo:

En el caso de los argumentos, crecen en progresión aritmética, de manera que el argumento de la potencia n-sima corresponde a n veces el argumento inicial: .

Así, podemos concluir que con las potencias de un número complejo, ocurre lo siguiente:

Para un número complejo con módulo r y argumento α, su potencia n-sima tiene módulo rn y argumento n·α.

En notación polar tenemos:

De la fórmula anterior deriva, con n=1, la famosa Fórmula de De Moivre. Veamos su interpretación geométrica:

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En esta escena vemos la representación geométrica de las potencias del número complejo A. Teniendo en cuenta que los módulos van en progresión geométrica, hay tres casos que considerar:

  1. Módulo menor que 1. Las potencias de los módulos entre 0 y 1 van decreciendo, de manera que en este caso los puntos se van acercando al origen en espiral.
  2. Módulo igual a 1. En este caso todos los módulos son de la forma 1n, es decir, son siempre iguales a 1. En tal circunstancia, las potencias de A se organizan sobre la circunferencia unitaria.
  3. Módulo mayor que 1. De manera inversa al primer caso, las potencias de los módulos mayores que 1, crecen, por lo que estos puntos se van alejando del origen también en espiral.

Los argumentos de todos estos puntos varían siempre de la misma forma, aumentan en progresión aritmética, de manera que, ya sean espirales o polígonos los que se forman, se organizan en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Potencias dentro de la circunferencia unitaria

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Esta escena permite manipular dos casos antes mencionados, las potencias con módulo menor o igual que 1.

Algo particular ocurre cuando B tiene módulo 1, puesto que todas sus potencias mantienen sus módulos iguales a 1. Pero ubicando B en posiciones clave, es posible que los segmentos formen polígonos regulares convexos. Por ejemplo, con un argumento de 90º, los puntos corresponden a los vértices de un cuadrado, pues sus argumentos se van sumando de 90º en 90º. Análogamente con un argumento de 120º, el polígono que se forma es un triángulo equilátero. Lo que tienen en común ambos polígonos, es que el primero y n-simo vértices son siempre los mismos: el n-simo es (1,0) y el primero naturalmente es B.

Con un argumento de 72º, o uno de 45º, se obtienen distintos polígonos regulares, con ambos puntos en común. De esta forma, podemos apreciar que existen algunos números complejos, muy particulares, cuyas sus potencias n-simas son iguales a la unidad, es decir, satisfacen la siguiente igualdad: .

Números de De Moivre

Pensémoslo primero geométricamente, los complejos con módulo 1 se organizan en una circunferencia unitaria, formando ángulos congruentes, porque los argumentos simplemente se van sumando. Si A tiene argumento 30º, es claro A2 tiene argumento 60º, y así seguirá hasta que A12 tendrá argumento 360º, es decir, será igual a 1. Si seguimos multiplicando por A, tenemos que A13=A. Luego, estos puntos son los vértices de un dodecágono, que parte en A y termina en (1,0).

Si A tiene argumento 72º, su quinta potencia será igual a 1, de manera que se forma un pentágono regular, que también parte en A y termina en la unidad.

Pero ¿qué ocurre si A tiene un argumento de 24º ó 13º o incluso un argumento de 33/23? ¿Cuántas “vueltas” debe dar A para volver al principio? ¿siempre se puede volver al principio? ¿o existirán algunos casos en los que el polígono nunca se cierra?

La siguiente escena es interesante de explorar evaluar las distintas posibilidades.

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Abraham de Moivre (1667 – 1754), matemático francés, estudió unos números complejos muy particulares, que usualmente se describen como las raices n-simas de la unidad. Se trata de complejos que elevados a alguna potencia entera son iguales a 1.

Geométricamente los números de De Moivre son aquellos que permiten que el polígono se cierre, es decir, los vértices de un polígono regular centrado en el origen y de los cuales en n-simo vértice es la unidad.

Estos números satisfacen la ecuación , por lo que todos tienen módulo 1, es decir, son esos números que se ubican en la circunferencia unitaria. Además los ángulos que se van formando son todos congruentes, se obtienen básicamente de ir rotando un punto alrededor del origen, por lo que, si se vuelve al principio, lo que se determina es un polígono regular, que puede ser convexo o estrellado. Pero entonces es razonable preguntarse si todos los números con módulo 1 son números de De Moivre: ¿cómo debe ser el argumento de un número de De Moivre?

Evaluemos los casos posibles que tenemos. Dado un número de la forma , ¿qué valores debe tomar α para que ?

Si suponemos que la n-sima potencia es 1, es decir, tiene argumento 360º, buscamos valores tales que n·α = 360º, con n entero, lo que nos permite descartar inmediatamente los valores irracionales. Pero para α racional, digamos de la forma p/q, podemos elegir n = 360q para obtener un múltiplo de 360º. Luego con cualquier argumento racional existe una potencia n-sima con argumento que sea múltiplo de 360º, que por lo tanto es igual a la unidad.

Esto quiere decir que los polígonos se cierran sólo si tomamos complejos con argumento racional, puesto que con uno irracional no lograremos volver nunca al principio. Así los pseudo-polígonos que se formen a partir de las potencias de un complejo con argumento irracional no terminarían, se podrían trazar infinitas potencias y siempre se estaría trazando un segmento nuevo.

En consecuencia, vemos que los números de De Moivre, o las llamadas raíces n-simas de la unidad, son complejos con módulo 1 y argumento racional. Geométricamente, corresponden a los vértices de un polígono regular (convexo o estrellado), inscrito en la circunferencia unitaria. Veamos algunos ejemplos:

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Es importante notar que los polígonos con más de 75 lados aparecerán incompletos en esta construcción. Asimismo, como el argumento que se genera es entero (y múltiplo de 5) estamos viendo sólo unos pocos polígonos de muchos otros que se pueden formar.

Es interesante observar cómo estos polígonos van variando a medida que cambia el argumento, como se muestra en la siguiente animación, de un polígono regular estrellado de 500 lados.

En este caso los colores se han modificado dinámicamente, dependiendo del argumento, con la siguiente fórmula: θ/360. Así los segmentos más oscuros son los que terminan en puntos con argumentos menores y vice versa.

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Existen múltiples formas de colorear estos polígonos, por ejemplo, el polígono está coloreado con las siguientes fórmulas:

rojo: 0,2; verde: θ/360; azul: 1 – θ/720

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Video

Finalmente dejo un video donde muestro como hacer estas exploraciones en Geogebra, usando la interesante hoja de cálculo que incorpora. En otro post anterior mostré varios otros ejemplos de esta característica para realizar iteraciones y aprovecho de recomendarlo también: Hoja de cálculo en Geogebra.

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  1. cirino raul
    Lunes, 28 de mayo de 2012 a las 20:27 | #1

    Muy interesante este articulo, tal vez se pueda utilizar para resolver ecuaciones de enesimo grado en donde las raizes sean numeros racionales.

Comentarios cerrados.

Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/04/numeros-de-de-moivre/.