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El lenguaje de la geometría

Miércoles, 22 de febrero de 2012
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El lenguaje de la geometría

Frecuentemente la geometría se dan argumentaciones que pueden ilustrarse o inducirse a partir de imágenes. La expresión “una imagen vale más que mil palabras” tiende a ser cierta, aunque muchas veces ciertas ideas son muy complejas para simplificarse sólo en una imagen.

Sin embargo, la geometría dinámica abre la posibilidad de explorar estas relaciones, a través del movimiento, lo que esencialmente consiste en muchas imágenes conectadas entre sí. De esta forma es posible modernizar el concepto de las “demostraciones sin palabras”, para articular lo que podríamos denominar el lenguaje de la geometría.

Este post participa en el Versión 3.1 del carnaval matemáticas en español, organizado en el Blog Scientia potentia est.

 

El lenguaje de la geometría

La geometría (y la matemática por cierto) se trata en gran medida de argumentar, y muchas veces no es tarea fácil el comunicar tales argumentos. Es por eso que en la matemática se valora tanto la simpleza y economía con el que se elabora un discurso matemático. El libro que me motivó a escribir este post, es un gran libro de geometría, llamado “The changing shape of geometry”, de Chris Pritchard, quien al inicio habla justamente de esta idea que usualmente denominamos “elegancia”.

Y muestra como ejemplo la situación situación geométrica asociada a la siguiente imagen, en la que se han trazado segmentos desde los vértices de un cuadrado a ciertos puntos medios de los lados.

¿Qué se está comunicando con esta imagen? En rigor, nada, pero con un poco de conocimiento geométrico es posible sacar algunas conclusiones respecto a las áreas de los cuadrados.

Así, con una sola imagen no se comunica nada de manera convencional, pero si se induce al “lector” por un cierto camino, para sacar una cierta conclusión; luego, en el mejor de los casos, algo sí se ha comunicado.

Esto deja en evidencia que al familiarizarnos con ciertos elementos, es posible aprender a leer estos mensajes. Asimismo, es un ejercicio valioso para el que aprende y para el que enseña matemática, el aprender a escribir en este lenguaje.

El lenguaje de la geometría

Los recursos, “gráficos”, con los que cuenta este lenguaje son diversos y responden a propiedades de la geometría, por ejemplo:

  • Trazar arcos de circunferencia, permite establecer que ciertas longitudes son iguales.
  • Trazar rectas permite establecer colinealidad.
  • Mover una figura para que coincida con otra, permite establecer congruencia.

Hay más recursos como estos, algunos un tanto rebuscados, pero útiles, como una particular transformación que, aunque no es isométrica, permite mantener el área de un triángulo o un paralelogramo:

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En este applet tenemos un paralelogramo o un triángulo, ambos con la misma base y altura. En el caso del paralelogramo, es posible modificarlo, moviendo los puntos C ó D, de manera que CE se desliza por una recta, al igual que DF. Como consecuencia de esto, el área del paralelogramo no cambia, dado que su base y altura no cambian.

El caso del triángulo es equivalente, pues se trata de la mitad del área del paralelogramo.

Estas ideas se remontan a “Los elementos” de Euclides, particularmente a las proposiciones 36 y 38 del libro primero (aunque hay que leerlo con cuidado, pues dice “iguales” cuando quiere decir “de igual área”).

Luego, en términos comunicativos, cuando veamos que un triángulo o paralelogramo, se “mueve” de esta forma, para coincidir con otra figura, esencialmente estamos observando la idea de que ambos, el inicio y el final, tienen la misma área.

Siguiendo estas ideas, es posible construir animaciones que permiten comunicar relaciones geométricas en determinadas circunstancias, y más específicamente, argumentos que permiten demostrar ciertas propiedades. Veamos algunos ejemplos:

Animaciones: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8

1. Ángulos internos de un triángulo

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Un ejercicio simple en papel para comprobar la propiedad de los ángulos internos de un triángulo, es cortarle las puntas y verificar que forman un ángulo extendido.

La demostración, es similar. Suele partirse por trazar una recta paralela a un lado, por el vértice opuesto, y relacionar los ángulos que se forman con los ángulos internos.

Esta animación ilustra tal lógica, de manera que puede considerarse como una forma de facilitar el inicio de tal demostración, puesto que permite ilustrar el argumento clave de tal demostración. Ideas similares se pueden aplicar en general a cualquier suma de ángulos que sea igual a una constante.

2. Bandera Chilena

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En Septiembre del año pasado mostré la construcción de distintas versiones de la Bandera chilena, y esta animación está diseñada para ilustrar las dimensiones y ubicaciones de los distintos elementos que la componen.

En esencia hay segmentos que se mueven, formando cuadrados; cuadrados que giran formando el rectángulo, lo que permite identificar su relación de aspecto.

3. Teorema de Pitágoras

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Demostraciones para el Teorema de Pitágoras hay por montones, siendo algunas más geométricas que otras. La famosa demostración de Pappus, hace uso de la transformación que ilustraba más arriba sobre la conservación del área de un paralelogramo (rectángulos y cuadrados incluidos, claro).

Esta animación está compuesta por tres pasos, siendo el segundo una traslación y los demás transformaciones en paralelogramos de igual área. De esta forma los cuadrados construidos sobre los catetos se transforman sucesivamente en otros paralelogramos de igual área, y que finalmente componen el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

4. Cuadrados sobre un triángulo cualquiera

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En esta situación se tiene un triángulo cualquiera y sobre sus lados se han construido cuadrados. Los triángulos que se determinan entre los cuadrados (CEF, GAH y IBD), tienen la misma área que ABC, lo que se ilustra en esta animación.

Lo que se debe notar es que los triángulos en cuestión, primero, se rotan en 90º, acoplándose perfectamente con ABC. En tal posición, ambos triángulos (ABC y el recién alineado) comparten la misma altura y además tienen la misma base, luego tienen la misma área.

Siguiendo cada giro de los triángulos, la transformación que ocurre es el deslizamiento paralelo de un lado, que permite que se mantenga el área.

5. Loop de triángulos de igual área

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Aprovechando la propiedad anterior, se me ocurrió crear una animación en la que continuamente (hacer clic en el botón de “play”) un triángulo se transforma pasando por los cuatro triángulos dados. De esta forma, se ilustra otro aspecto de esta situación, y es que el giro en 90º puede ser en un sentido u otro, de manera que hay dos formas de transformar uno de los triángulos externos en el interior.

6. De cuadrado a pentomino

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Ésta es la propiedad a la que me refería al principio. En un cuadrado se unen vértices con puntos medios, de manera que se determina un cuadrilátero al centro. Para establecer que tal cuadrilátero es un cuadrado, es necesario usar congruencia, pero además es interesante la relación de áreas que resulta.

Producto de la simetría del cuadrado, es posible rotar los triángulos rectángulos de las esquinas, para completar un cuadrado congruente al cuadrado central. Y repitiendo esto con los otros tres triángulos, se termina formando un pentomino.

Así podemos establecer que el área del cuadrado central es 1/5 del área del cuadrado inicial.

7. Disección de un cuadrado

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Aprovechando la propiedad anterior, creé otro loop (hacer clic en el botón de “play”), en donde distintas figuras resultantes de la disección del cuadrado se mueven, ilustrando las distintas congruencias que se dan.

8. Teorema de Viviani

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El Teorema de Viviani, establece que la suma de las distancias de los lados de un triángulo equilátero a un punto en el interior, es igual a su altura.

Una forma de demostrar este teorema, consiste en trazar paralelas a los lados por el punto interior. Luego, sobre los lados del triángulo se determinan triángulos, también equiláteros, cuyas alturas corresponden a las distancias en cuestión.

Mediante traslaciones y rotaciones es posible, siempre, apilar estos triángulos desde un lado al vértice opuesto, de manera que se verifica que sus alturas suman lo mismo que la altura del triángulo mayor.

Por mucho tiempo este tipo de ideas se han venido aprovechando en la matemática en general, aunque usualmente de manera estática. Pero la idea del movimiento, que está en el núcleo de la geometría dinámica, es muy antigua y podemos, por ejemplo, encontrarla en “Los elementos” de Euclides, como es en la proposición 4 del libro primero, que corresponde a lo que usualmente denominamos el criterio LAL.

A pesar de la antiguedad de algunas de estas ideas, es sólo hace pocos años que podemos diseñar animaciones con sentido geométrico que permiten ilustrar relaciones más complejas o mostrarlas de manera más efectiva que con sólo una imagen. No sólo es interesante el crear este tipo de recursos para la enseñanza, también puede ser un buen ejercicio el traducir a este lenguaje gráfico una determinada idea geométrica, y a veces puede ser todo un desafíó.

Otra fuente de inspiración para este post y que es mu notable en estos “ejercicios visuales de pensamiento matemático”, es el libro “Demostraciones sin palabras” de Roger Nelsen, del cual podemos encontrar algunos ejemplos en el blog Gaussianos.com

Video

Finalmente dejo un video de la construcción en Geogebra de la animación del Teorema de Pitágoras, para los que se interesen de crear animaciones de este tipo.

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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2012/02/el-lenguaje-de-la-geometria/.