Hoja de cálculo en Geogebra
Desde hace un par de años que existe una hoja de cálculo en Geogebra, opción que a simple vista podrá parecer la simple adición del clásico Excel y sus fórmulas numéricas. Sin embargo en este caso se trata de una herramienta mucho más potente, pues la “idea” de Excel, esa de escribir fórmulas y luego copiarlas, se integra de manera bastante natural al entorno de geometría, permitiendo realizar iteraciones de construcciones.
Veamos algunos ejemplos…
Desde la versión 3.2, en la que se incluyó esta hoja de cálculo, Geogebra a venido incorporando una serie de mejoras que apuntan de distintas perspectivas a una misma idea: el poder repetir una determinada construcción, en una situación similar. Existen tres características fundamentales que apuntan en esta dirección: secuencias, creación de herramientas y la hoja de cálculo.
Las secuencias, que permiten generar un conjunto de objetos resultantes de fórmulas en las que algún valor cambia secuencialmente, por ejemplo, para construir puntos de la forma (i,i), con valores entre 0 y 10: secuencia[(i,i),i,0,10], o bien para trasladar sucesivamente respecto a un vector u: secuencia[traslada[A,u*i],i,0,10].
Hay muchos post en los que he utilizado secuencias, y la forma más simple de obtenerlos es usando el buscador: buscar “secuencias” en el blog
La creación de herramientas, consiste en replicar el resultado de una construcción, a partir de ciertos elementos iniciales. De tal manera, se genera un un botón que permitirá repetir tal construción, lo que en otros procesadores geométricos se denomina “macro”. En el post Hiloramas en Geogebra, incluyo un video donde muestro la creación de herramientas.
Pero la carácterística central que voy a mostrar en este post, es la de la Hoja de Cálculo, que más allá de sus usos más evidentes, como son los asociados a la estadística, permite articular iteraciones de construcciones con la lógica de copiar (o en lenguaje de Excel, “autocompletar” fórmulas que generan objetos geométricos.
Veamos entonces, la hoja de cálculo en acción.
1. Envolvente parabólica (simetrales)
Este primer ejemplo corresponde a un conjunto de rectas tangentes a una parábola, partiendo de un conjunto de puntos sobre el eje Y y un punto libre (A); para luego construir las simetrales entre estos puntos y A.
Esta idea responde a la construcción de una parábola como Lugar Geométrico (envolvente), y la hoja de cálculo se aprovecha escribiendo sólo las fórmulas de la primera fila, mientras que todas las demás se copian hacia abajo. Así, en unos pocos pasos es posible obtener la envolvente formada por 50 rectas.
2. Envolvente parabólica (segmentos)
Esta segunda aplicación es también un arco parabólico, pero construido usando ideas propias de las Curvas de Bezier, lo que hace uso de nociones vectoriales.
En la primera fila se registran los puntos iniciales (del llamado, polígono de control), lo que permitirá manejarlos convenientemente como si fueran celdas de la hoja de cálculo.
En estas fórmulas aplican traslaciones y homotecias anotadas como operaciones entre vectores. Por ejemplo, C$1 – B$1 representa el vector que de C1 a B1; que está ponderado por un escalar ($A2). En suma se busca ponderar el vector por un valor que va desde 1/40 a 40/40, es decir, dividir en 40 partes el segmento B1C1.
También es importante notar el uso de $, para hacer referencias absolutas o relativas, como es usual en las planillas electrónicas.
3. Teselación Radial
Esta teselación radial se genera en dos tandas. Primero, desde la fila 1 a la 24 se iteran rotaciones, generando un primer anillo de segmentos. Luego, de la fila 25 a la 240 se iteran homotecias, replicando anillos más pequeños hacia el centro.
Esta construcción es un buen ejemplo de cómo la hoja de cálculo se integra al entorno completo, pues tenemos objetos geométricos (puntos, ángulos, segmentos, etc.) y algebraicos (la razón calculada, el deslizador, etc.).
Cabe destacar que en el post Teselaciones radiales, donde muestro cómo construir esto, utilicé secuencias, donde se pueden observar las mismas ideas pero en una interfaz diferente.
4. Hilorama (conectar puntos)
En el post Hiloramas en Geogebra, muestro cómo utilizar geogebra para construir este tipo diseños formados por segmentos (o hilos, en su versión concreta). Luego, un trabajo que se facilita con la hoja de cálculo y que puede ser un tanto tedioso, es el conectar un conjunto de puntos dados.
Este es un buen ejemplo, además, de un típico algoritmo que involucra dos secuencias (ciclos “for” en lenguaje típico de programación), y que se implementa intuitivamente copiando fórmulas hacia abajo y luego hacia el lado.
Así, una típica tabla de doble entrada permite realizar las conexiones entre un conjunto de puntos. Aun así, hay casos repetidos, que no estorban gráficamente, pero conviene eliminarlos si se quiere una interacción más fluida con la construcción final.
5. Algoritmo de De Casteljau
Este algoritmo lo he venido mostrando de varias formas, pero encontré que la implementación en la hoja de cálculo es la más simple. Se trata de un algoritmo que permite construir una curva de Bezier, por la iteración de divisiones sucesivas de segmentos.
Recomiendo también, para los interesados en la programación, su versión en Cindyscript (javascript + Cinderella), que muestro en el post Ejemplos de CindyScript.
6. Doble traslación
Este último ejemplo es un tanto más simple que los anteriores, pero me parece ilustrativo de las nociones de programación que subyacen a la hoja de cálculo y las secuencias.
Así, la hoja de cálculo es una interfaz diferente para ideas que involucran, al menos dos secuencias o ciclos for, es decir, dobles iteraciones, en este caso, de la traslación de un punto A respecto a los vectores u y v.
Como algoritmo (GeogebraScript):
for (i=0;i<10,i++) {
for (j=0;j<10,j++){
traslada[A,u*i + v*j];
}
}
Como secuencia
secuencia [secuencia [traslada[A,u*i + v*j],i,0,10],j,0,10]
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