Imprimiendo fractales en Geogebra
Los fractales son probablemente los objetos geométricos más interesantes y atractivos, pero no menos complejos y por ello es que no logramos “verlos” hasta que contamos con computadores realmente capaces para tamaña tarea.
En este post voy a mostrar algunos fractales construidos con un método que en gran medida se aproxima al funcionamiento de una típica impresora.
Aprovecho, primero que todo, de recomendar un interesante y completo artículo recientemente publicado en el Gaussianos.com, a modo de introducción a los fractales: http://gaussianos.com/¿que-es-el-conjunto-de-mandelbrot-historia-y-construccion/
Desde hace algunas versiones, Geogebra incorpora una característica denominada “Color dinámico”, que consiste en controlar los colores de los objetos, a partir de números o medidas en general.
Esta característica se puede aprovechar de diversas maneras, como la que veremos a continuación, que es modificar el color de un punto, dependiendo de su posición. Si combinamos tal idea, con el dejar un “rastro”, tal punto nos permitirá pintar un determinado lugar gométrico.
Iteraciones en la hoja de cálculo
En el capítulo anterior, Hoja de cálculo en Geogebra, mostré algunas aplicaciones de esta herramienta de Geogebra. Con una lógica similar, podemos aprovechar la hoja de cálculo para aplicar iterativamente una fórmula, por ejemplo (una particularmente célebre): Z2 + c.
Luego, en la primera fila podemos ir sucesivamente calculando los términos de la forma:
- A1: A
- B1: A12+C
- C1: B12+C
- D1: C12+C
Esto nos permite generar una sucesión de números complejos que dependen de la posición de A. Luego, tomaremos números para determinar de qué color se debe colorear el punto A.
1. Mandelbrot con un punto 
El punto A, es a partir del cual se han calculado los términos de la sucesión, antes descrita. En particular, se han ocupado las fórmulas:
- A1: A
- B1: A12+A1
- C1: B12+A1
- P1: O12+A1
…
Además, el punto A, tiene colores dinámicos asignados con las fórmulas: rojo: e|P1|; verde: 0,5 + 0,5·e|P1|2; azul: 0,5 + 0,5·e|P1|, de manera que al moverlo su color cambia dinámicamente (mover A, para pintar el fractal manualmente).
2. Mandelbrot con una línea
Una fórma más práctica de “imprimir” este fractal, consiste en el mismo método anterior, pero con más puntos. En este caso, existen 120 pequeños puntos, alineados verticalmente con A, que funcionan de manera análoga al ejemplo anterior, es decir, cada uno cambia su color dependiendo del módulo del último número complejo de la sucesión que le corresponde.
Es interesante notar que, aunque se obtiene mucha mayor precisión y mejor resolución de la imagen, en algunos puntos el los resultados cambian regularmente, especialmente en los puntos más lejanos del origen.
3. Imprimiendo el fractal
Siguiendo la idea anterior, podemos hacer depender los puntos de un deslizador, de manera que lentamente se vaya imprimiendo la imagen, a medida que el punto A avanza.
En particular, los puntos tienen coordenadas de la forma (deslizador,A + A/120).
4. Mandelbrot cúbica
De forma análoga a la anterior, este fractal corresponde al de la forma: Z → Z3 + C, aunque girado en 90º para que cupiera mejor en el área de impresión.
A estas alturas la cantidad de trabajo que significa realizar todos estos cálculos, es bastante significativa. Una forma de reducir los cálculos, al menos en estos casos, es aprovechar la simetría de estos fractales, para calcular sólo una mitad de los valores necesarios, y reflejar los puntos finales respecto al eje X.
5. Mandelbrot cuártica
De forma análoga, este fractal corresponde al de la forma: Z → Z4 + C.
6. Variación del fractal de Newton
El fractal que se imprime en este caso, corresponde a: Z → (Z3-1)/(3Z2).
Los colores, además, dependen de tres deslizadores, con las fórmulas:
- rojo: e|P1 – r|
- verde:e|P1 – v|
- azul: e|P1 – a|
Siendo P1 el elemento nº 16 de la sucesión.
7. Fractal exponencial
Y este otro fractal sigue la misma lógica que el anterior, sólo que corresponde a e(Z2 – 1) / Z2
Videos
Finalmente, para dejo algunos vídeos donde se muestran las construcciones de estos fractales.
Carnaval de matemáticas
Explorar guías
Crear guías
Alucinante. Lo intentaré usar en clase.
Gracias