Mosaicos islámicos hexagonales
El arte islámico es probablemente el mejor exponente de técnicas prácticas para crear diseños que involucran simetría. En particular, los artistas islámicos han hecho un gran uso de la simetría propia del hexágono regular y triángulos equiláteros, para crear intrincados diseños con gran creatividad.
En este post veremos una forma simple de crear diseños islámicos a partir de un hexágono regular, aprovechando las ventajas de Geogebra y las mallas isométricas.
Las mallas o redes isométricas son aquellas formadas por triángulos equiláteros, y hace ya un buen tiempo que está incluidas en Geogebra. Esto nos permite experimentar de manera muy simple con la simetría propia del hexágono regular.
Este método lo tomo de dos fuentes, ambas muy recomendables. La primera es un notable libro de geometría, “Discovering geometry” de Michael Serra (Keypress.com), del cual es posible acceder gratuitamente a algunas lecciones condensadas en español. El segundo es un material del Museo de arte metropolitano de arte, de Nueva York, denominado “Islamic Art and Geometric Design”
1. Exploración inicial 
Este diseño ha sido creado esencialmente a partir de una línea. En este caso son en realidad cuatro segmentos, a partir de los cuales se construye un patrón con el que es posible cubrir el plano usando traslaciones.
Aquí se cuenta con tres casos similares (clic en caso 1, caso 1 o caso 1), y moviendo los puntos de los que dependen es posible obtener varias variedades.
Lo que hay que notar aquí, es que hay un patrón que se repite, que induce la idea de un hexágono regular; además que la forma como se repite es a partir de dos traslaciones (respecto a vectores que forman ángulos de 60º). Veamos cómo se construyó esto.
2. Construcción del patrón
Si bien no es necesario basar el diseño en un hexágono regular, tiende a funcionar mejor cuando se consideran como puntos iniciales los de una cierta base.
La construcción de tal base, se ilustra con g < 9. Consiste en dos hexágonos regulares y dos triángulos equiláteros. Luego, todos los puntos de intersección asociados (g = 9), son buenos candidatos para partir.
Los segmentos formados por R, S, T, U, V, se rotan en 60 grados respecto al centro del hexágono, y luego el patrón formado (g = 11) se conecta con las copias de sí mismo en ciertas posiciones (mover el punto M a conveniencia).
3. Diseño
En consecuencia, dados ciertos patrones construidos de esta manera, es posible teselar, aunque abusando en algunos casos del término.
En suma, se parte, en este caso, de tres segmentos, que se rotan en 60º, obteniendo un patrón formado por 18 segmentos.
En esta construcción es posible identificar los tres tipos de líneas diferentes que conforman el diseño, seleccionando alguna de ellas, y viendo todas las demás que se marcan.
4. Video: Construcción manual
Una forma de realizar esta construcción, es un tanto manual. Eso se ilustra en este video.
Esto significa construir los segmentos a partir de la malla hexagonal (00:52), y rotarlos uno a uno en múltiplos de 60º.
Luego los vectores necesarios para construir el diseño, están asociados a reflejar el centro del hexágono regular respecto a los lados (03:09).
Luego se seleccionan los 18 segmentos construidos, y trasladan respecto a los vectores (03:37).
Pero es posible automatizar esto, utilizando secuencias, como se muestra en el siguiente video.
5. Video: Construcción con secuencias
Las secuencias en Geogebra permiten construir un conjunto de objetos asociados a un valor que varía. Por ejemplo, construir un conjunto de segmentos en un ángulo i * π/3, con i entre 0 y 5.
Luego, es posible traducir la lógica de pasos de una construcción, a una sola secuencia. En este caso:
- Rotar segmentos en múltiplos de π/3: secuencia [rota [a , i * π/3, O] , i , 0 , 5 ]
- Trasladar respecto al vector u: secuencia [traslada [a , j * u] , j , -3 , 3 ]
- Trasladar respecto al vector v: secuencia [traslada [a , k * v] , k , -3 , 3 ]
Juntando estas tres ideas, la secuencia final, un tanto extensa pero que ahorra todo el trabajo intermedio, corresponde a:
secuencia[secuencia[secuencia [traslada[rota [a , i * π/3, O], j*u+k*v] , i , 0 , 5 ] , j , -3 , 3 ] , k , -3 , 3 ]
Estas últimas fórmulas son un poco complejas, pero son un buen ejercicio de construir, dado que significan traducir pasos de construcción a comandos.
De todas maneras, lo que se ilustra en el primer video es suficiente para desarrollar este tipo de diseños, de manera que el nivel de dificultad con Geogebra sea más alcanzable.
También destaco que esta idea es perfectamente posible de extender al caso de un octágono regular, y quizás a otro tipo de polígonos regulares, acción interesante de explorar en un procesador geométrico.
Carnaval de matemáticas
Explorar guías
Crear guías