Hiloramas en Geogebra
Existen muchas expresiones artísticas que hacen uso de la geometría. Quizás no siempre de manera explícita, pero a cualquier persona con alguna formación matemática le habrá pasado que cuando ve alguna obra de arte dice “Eso es …” y a continuación indica un nombre matemático.
Hace poco me encontré con los llamados “Hiloramas” e inmediatamente dije “esas son curvas de Bezier”…
Este post lo estuve preparando en las últimas dos semanas, pero no alcancé a publicarlo a tiempo para el último carnaval de matemáticas, realizado en Octubre. Aun así, dejo un enlace al resumen de tal evento: http://laaventuradelaciencia.blogspot.com/2011/10/resumen-de-la-edicion-27-del-carnaval.html
Un antecedente para este post, son las Curvas de Bezier, sobre las cuales hablé el año pasado; y son la base de uno de los dos recursos que usan los Hiloramas que voy a mostrar.
Hiloramas
Si no los conoces o recuerdas, revisa esta breve descripción.
En términos de su construcción, la técnica consiste esencialmente en unir puntos, cuya previa selección determinará gran parte del resultado final.
A continuación veremos dos tipos de conexiones, realizadas en Geogebra usando principalmente secuencias para automatizar la construcción familias de segmentos.
1. Bezier en un Geoplano 
Recuerdo haber realizado este ejercicio en enseñanza básica con geoplanos. Si se unen ordenadamente los puntos que van desde D hacia A, con los que van desde A hacia B, se va describiendo una curva.
Esta es, de hecho, un arco parabólico (clic en Mostrar parábola), que, mientras mayor cantidad de divisiones del geoplano, mejor se aproximará con los segmentos (nótese que el foco es el centro del cuadrado, y la directriz es una paralela a BD, que pasa por A).
En rigor, se trata de una Curva de Bezier (de grado 2), a la que todos estos segmentos son tangentes. En otras palabras, este es un lugar geométrico generado por envolventes.
2. Diseños con envolventes
Las posibilidades creativas con unas pocas envolventes son diversas. En este ejemplo se cuenta con cuatro curvas y ubicando los puntos a conveniencia se pueden lograr distintos diseños.
Para los entusiastas de Geogebra, este diseño está hecho con Geogebra 4, aprovechando el llamado GeogebraScript para ubicar los puntos en distintas posiciones.
Más allá de construirlas segmento a segmento, en Geogebra es posible usar secuencias para automatizar un poco el proceso. Para la envolvente ABC, por ejemplo, uso la siguiente fórmula (ver videos al final):
secuencia[segmento[A+i*(B-A)/40,B+i*(C-B)/40],i,0,40]
3. Hiloramas sobre la cuadrícula
Para visualizar correctamente este applet, debes instalar (o activar) Java. Visita Java.com/es
Siguiendo, entonces la lógica del Geoplano, la cuadrícula es un buen recurso para organizar diseños con este tipo de envolventes. Éste, en particular, se basa en el ejemplo #106 de Elton Gifford
Como se puede ver en este ejemplo (hacer clic en Mostrar guías), el primer paso es construir un diseño formado por segmentos, en los que se basan las envolventes.
Esto abre la posibilidad de utilizar todo tipo de diseños geométricos, como los que mostré unas semanas atrás en el post Mosaicos islámicos hexagonales, o en realidad cualquier teselación, como muchos ejemplos que he reconstruido en el pasado.
4. Hiloramas en la cuadrícula (práctica)
En Geogebra es posible crear herramientas, que en este applet se han incorporado con distintos colores, para practicar la creación de Hiloramas en la cuadrícula. Al final hay un video donde muestro este proceso y las herramientas también se pueden descargar en el siguiente enlace: herramientas_para_geogebra_3.2.zip
5. Hiloramas sobre la malla isométrica
Para visualizar correctamente este applet, debes instalar (o activar) Java. Visita Java.com/es
Además de la cuadrícula, en Geogebra se cuenta con una malla isométrica, es decir, formada por triángulos equiláteros.
Este ejemplo sigue la misma lógica que el ejemplo (3), sólo está construido sobre esta malla isométrica, por lo que está más relacionado con los Mosaicos islámicos hexagonales que mencionaba anteriormente, o cualquier diseño que involucre triángulos equiláteros y hexágonos regulares.
6. Hiloramas en la malla isométrica (práctica)
Al igual que en el ejemplo (4), en este applet se cuenta con cuatro herramientas para construir envolventes, sólo que los puntos ahora se ajustan a la malla isométrica en vez de la cuadrícula (o bien, la llamada cuadrícula en Geogebra, en este caso es isométrica).
Esta herramientas también están incluidas en el archivo antes enlazado: herramientas_para_geogebra_3.2.zip
7. Hiloramas regulares
Otro recurso, mucho más común en los Hiloramas, es el trazar todos los segmentos posibles, a partir de un conjunto finito de puntos. Por ejemplo, conectar todos los puntos de un polígono regular.
En este ejemplo, se puede controlar la cantidad de lados (a y b) con los que cuentan dos polígonos regulares, con el mismo centro. Además, se puede girar y modificar el radio del más pequeño.
8. Hiloramas regulares (práctica)
Al igual que en los ejemplos anteriores, es posible crear una herramienta en Geogebra, para conectar todos los puntos de un polígono regular, o en otras palabras, crear un hilorama regular (seleccionar el centro, un vértice y la cantidad de lados).
Al final hay un video donde se muestra tal proceso, y estas herramientas también están incluidas en el archivo antes enlazado: herramientas_para_geogebra_3.2.zip
En fin, este tipo de actividades pueden ser un tanto tediosas al trabajarlas con material concreto, aunque eso no es necesariamente una desventaja. En este caso, Geogebra o cualquier procesador geométrico permite facilitar este trabajo, aprovechando las posibilidades creativas de la técnica del Hilorama. Además es muy interesante el conectar esto con la creación de diseños geométricos en general, o particularmente con las teselaciones.
Comparto las construcciones y herramientas a ver si alguien se anima a desarrollar esto con sus alumnos (notar que sobre cada applet, hay un enlace de descarga).
Videos de las construcciones
Y finalmente para los usuarios de Geogebra, algunos videos donde muestro cómo construir los principales ejemplos.
Nota: Estuve un tiempo escribiendo mal el nombre. En realidad se llaman “Hiloramas” (no “hologramas” como aparece en los vídeos).
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