Cicloides y trocoides
Una dificultad frecuente con los procesadores geométricos, está vinculada a los ángulos mayores de 360º. Como mostraba en el post de Cinderella 2.0, es común en tales situaciones que, al superar los 360º, el ángulo se “reinicie”.
En este post muestro cómo tal dificultad requiere de recurrir a otros recursos, para construir curvas que involucran varias revoluciones, como son las “ruletas” y en este caso particular las Cicloides y Trocoides (hipo y epi).
Normalmente al estudiar este tipo de curvas, nos interesa cómo se generan, haciendo referencia a giros. Por ejemplo, la curva que describe un punto fijo de la rueda de una bicicleta, al rodar sobre el piso, por fuera de una circunferencia, o por dentro.
A pesar de que tal descripción es bastante natural, su implementación no es siempre tan directa. Así me he encontrado con que es más conveniente su construcción a partir de las ecuaciones paramétricas, como mostraré a continuación.
Variedades de las epicicloides e hipocicloides
Las Epi e HipoCicloides, aquellas generadas por una circunferencia que “rueda” por el exterior o interior de otra, son curvas sumamente diversas, tal como mostrara en mayo con la Rosa Polar.
Todo el problema pasa por cuántas veces debe rodar una circunferencia sobre otra, para que se cierre la curva que describe un punto de la primera. Por ejemplo, cuando el radio de la mayor es 10 y el de la menor es 2, la cantidad de vueltas sobre la circunferencia mayor es una (ver video).
En cambio, cuando la circunferencia mayor tiene radio 12,2, y la más pequeña 3,2, la cantidad de vueltas alrededor de la primera son 32, para que la curva se pueda cerrar. Ese tipo de Epicicloides es mucho menos ilustrada en textos de estudio (y sitios web) y más asequible con las curvas paramétricas.
Así, a continuación muestro las diferencias en la práctica entre los lugares geométricos y curvas paramétricas para trazar la misma curva, las que se hacen visibles en la medida que buscamos construir variedades más complejas (más largas, si se quiere) de las Epi e Hipo Cicloides.
Además, ilustro la relación entre los parámetros de las ecuaciones (paramétricas) y la sus propiedades geométricas.
1. Discontinuidades 
En este applet se puede apreciar el problema que ocurre con el L.G.
Cuando la relación entre los radios, r : s, por ejemplo, en el caso antes mencionado, con mayor de r = 13,2 y s = 3,2, se debiera generar una compleja curva, que requiere de 32 revoluciones para cerrarse. Pero sólo se genera la 1/32 parte de esta epicicloide.
Esto es debido a que lo hemos construido a partir del ángulo central, que no supera los 360º, es decir, luego de una vuelta completa, el ángulo se reinicia (mover punto P).
Luego, las variedades de esta curva que podemos apreciar correctamente, son sólo aquellas que requieren de una vuelta, es decir, aquellas en las que la razón entre los radios es entera.
En el siguiente ejemplo solucionamos esto, usando una longitud para rotar.
2. Lugar geométrico con radianes
Asumiendo que el problema de construir esta curva es el que mostramos en el ejemplo anterior, es decir, que el ángulo se “reinicie”, podemos recurrir a utilizar una longitud, lo que es similar a utilizar radianes.
En este ejemplo, la circunferencia menor, gira según k, o mejor dicho, en k radianes, sobre la circunferencia menor. A partir de tal situación tenemos la curva construida como lugar geométrico.
Esto nos permite visualizar casos más complejos que en el ejemplo anterior, sin embargo, existe un cierto límite, en el que el Lugar Geométrico siguen siendo insuficiente.
En el caso de r=17,6 y s=12,6. En tal caso, se ven unas franjas que ilustran claramente que la curva no se ha cerrado, es decir, que el Lugar geométrico no representa completamente la curva completa, que requeriría 126 vueltas (alrededor de la circunferencia fija).
Veamos ahora cómo se visualizan las curvas paramétricas correspondientes.
3. Cicloides y trocoides
Las ecuaciones paramétricas de la Cicloide son:
- x = r [ t - sen(t) ]
- y = r [ 1 - sen(t) ]
, donde r es el radio de la circunferencia generatriz, y t corresponde a cuánto ha rodado.
Como consecuencia, su centro es el punto (t,r) (mover el centro).
Una generalización de la Cicloide, es la Trocoide, que surge de la idea de acortar o alargar el radio correspondiente al punto movil, por ello también se le llama Cicloide acortada o alargada (clic en casillero “Trocoide”).
Con esta curva entra en juego una nueva variable en las ecuaciones, q, que corresponde al radio (acortado o alargado), y cuando es igual a 1 las reducen a las primeras (ecuaciones).
Cabe destacar que esta curva paramétrica está graficada entre 0 y t, lo que permite que se vaya dibujando a medida que la generatriz avanza.
4. Epicicloides y epitrocoides
De manera análoga a la cicloide, cuando una circunferencia rueda (gira sin deslizamiento) sobre otra, el L.G. que describe un punto fijo de la primera, es denominado Epicicloide, y al alargar o acortar el radio correspondiente obtenemos la EpiTrocoide.
Aquí es interesante notar cómo con distintas combinaciones de r y s, se generan curvas muy distintas entre sí.
En esta construcción, t también corresponde a la longitud recorrida por la generatriz, dividida por π (o sea, con t = 2, se ha avanzado 2π).
5. Hipocicloides e Hipotrocoides
Y la curva análoga a la anterior, con la circunferencia generatriz girando en el interior de la otra, corresponde a la HipoCicloide, y alargando o acortando el radio correspondiente tenemos la HipoTrocoide.
Tanto la Epi como la Hipocicloide, funcionan de manera análoga a la Rosa Polar, de manera que:
- Cuando la relación entre los radios es entera, la curva es cerrada, y requiere de sólo una vuelta para cerrarse. Se genera en tal caso una rosa de r / s pétalos.
- Cuando r/s es racional, no entera, la curva sigue siendo cerrada, y requiere de m vueltas para cerrarse, siendo m el mínimo entero que multiplicado por r/s da entero.
- Cuando r/s es irracional, la curva es abierta y de longitud infinita
6. Hipocicloide, Hipotrocoide, Epitrocoide y Epicicloide
En este video integramos estas ideas, las relaciones entre Hipo y Epi Cicloides, y sus respectivas Troicoides, en términos de gráficas y ecuaciones.
Conclusiones
En general la herramienta de lugares geométricos es suficientemente útil para explorar trayectorias en situaciones geométricas simples, pero como hemos visto aquí, hay casos de las Epicicloides e Hipocicloides que son suficientemente complejos como para requerir de algo más preciso (ver comparación).
Explorando más a fondo este asunto, he notado que algunas partes de estas curvas tienden a desaparecer o aparecer, a medida que se acerca o aleja, de manera que el lugar geométrico pareciera ser, además, dependiente del rango de visualización.
En fin, tómense este post, y el de la rosa polar, como dos ejemplos de curvas complejas que podemos estudiar usando ecuaciones paramétricas, lo que es muy natural en Geogebra. Para los entusiastas de Geogebra, dejo a continuación unos videos de estas construcciones que preparé un par de meses atrás (pues esto estuvo esa cantidad de tiempo en carpeta).
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Para uno que ya tiene cierta edad es una gusto estudiar en sitios como estos. Y la curva en movimiento. Ideal.