Animaciones equivalentes
El mes pasado me encontré con una animación en un blog, que es relativamente simple, y que al observarla con detención se puede apreciar un recurso típico de animaciones que inducen la idea de movimiento ondulatorio.
Construyendo esta en Geogebra, recurrí a las secuencias de iteración, y aplicando la idea a varios objetos distintos, voy a ilustrar lo que podríamos llamar “animaciones equivalente”, o incluso, estructuralmente idénticas.
En varias otras ocasiones, me he referido a lo que me gusta describir como actividades de reconstrucción, que son esos post en los que parto de un diseño e intento replicarlo y describir cómo está construido. Todos estos post se pueden encontrar con la etiqueta reconstrucción.
La reconstrucción de esta ocasión, a diferencia de todas las demás, está referida a una animación, más que un diseño estático. De todas maneras, la idea general similar, sólo que aprovecharemos las animaciones de deslizadores de Geogebra para darle movimiento al diseño.
Animación a reconstruir
Tenemos 121 semicírculos, organizados en una cuadrícula de 11×11.
Lo primero que hay que notar, es la relación entre las esquinas: los semicírculos opuestos, es decir, el 0,0 y 10,10; como también el 10,0 y 0,10, giran al unísono, mientras que las esquinas consecutivas giran con un desfase de 180º.
En otras palabras, las esquinas opuestas están en sincronía, y las consecutivas giran en oposición.
Más en detalle, a partir de cualquier pieza, la siguiente hacia la derecha, o hacia arriba, gira con un desface de 18º.
Esta lógica se puede apreciar en esta tabla. Si construimos esta escena, de manera que el ángulo del casillero 10,10 varíe desde 0 a 360º, entonces se genera el efecto deseado.
Es un tanto explicativo del efecto visual que se genera, el hecho de que la diagonal derecha, y todas sus paralelas, tienen los mismos ángulos. Gráficamente, en la animación, esto implica que los diámetros de los círculos que las componen, son paralelos.
Como consecuencia de esto, diagonal izquierda (en amarillo), es un eje de simetría.
1. Fila de rotaciones / traslaciones 
Partimos con un semicírculo de radio BC, que gira en torno a su centro, en el ángulo α.
A partir de este, construiremos una fila, lo que se puede hacer manualmente, o bien, con las siguientes fórmulas:
Necesitamos iterar la composición de una traslación, respecto al vector u (CD) y una rotación en π/10, respecto a su centro, es decir:
- rota [ traslada[c,u] , π/10 , traslada[C,u] ]
- rota [ traslada[c,2u] , 2π/10 , traslada[C,2u] ]
- rota [ traslada[c,3u] , 3π/10 , traslada[C,3u] ]
- rota [ traslada[c,4u] , 4π/10 , traslada[C,4u] ]
En suma, la secuencia de iteración a utilizar corresponde a:
secuencia [ rota [ traslada[c,i u] , i π/10 , traslada[C,i u] ],i,0,10 ]
2. Doble iteración de rotaciones y traslaciones
Con la misma lógica que antes, completar el cuadrado, corresponde a combinar dos iteraciones, y para eso utilizamos el segundo vector (normal), v.
La secuencia que permite generar una fila, es:
secuencia [ rota [ traslada[c,i u] , i π/10 , traslada[C,i u] ],i,0,10 ]
Análogamente, para una columna, utilizamos:
secuencia [ rota [ traslada[c,j v] , j π/10 , traslada[C,j v] ],j,0,10 ]
Nótese que i y j, son “contadores”, que avanzan de 0 a 10. Utilizamos uno para avanzar horizontalmente y otro para avanzar verticalmente; y luego, combinando ambas ideas tenemos:
secuencia [ secuencia [ rota [ traslada[c,i u + j v] , (i+j) π/10 , traslada[C,i u + j v] ],j,0,10 ],i,0,10 ]
3. Animación de semicírculos
Este es el resultado final, en el que se puede apreciar cómo los semicírculos se van alineando en las diagonales derechas, y manteniendo simetría respecto a la diagonal izquierda, tal como veíamos en la tabla del principio.
4. Control de iteraciones
La misma animación, se puede extender a cuadrados de mayor dimensión. En esta escena es posible controlar la cantidad de traslaciones y longitud de los vectores, que determinan un cierto margen interno. Ajustando ambas variables, se logran otras variedades de la animación.
5. Animación de diámetros
En la misma línea que el caso anterior, podemos construir los grupos equivalentes de rotaciones, pero aplicados a otros objetos. En este caso, tenemos tres grupos, el de las rotaciones de los diámetros (casilla segmentos) y de los extremos del mismo (casilla puntos).
6. Animación de cuadrados
Finalmente, aunque es una extensión de la idea, asociada a la visibilidad (más que a una transformación isométrica), en esta animación vemos las variaciones de la opacidad de los cuadrados. Esto sigue una lógica muy similar a la de la tabla que mostraba al principio, pero los valores de opacidad varían entre 0 y 1; en vez de ángulos que varías entre 0º y 360º
Variaciones equivalentes
En fin, lo que intento ilustrar, es una aplicación poco común de la idea de la estructura, en este caso, en relación a animaciones. Es una idea similar a la de grupo de simetría.
Regularmente aplicamos estas ideas para comparar teselaciones, por ejemplo, la generada por un triángulo equilátero y las famosas mariposas de escher.
Ambas teselaciones, decimos que corresponden a un mismo grupo de simetría, o bien, que son equivalentes.
En este caso, también podríamos decir que la animación de los semicírculos (3), es equivalente a la de los diámetros (5), o la de los cuadrados (6).
Aun así, en el caso de la última, no hay transformaciones, así que sería un pequeño abuso de lenguaje; aunque las variaciones, de ángulos u opacidad, son equivalentes.
Este post se puede tomar como un ejemplo de distintos tipos de construcciones vinculadas a animaciones. Sería interesante armar algún tipo de guía, para orientar a los alumnos en este tipo de investigaciones. Dejo abierta tal idea, a ver si alguien se entusiasma…
Aprovecho de recordar que en la próxima semana se estará realizando la quinta edición del carnaval de matemáticas, cuyo anfitrión será el Blog Barcedavid.Blogspot.com
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