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Variedades de la rosa polar

Miércoles, 12 de mayo de 2010
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Variedades de la rosa polar

En estos días he estado graficando distintos tipos de curvas en Geogebra, usando de ecuaciones paramétricas.

Como voy a mostrar más adelante, este método permite solucionar varios problemas, que surgen al construir lugares geométricos que involucran varias “vueltas”, es decir, ángulos mayores de 360º.

En la próxima semana voy a aprovechar estas ideas para revisitar el problema de las cicloides (epicicloides e hipocicloides), pero en esta ocasión me voy a centrar en una familia de curvas muy interesante, como es la Rosa Polar.

Esta entrada participa en el cuarto carnaval de matematicas en español, organizado en el Blog Zurditorium.com.

Estudiada por el matemático italiano, Guido Grandi, estas curvas se asemejan a las flores, en el sentido de la organización circular de pétalos, y por ello las denominó “rhodoneas” (del griego rhodon: rosa).

El aspecto más interesante de las rhodoneas, es la diversidad de curvas que se pueden formar, tan sólo con pequeños cambios en algunos parámetros. Así, puede tratarse de una rosa de 4 pétalos separados, o de 62 pétalos que se intercalan, e incluso podría contar con infinitos pétalos.

Construcciones: 1 | 2 | 3 | 4

1. El péndulo de Foucault

Para visualizar correctamente este applet, debes instalar (o activar) Java. Visita Java.com/es

El péndulo de Foucault lleva su nombre por León Foucault, físico francés, que en 1951 ideó un experimento, con el propósito de demostrar la rotación de la tierra.

El aparato consistió en un peso de 28kg. colgado del domo del panteón de París, por un cable de 67 metros. Debido a la rotación de la tierra, el plano de oscilación del péndulo tiende a girar, en este caso, cerca de 11º por hora y completando una vuelta en 32.7 horas.

Así, la punta del péndulo describe una rosa polar, cuya cantidad de pétalos dependerá del ángulo de giro.

Este applet ilustra el movimiento del péndulo, mirado desde arriba, de manera que P dibuja una rosa de 32 pétalos, siendo el diámetro d el plano de oscilación.

En general, es considerado un péndulo de Foucalt, uno capaz de oscilar en cualquier plano vertical y por muchas horas.

2. Ecuación general de la rosa polar

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La ecuación de la rosa polar es de la forma: r(θ) = e·cos(k·θ+c), y cada uno de estos coeficientes tiene una clara interpretación geométrica.

Por ejemplo, e determina la longitud de los pétalos y c; la rotación. k, en cambio, determina de una manera más compleja, la variedad de curva:

  • Cuando k es par, la rosa tiene 2k pétalos; y cuando es impar tiene k. En ambos casos, es decir, con k entero, los pétalos se intersectan sólo en el centro.
  • Cuando k no es entero, los pétalos se intersectan en más puntos, y la cantidad de pétalos puede aumentar significativamente. El caso límite es con k irracional, que genera una curva de longitud infinita.

Algunas variedades de esta curva no se alcanzan a construir completamente en esta escena, puesto que se requiere un dominio mayor. En el ejemplo siguiente veremos en más detalle el caso de k racional.

3. Ecuación simplificada

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Dado que algunos coeficientes de la ecuación anterior sólo modifican las dimensiones y giro, pero no la forma de la curva, es posible reducirla a la siguiente: r(θ) = cos(θ·k).

Como nos interesa que el coeficiente sea racional, lo podemos expresar como cuociente de dos números decimales a y b. También importa el dominio en el que se grafica la curva, en este caso, entre 0 y t.

Es interesante notar que en algunos casos la cantidad de pétalos es muy grande y en otras más pequeña, por ejemplo:

  • Con a=15 y b=3,6, la curva se cierra con t=12π, es decir, a las 6 vueltas completas.
  • Con a=14 y b=5,8, la curva se cierra a las 29 vueltas.

Es predecible, entonces, el dominio en el que la curva alcanza a cerrarse, pues debemos buscar el menor valor que multiplicado por a/b genera un número entero.

4. Variedades de la rosa polar

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Cuando a y b son enteros, las variedades de la rosa polar son más simples (que en los casos anteriores), y suelen ilustrarse en tablas como esta.

Haciendo clic en cada caso, se puede observar su gráfico respectivo y la animación de la construcción.

No es complejo identificar casos equivalentes, pues involucran fracciones equivalentes y los casos en los que a=b, que representan una circunferencia (o rosa de un pétalo, si se quiere).

Coordenadas polares y ecuaciones paramétricas

Regularmente estas curvas se construyen en los procesadores geométricos, haciendo uso de la idea de lugar geométrico, es decir, prestar atención al rastro que deja un punto en particular. También se suele recurrir a activar las trazas (o rastros) y manualmente mostrar estas curvas.

Sin embargo, es problemático cuando tal construcción requiere de que algún punto de varias vueltas, como los que vimos, pues regularmente al llegar a 360º la situación se reinicia.

Algo de esto discuto en el post anterior, Cinderella 2 en relación a la continuidad (del movimiento).

La solución que he utilizado aquí, involucra curvas paramétricas, lo que aunque es un poco más complejo en su fundamento matemático es bastante directo en Geoegebra. En este caso, utilicé dos ecuaciones, que describen la relación entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares:

  • x=r cos(θ)
  • y=r sen(θ)

En rigor, al graficar una curva paramétrica con las ecuaciones de transformación de coordenadas, estamos transformando coordenadas.

En el siguiente video, muestro la construcción propiamente tal (que es relativamente simple):

Video

Geometría, Procesadores geométricos , , , , , ,

  1. Lunes, 23 de agosto de 2010 a las 10:36 | #1

    Hello!
    very nice work of geogebra

    I have one wish from you: Would you please tell me, how you managed to embed the ggb applet in your wordpress site, cause I want to do the same.
    I am a math teacher in Austria and in the Mathematech-Group, who tries to get technology(=geogebra) into math classes.

    Thanks
    Kurt

    • Martes, 24 de agosto de 2010 a las 12:50 | #2

      Hi!
      There are two kinds WordPress. The self hosted one, which is in WordPress.org, and the ones in WordPress.com (yoursite.wordpress.com). I have the self hosted one, and that’s why i can use the “applet” html tag. Unfortunately in WordPress.com you can’t use applets and many other “unsafe” resources (like java scripts), that’s why many Geometry Bloggers prefer Blogger.com.

      I have asked to reconsider this in WordPress.com, but it is a security issue, and have not received any answer (after several months).

      It’s a shame, right?

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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2010/05/variedades-de-la-rosa-polar/.