1. Ejemplos de de continuidad

En el primer ejemplo tenemos la recta EF, con F intersección de dos rectas. Pero cuando estas son paralelas, F desaparece, sin embargo la recta no, pues F sigue existiendo en el infinito, lo que es la implementación de una noción de geometría proyectiva.

En el segundo ejemplo definimos el eje radical de las circunferencias, a partir de sus intersecciones, pero si ambas no se intersectan la recta sigue existiendo. En este caso, ambos puntos desaparecen, pero aun existen teóricamente en el espacio complejo.

El tercer ejemplo es el que ilustraba en el video anterior, arrastrando N sobre la circunferencia, el ángulo de giro no se reinicia en 360º y más importante, el punto O sigue un camino continuo, es decir, sin saltos.

Estos son tres casos de una misma idea general, que se explica en más detalle en la documentación oficial: Theoretical Background (en inglés)

2. Animaciones

En un terreno menos matemático, pero sumamente útil para ilustrar propiedades geométricas, las animaciones en Cinderella 2 se puede controlar tanto grupal como individualmente.

Primero que todo, nótese el control de animación en la parte inferior derecha. Con este se puede iniciar, detener y pausar la animación, además de controlar su velocidad.

Pero además se cuentan con controles en la parte superior derecha, estos están cada uno asociado a un punto distinto, como son T y T2.

La situación matemática que tenemos, es de un lugar geométrico, y podemos controlar independientemente la animación de T, que genera la curva pedal de la parábola, respecto al punto A; y la animación de T2, que genera la contrapedal.

3. Transformaciones

Con el enfoque de definición / aplicación, cada vez que se define una transformación, aparece un botón en pantalla para aplicarla.

En este applet, los botones en cuestión, representan las siguientes transformaciones:

• Rotación de g a h, es decir, según el ángulo que ambas rectas forman.
• Rotación de g a k
• Reflexión respecto al punto A
• Reflexión respecto a la recta k
• Reflexión respecto a la recta h
• Reflexión respecto a la recta g

Con tales botones, la iteración de transformaciones es muy simple, basta con seleccionar el objeto a transformar y aplicar la transformación.

4. Fractales

Además de las transformaciones isométricas, contamos con transformaciones afines, proyectivas, de Moebius y semejanzas. En este caso, tenemos definidas dos semejanzas, una que transforma el segmento AB en BE y la otra lo transforma en BC.

En esta construcción contamos con dos recursos particularmente interesantes, como es, el grupo de transformaciones, que genera la ramificación (y consiste en la iteración de ambas semejanzas); y el sistema de funciones iteradas (IFS0), que genera el fractal propiamente tal (la nube de puntos.)

Ambos temas los desarrollo más en detalle en los post anteriores:

• Transformaciones en Cinderella 2, donde muestro los grupos de transformaciones.
• Fractales en Cinderella 2, donde vemos los sistemas de funciones iteradas.

5. CindyLab

Cindylab es una extensión bastante única de este procesador geométrico, pues permite la inclusión de diversos objetos para realizar simulaciones físicas.

En particular, se cuenta con masas, masas con velocidad, gravedad (una fuerza constante que actúa sobre todas las masas), soles (campo de fuerza central), campos magnéticos, elásticos, fuerzas eléctricas, murallas y piso.

Así tenemos una serie de elementos que, al iniciar la animación, interactúan entre sí.

• Ejemplo 1: Péndulo triple, que cuenta con tres masas conectadas por segmentos (y circunferencias ocultas) y gravedad.
• Ejemplo 2: Masa con velocidad y murallas, que simula el lanzamiento de un proyectil y su choque con las murallas y el piso.

5. CindyLab

Cindylab es una extensión bastante única de este procesador geométrico, pues permite la inclusión de diversos objetos para realizar simulaciones físicas.

En particular, se cuenta con masas, masas con velocidad, gravedad (una fuerza constante que actúa sobre todas las masas), soles (campo de fuerza central), campos magnéticos, elásticos, fuerzas eléctricas, murallas y piso.

Así tenemos una serie de elementos que, al iniciar la animación, interactúan entre sí.

• Ejemplo 1: Péndulo triple, que cuenta con tres masas conectadas por segmentos (y circunferencias ocultas) y gravedad.
• Ejemplo 2: Masa con velocidad y murallas, que simula el lanzamiento de un proyectil y su choque con las murallas y el piso.

6. CindyScripts

CindyScript es una especie de Javascript para Cinderella, un lenguaje de programación que nos permite interactuar con el entorno de geometría.

En gran medida, la propuesta del autor consiste en ampliar las capacidades del procesador geométrico, según las necesidades del usuario, pero esto tiene alcances mucho mayores, pues la programación es un gran recurso de aprendizaje matemático.

En este applet contamos con dos ejemplos típicos de iteraciones de dibujos, cuyos códigos copio a continuación (para los aficionados a la programación):

• Código fuente ejemplo 1

vertices=[[0,-3],[0.5,-3.5],[0,-4],[-0.5,-3.5]];
repeat(10,j,
   repeat(24,i,
  drawpoly(vertices,color->hue(i/24));
  rotate(15°); );
scale(0.75)
)

• Código fuente ejemplo 2

O.xy=[0,0];
contador=round(160 * |B,K|/|B,H|);
pointsize(2);
alpha(0.6);
repeat(contador,i,
  draw(A.xy,color->hue(i/24));
  draw(C.xy,color->hue(i/24));
  draw(D.xy,color->hue(i/24));
  draw(E.xy,color->hue(i/24));
  draw(F.xy,color->hue(i/24));
  draw(G.xy,color->hue(i/24));
  rotate(3°);
  scale(0.98);
  );