1. Curva de Koch

Descubierta por el matemático sueco, Helge von Koch, este fractal se genera por sustitución de líneas, utilizando cuatro semejanzas.

Dados los puntos A, B, C y D, buscamos sustituir el segmento AB por los otros cuatro segmentos.

Luego, hemos definido cuatro semejanzas, la que transforman AB en AC, CE, ED y DB. Cada una de ellas genera una parte del IFS que se construye sobre cada segmento respectivamente.

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Intuitivamente, este fractal consiste en la iteración de un procedimiento en el que el segmento AB es sustituido por los cuatro segmentos de esta construcción; luego estos cuatro por 16 y esos 16 por 64 y así hasta el infinito.

2. Árbol Pitagórico

En este applet tenemos tanto el grupo de transformaciones (TG0), que corresponde a los cuadrados, como también el SFI (IFS0) que genera una “nube de puntos”.

El árbol pitagórico se genera con las semejanzas que transforman FG en los catetos AE y BE. Tales transformaciones, ubican el cuadrado, construido sobre la hipotenusa, ABFG, sobre los catetos, e iterándolas se va construyendo el grupo de transformaciones (el árbol mismo).

El SFI (IFS0), en cambio, genera una nube de puntos, lo que constituye una aproximación al conjunto que se generaría iterando estas semejanzas “infinitamente”.

Un ilustrativo ejercicio se puede realizar aplicando una de estas semejanzas a algún punto (por ejemplo, seleccionar G y presionar varias veces el botón de una semejanza), lo que se aproxima a la nube de puntos.

Moviendo E, se observan distintas variedades del fractal, que en algunos textos es descrito como el caso en el que ABE es isósceles rectángulo.

3. Ramificación fractal

Nuevamente en la lógica de reemplazo de líneas, este es un caso típico de fractales que se asemejan a formaciones naturales, como ramificaciones de plantas.

Para este caso, contamos con dos semejanzas:

• AB → CD
• AB → EF

El sistema de funciones iteradas de estas semejenazas, genera una nube que en varios casos corresponde a una curva, con características similares a la curva de Koch.

Otras variedades de este fractal, corresponden a algunas de las curvas de De Rham.

4. Triángulo de Sierpinski

Este es uno de los tres fractales que llevan su nombre en honor a Waclaw Sierpinski. Los otros dos son la alfombra de Sierpinski, análoga a este en un curadrado, y la curva de Sierpinski.

Generado por tres semejanzas, el triángulo inicial se sustituye por tres triángulos, determinados por sus medianas.

Entonces, contando con que D, E y F, son puntos medios de los lados del triángulo, y definimos el SFI por las semejanzas:

• AC → FD
• AB → ED
CB → EF

5. Transformaciones afines

Un tipo más general de transformación geométrica, es la transformación afín, de la cual la semejanza es un caso particular.

Una transformación afín tiene la particularidad de mantener la colinealidad y las razones entre las distancias, y desde un punto de vista geométrico, se requiere de seis puntos (tres pares) para definirla.

Así, en este caso tenemos una transformación afín que convierte el cuadrado BCDE en AREO, y otra que lo transforma en PHNQ.

Es intersante seleccionar el cuadrado inicial, y aplicarle sucesivamente las transformaciones, para observar cómo se van anidando cuadrados para formar estas hojas.

6. Helecho de Barnsley

El helecho de Barnsley lleva su nombre por Michael Barnsley quien lo describe en su libro Fractals everywhere (“Fractales en todos lados”).

Construido a partir de cuatro rectángulos, este fractal se basa en la iteración de cuatro transformaciones afines:

• ABD → EFH, que tiende a orientar todo el follaje.
• ABC → KLM, que orienta las ramas de la derecha.
ABD → POQ, que orienta las ramas de la izquierda.
• y ABD → STV, que orienta los tallos.

Dado que las transformaciones afines se definen por tríos de puntos, podríamos entender estas relaciones respecto a triángulos (rectángulos), pero existe una clara relación entre la forma de cada parte del helecho y los rectángulos asociados (clic en Mostrar / ocultar guías)

7. Variedades de un IFS

Los sistemas de funciones iteradas son estructuras particularmente ricas, lo representa la complejidad que involucran los fractales como estructuras autosimilares.

Este applet ilustra tal riquesa, con un SFI a partir de dos semejanzas. Basta con mover cualquiera de los 5 puntos para obtener fractales completamente diferentes.

Otro ajuste del SFI se da moviendo el punto H, que corresponde a una especie de balance entre una semejanza (en roja) y la otra (en azul). Los botones (de 1 a 9), corresponden a algunos casos notables como el Triángulo de Sierpinski (caso 7), por ejemplo.