Círculos en Milk Hill
En el capítulo anterior mostraba la construcción de la Cadena de Pappus, pero el objetivo real de ese post, era dar paso a esta reconstrucción, que intenté unos años atrás.
Se trata de un diseño que se aparece en Wiltchire en el 2001 y que aun es consignado como el más grande de todos los “crop circles”.
Círculos en Milk Hill (Wiltshire, Inglaterra 2001)
Fue el domingo 12 de Agosto de 2001, cuando se registra la aparición de estos misteriosos círculos en Milk Hill, el punto más alto del condado de Wiltshire (Inglaterra).
El colosal diseño está compuesto por más de 400 círculos de distintos tamaños, 68 de ellos formando seis cadenas de 13 eslabones, giradas en 60º, en torno a un círculo central. Acompañando a cada uno de los círculos principales, se ubican 6, 4 ó 2 círculos, más pequeños (satélites).
Los círculos de mayor tamaño son, el central y el mayor de cada cadena, cada uno de ellos con un radio de 15,24 metros (50 pies), de manera que, inscribiendo toda esta formación en un gran círculo, su radio sería casi diez veces veces mayor, de 157 metros (514 pies aproximadamente).
Al menos, hasta unos años atrás, el crop circle de Milk Hill del 2001 era descrito como el más grande hasta entonces conocido.
A pesar de lo interesante de su estructura, desde un punto de vista matemático, sólo existen unas pocas menciones a su geometría. Algunos lo describen como un conjunto de Julia con seis brazos (“six armed Julia set”).
Otra descripción regular, es como un trisquel doble (un símbolo típico celta), aunque esto sólo daría cuenta de una disposición hexagonal, y también hay menciones en términos de espirales (de circunferencias).
En este artículo veremos que se trata, muy probablemente, de seis cadenas de Pappus (aunque, omitiendo los satélites).
Cadena de Pappus
Si no has visto el capítulo anterior, aquí tienes un breve resumen.
Reconstrucciones previas
Si se trata de reconstrucción de Crop Circles, Zef Damen (ZefDamen.nl) es una fuente ineludible, que muestra diseños aparecidos desde 1998.
El método de Damen consiste en calcar el diseño y luego medir para descubrir relaciones entre las distintas partes.
El problema en este caso, está en que algunas circunferencias las asume como tangentes y otras no.
Para este artículo, consideraremos la reconstrucción de Zef Damen como una aproximación, que nos permitirá determinar dimensiones para construir las cadenas, pero partiremos de la presunción de que todas las circunferencias “cercanas” son tangentes.
1. Estrategia a seguir
Si asumimos que el cropcircle está formado por seis cadenas de Pappus, deberemos rotar una, sucesivamente en 60º, en torno a un círculo cuyo radio es el mismo del eslabón 0 (el mayor de cada cadena).
Aun así, como veremos a continuación, las características de esta cadena, es decir, la relación entre los círculos que la forman; y la posición del centro de rotación, son elementos que deberemos determinar.
2. Cadena simétrica de 13 eslabones
Recordemos que la cadena de Pappus, está contenida dentro de un árbelos, figura delimitada por semi-circunferencias. A cada circunferencia le llamamos “eslabón”, numerándolas según sus radios de mayor a menor (usar deslizador f)
Pero este diseño involucra cadenas simétricas (clic en mostrar simétrica), respecto al diámetro AB, las que numeramos con valores negativos ínversos a los de sus sumétricas.
Tal numeración no es arbitraria, pues la construcción de la cadena involucra trasladar por un vector u, 2u, 3u, y así sucesivamente; mientras que para generar las simétricas trasladaríamos por -u, -2u, -3u, etc.
La circunferencia de diámetro CB, corresponde al eslabón 0 de la cadena.
3. Rotación de cadenas
Una primera aproximación, consiste en rotar la cadena de 13 eslabones, respecto a algún punto, y nótese que el centro de rotación, O, está libre (Mover O).
A mano alzada, podemos ubicar el centro, de manera que las cadenas se conecten (por tangencia), lo que ocurre cuando el círculo central es tangente a todos los eslabones nº 6.
Sin embargo, las cadenas se pueden deformar, modificando los círculos que las componen. Para esto, hacemos clic en Mostrar guías, y luego arrastramos C.
Así se puede apreciar que tenemos dos aspectos que determinar: la posición del centro y la variedad de cadena a utilizar (que modificamos, moviendo C).
4. Fijando el centro
Como consecuencia de lo anterior, podemos construir el circulo central, de manera que sea tangente al sexto eslabón, luego rotar respecto a su centro, O.
En este caso, O rueda sobre un sexto eslabón, generando distintos diseños, pero en una sola posición logramos el efecto buscado.
Sin embargo, el problema sigue siendo la variedad de cadena, pues, nuevamente podemos Mostrar guías y arrastrar C
Entonces, ubicar el centro de rotación requiere de más condiciones geométricas y también es relevante preguntarnos en qué posición se debería fijar C.
Para solucionar este problema, recurriremos a la aproximación de Zef Damen.
5. Aproximación de Zef Damen
Este diseño está construido sobre el de Zef Damen, con la única diferencia de que todas las circunferencias son tangentes. (clic en Imagen)
Realizando mediciones (clic en Medidas) en esta superposición, podemos determinar que:
- El ángulo AEO mide 30º, donde AE es la recta diametral de la primera cadena, E es el centro del eslabón 0 y O el centro de rotación.
- La razón entre AC y AB es, 0,809, lo que se aproxima a la mitad de la razón áurea (φ/2)
Con tales condiciones podemos determinar el centro de rotación y el tipo de cadena a girar.
6. Pasos de la construcción
Partimos con una circunferencia de diámetro b y luego construimos:
- Circunferencia, con centro en A y radio b·φ/2
- C, intersección con el diámetro
- Circunferencia e, con diámetro CB
- Circunferencia f, con diámetro AC
- Si e, es el eslabón 0, e6 es el eslabón 6, de la misma cadena
- O6, centro de e6
- Circunferencia con radio centro O6 y radio e+e6
- Rotamos la recta AB en 30º alrededor de E
- P, intersección de la recta (11) y circunferencia (10), es el centro de rotación.
Finalmente, rotaremos la cadena de Pappus que empieza en e y termina en e6, alrededor de P.
7. Diseño final
Este es el diseño finalizado, en el lenguaje que hemos utilizado, son seis cadenas de Pappus, rotadas en múltiplos de 60º en torno a un círculo del mismo radio que el eslabón-0.
Además, hemos descubierto una relación vinculada a la razón áurea, entre los círculos que determinan estas cadenas y todo el diseño, debido al ángulo de rotación, induce un hexágono regular, lo que nos permitió fijar el centro.
Finalmente, para los entusiastas de Geogebra y afines, dejo a continuación dos videos en los que muestro, y doy algunas explicaciones más detalladas, sobre esta construcción.
El segundo video, es una síntesis de las transformaciones utilizadas y secuencias de iteración de Geoegebra, mientras que el primero es la construcción completa.
El tercer video es del capítulo anterior, y es solamente relativo a la Cadena de Pappus.
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Hola.
Quería hacerte una pregunta: ¿cómo (con qué programas) haces estos videotutoriales? Me parecen muy (pero muy) cuidados, y me imagino el trabajo que te han debido de llevar.
Aprovecho para felicitarte y agradecerte por el blog.
Hola, gracias por tus comentarios. Estos tutoriales los hago con ScreenFlow para mac, con el que grabo lo que hago en pantalla. Sobre las animaciones y textos, en gran medida las hago en Keynote (que es como Powerpoint) y luego grabo su reproducción. Entiendo que no hay ScreenFlow para PC, pero si hay una alternativa muy similar llamada Camtasia.
Saludos :)
Rafael
Pues conozco ambos programas (también uso mac), pero nunca me he metido muy a fondo con ellos (me sorprende viendo ese resultado lo que se puede llegar a conseguir).
Un día tenías que hacer un videotutorial de cómo hacer un videotutorial (es broma, pero realmente los vería con curiosidad).