Cadena de Pappus
Hace algunos años, presté alguna atención a unos diseños que misteriosamente aparecen en campos de trigo o “Crop circles”, más que por su origen, por lo complejos y altamente llamativos elementos geométricos que exhiben.
En esta ocasión, me centraré en una construcción que, en la próxima semana, me servirá para reconstruir un cropcircle muy famoso, y que puede relacionarse con un caso particular del problema de Apolonio.
Veamos esta cadena de Pappus…
El llamado problema de Apolonio, debe ser el problema más famoso de tangencia, y para muchos, es uno de los más famosos de la geometría, en el cual trabajaron importantes matemáticos, como Descartes, Euler, Cauchy, Carnot, Newton, Soddy, Steiner y varios más.
A pesar de haberse perdido el tratado en el que Apolonio de Perga (262 A.C.) lo desarrollara, llamado “Tangencias”, se sabe de su existencia y contenido gracias a Pappus de Alejandría (siglo IV D.C.).
Problemas de Apolonio
Si no los conoces o recuerdas, revisa esta breve descripción.
Problema de Apolonio en un árbelos
Estudiado originalmente por Arquímedes, el árbelos (“cuchillo de zapatero”) es una figura que está delimitada por tres semi-circunferencias con diámetros en la misma recta, dos de ellas tangentes exteriormente entre sí, y tangentes interiormente a la mayor.
Es en esta configuración de tres circunferencias, en la que, resolviendo el problema de Apolonio (CCC), sucesivamente, se va construyendo una cadena de circunferencias tangentes “contenida” dentro del árbelos.
A continuacion, veremos algunas propiedades de los árbelos y la Cadena de Pappus, así como su construcción.
1. Área del árbelos
El cálculo de área de un árbelos es simple, consiste, en este caso, en la diferencia del área del semicírculo mayor, y las de los otros dos.
Algunas propiedades del árbelos están vinculadas directamente a la idea de que un ángulo inscrito en una semi-circunferencia es recto. Trazando la perpendicular a AB, por C, la intersección con el arco mayor determina un triángulo rectángulo con hipotenusa AB (clic en Rectas).
Al mismo tiempo, uniendo K con A y B, se determinan L y M, intersecciones respectivas con los arcos menores, que también serían, entonces, vértices de triángulos rectángulos.
Así, podemos aplicar el Teorema de Euclides unas tres veces y encontrar relaciones interesantes entre estos triángulos. A simple vista podemos identificar que [CMKL] es un rectángulo.
2 Propiedades del árbelos
Como consecuencia de lo anterior (y de unas cosas más), tenemos tres propiedades básicas de un árbelos:
- Los segmentos LM y CK, se dimidian mutuamente (como en cualquier rectángulo)
- LM es tangente a los arcos
circunferenciasmenores.Y esto nos da pistas sobre cómo construir una tangente exterior a dos circunferencias dadas, tan sólo deberíamos convertir tal situación en la de un árbelos (como muestro en un video, más adelante).
- El área del círculo de diámetro CK (clic en Círculo q), es igual a la del árbelos.
3. La Cadena de Pappus
Dado un árbelos, el problema de Apolonio (CCC) consiste en construir una circunferencia tangente a los tres arcos que lo componen, esto se ilustra con f=1 en el applet.
La segunda circunferencia (f=2) corresponde a una aplicación del mismo problema, ahora con la antes construida, y a medida que f aumenta, se van sumando más circunferencias que son tangentes a dos arcos del árbelos, y a la circunferencia anterior.
Esta es la cadena de Pappus, y como se puede estimar, es infinita.
Es interesante observar, y esto es más fácil de ver al acercar C hacia A, que los centros de estas circunferencias están sobre una elipse. Los focos son los puntos D y F, puntos medios de AB y AC, respectivamente.
4. Alturas de los centros
Si bien la relación entre los radios de las circunferencias es un tanto compleja, sus alturas respecto al diámetro del árbelos es muy simple.
Tomando r, como AC / AB, el radio de la circunferencia “n“, está dado por:
En cambio, la altura del centro, respecto a la recta AB, es simplemente 2rn, es decir, la quinta circunferencia tiene su centro a una altura de diez veces su radio de altura, respecto a AB (usar deslizador g).
5. Construcción de la cadena
Clic en 
para avanzar en la construcción.
Partimos construyendo el vector v, que coincide con el diámetro perpendicular a CB. Según este vector, vamos a trasladar tres puntos: C, H y B.
Uniendo los trasladados C’, H’ y B’, con A, marcamos las intersecciones con las tres circunferencias que forman el árbelos: C’r, H’r y B’r, los que determinan el primer eslabón.
Luego, repetimos el procedimiento, es decir, trasladamos, ahora, C’, H’ y B”, respecto al mismo vector; unimos con A y marcamos las intersecciones con las circunferencias, para el segundo eslabón.
6. Construcción de la cadena (inversión)
Clic en para avanzar en la construcción.
Como indicaba al principio, la inversión nos permite realizar una construcción más simple.
Primero que todo, necesitamos construir la circunferencia de inversión, que corresponde a, trazar la perpendicular a AB por C, e intersectarla con el arco mayor, obteniendo el punto K (pasos 1 a 3). La circunferencia con radio AK, r, es la que utilizaremos para reflejar (o invertir), los puntos.
Entonces, los pasos 5 a 10, corresponden a trasladar los puntos C, B y H, respecto al vector v. Luego los reflejamos respecto a r para obtener C’r, H’r y B’r, los que determinan el primer eslabón.
Para el segundo, trasladamos C’, B’ y H’, los reflejamos y obtenemos los puntos por los que pasa tal circunferencia.
7. Secuencia de traslaciones y reflexiones
Finalmente, podemos reducir esta construcción a una secuencia de composiciones de traslaciones e inversiones en Geogebra, recordemos los pasos de la construcción:
- Primero relizamos tres traslaciones: traslada[C,v] , traslada[H,v] y traslada[B,v]
- Luego reflejamos estos puntos, respecto a r:
refleja[traslada[C,v],r] , refleja[traslada[H,v],r] y refleja[traslada[B,v],r]
- Con los tres puntos reflejados, construimos una circunferencia (en rojo):
circunferencia[refleja[traslada[C,v],r], refleja[traslada[H,v],r], refleja[traslada[B,v],r]]
Tal circunferencia corresponde al primer eslabón. El segundo se genera con la misma fórmula, pero trasladando según 2v; y para el tercero, 3v y así sucesivamente.
Escribiendo esto, dentro de una secuencia de 1 a 10 (mejor aun si es de 1 a t), tenemos:
secuencia[circunferencia[refleja[traslada[C,v*i],r], refleja[traslada[H,v*i],r], refleja[traslada[B,v*i],r]],i,1,10]
Las famosas secuencias de iteración de Geogebra son una poderosa herramienta, y con el tiempo las fórmulas se van asimilando, aunque un par de iteraciones ya pueden llegar a ser una buena cantidad de código. Aun así, es muy formativo aprender a escribir y leer códigos, y construir este tipo de fórmulas.
De todas maneras, he preparado un par de videos mostrando el paso a paso y explicando un poco la construcción de esta fórmula. Otro video que incluyo en la misma lista de reproducción, muestra la relación entre la propiedad de tangencia del árbelos, y la construcción de las tangentes exteriores a dos circunferencias.
Videos
Además, en otros post anteriores, he venido utilizando este tema como ejemplo, de manera que se pueden encontrar con más referencias en el Blog aprovechando el buscador.
Carnaval de matemáticas
Finalmente, y no menos importante, aprovecho de recordar que la próxima semana se realizará el tercer carnaval de matemáticas y este será el blog anfitrión. Para tal ocasión espero realizar una reconstrucción de un cropcircle que intenté en el 2006, ahora aprovechando justamente la cadena de Pappus.
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Buenas!
Muchas gracias, ahora entiendo esta figura, impresionante. Gran trabajo!! Saludos