Teselación triple en Masjid Negara
El arte islámico es una fuente inagotable de los más diversos diseños geométricos, que no solo impresionan por su orden y simetría, sino también por su complejidad. Un aspecto sumamente interesante que tienen estos diseños, y que en este caso pretendo ilustrar, es que suelen relacionar distintos tipos de teselaciones.
En esta ocasión, me voy a centrar en el diseño de unas murallas de Masjid Negara, la mesquita nacional de Malasia, que consiste en una interesante superposición de teselaciones con rectángulos relacionados con un hexágono regular.
Como veremos al final, se trata no de una sola teselación, sino de la superposición de tres diseños muy simples (cada uno).
Hace un buen tiempo que vengo hablando de las actividades de reconstrucción, como una forma de estudiar la geometría que subyace a diseños geométricos como los del arte islámico, las renombradas teselaciones de Escher, y tantos otros que son un motivo frecuente del arte, la arquitectura y el diseño.
En esta nueva reconstrucción, voy a mostrar cómo a veces una construcción nos permite descubrir ideas para partir de cero, pero mejor. Quizás, y esto lo dejo abierto para los colegas que les interese, se podría articular esta actividad a partir de preguntas que encausen a los alumnos en la reconstrucción.
Masjid Negara
Ubicada en Kuala Lumpur, la mesquita nacional de Malasia, Masjid Negara, tiene una capacidad para 15.000 personas y está ubicada en un terreno de aproximadamente 53.000 m2.
Construida originalmente en 1965, es una gruesa y moderna estructura de concreto, que simboliza las aspiraciones de la recién independiente república de malasia.
Con la reputación de ser una de las más hermosas mesquitas en la región, su diseño abarca una expresión contemporanea del arte islámico tradicional, la caligrafía y ornamentación.
Fuentes: Wikipedia y Kuala Lumpur: The ultimate guide
Bien, partiremos entonces con una imagen más frontal del diseño propiamente tal, para sacar conclusiones sobre las figuras que la componen.
Diseño a reconstruir
Créditos imagen: Swamibu @ Flickr
La principal figura que se induce en este diseño es el hexágono regular, que no está presente de manera tan explícita, sino más bien dividido en seis cuadriláteros que a simple vista parecen deltoides.
Arriba y abajo de cada hexágono, nos encontramos con triángulos equiláteros.
1. División del hexágono regular
Efectivamente, los cuadriláteros que componen este diseño son deltoides, resultantes de dividir el hexágono regular por las simetrales de sus lados (casillero Deltoide).
Así, se trata de un cuadrilátero formado por ángulos de 120º, 60º y 90º; pero se que encuentran desplazados del centro del hexágono, como veremos en el paso siguiente.
2. Márgenes internos
Si separamos cada deltoide, en la misma medida, del centro, es decir, si los trasladamos desde el centro hacia los vértices, entonces se genera un cierto margen entre cada pieza (casillero márgenes). Este margen es el mismo que separa todas las líneas principales (casillero Mostrar guías) de todo el diseño.
Entonces, basta con determinar una cierta separación entre los deltoides para que contemos con las líneas principales, que además determinan triángulos equiláteros arriba y abajo del hexágonos.
En suma, las ocho figuras forman un rombo, y por lo tanto el camino a seguir es análogo a teselar con este tipo de figura.
3. Teselación con rombos
Existen varias formas de continuar la teselación; ya sea por traslación (pues el rombo es un paralelogramo), o bien por reflexiones respecto a rectas (por la simetría axial) o puntos (simetría central).
A pesar de que la mayoría de las figuras del diseño original se aprecian en esta construcción, existen algunas diferencias, específicamente en líneas que quedan cortadas y destaco algunas de ellas en azul. Justamente esta figura es un rectángulo, y se repite trasladado en varias partes, lo que deja en evidencia otra forma de aproximarse a la construcción.
4. Rectángulos en el hexágono
Debido a que la división inicial del hexágono, fue a partir de sus simetrales, existen tres tipos de rectángulos que se repiten en este diseño (casillero Rectángulos).
Más interesante aun, sucede que estos rectángulos se repiten paralelamente, es decir, existen tres teselaciones en juego: una respecto a cada rectángulo, cual pared de ladrillos, generada por traslación.
La relación entre estos rectángulos (el azul, rojo y verde), es de rotación; en múltiplos de 60º respecto al centro del hexágono (control Girar); luego, hemos encontrado otra forma de construir todo esto.
5. Teselación triple
Todo lo antes realizado nos ha servido para encontrar la verdadera forma de replicar este diseño, dividiendo primero el hexágono regular, según sus simetrales; luego construyendo uno de estos rectángulos (casillero Rectángulos) y girándolo en 60º y 120º respecto al centro del hexágono (control Girar).
Finalmente, teselando por traslación (casillero Traslaciones) con cada uno de estos rectángulos, obtenemos el efecto buscado. En papel sería algo más simple, creando tres copias de cada teselación (muralla) y superponiéndolas apropiadamente.
6. Diseño final
Este es ya el diseño final, que depende de tres puntos, dos de ellos determinan el hexágono (oculto) del que parte toda la construcción; y el tercero determina el margen o separación entre los deltoides.
Como comentaba en un principio, es interesante ver cómo se conectan tres tipos de teselaciones, las de hexágonos regulares, rombos y rectángulos; en suma se trataba de un diseño de tres teselaciones de rectángulos cuyos ejes forman ángulos de 60º, y como cualquier teselación que involucra ángulos de 60º, implica finalmente un hexágono regular.
También interesa observar cómo al reconstruir un diseño geométrico en cierta medida lo vamos descomponiendo en figuras, y luego buscamos relacionarlas. Esta podría ser una estrategia general de reconstrucción; descomponer, analizar, y relacionar las partes, para describir alguna estrategia general de construcción.
Finalmente, y aquí es donde queda en evidencia la idea más potente de las reconstrucciones, si bien hemos dado con un diseño específico, podemos extrapolar lo aprendido a situaciones similares (quizás incluso generalizar), por ejemplo para construir un diseño análogo:
- , a partir de un octágono regular
- , a partir de un decágono regular
- , con 5 ó 6 murallas superpuestas
- , etc…
Y así podemos seguir construyendo y reconstruyendo, lo que probablemente es seguirle los pasos de los artistas islámicos.
Nota: Para complementar este post, dejé un video de la construcción en la sección correspondiente.
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