Transformaciones en Cinderella 2
Desde hace algunas semanas he estado probando la nueva versión de Cinderella (2.0), la cual cuenta con una importante cantidad de nuevas funcionalidades respecto a su versión (1.4).
En unas semanas más espero dar una revisión completa, pero para esta ocasión me voy a centrar en mostrar algunas de las ventajas que trae en lo que respecta a las transformaciones geométricas.
Este nuevo Cinderella trae cada vez más características que lo diferencian de los demás procesadores geométricos, como la integración de un entorno de programación (llamado CindyScript) o una serie de herramientas de simulación, para realizar experimentos físicos relacionados con masas, cargas y campos.
Más adelante veremos todos estos detalles, aunque el existe un Folleto informativo, en el sitio oficial y también es muy ilustrativa la Documentación en línea (aunque se encuentra en inglés).
Transformaciones en Cinderella
El tema que nos convoca hoy son las transformaciones, y más interesante aun, la posibilidad de iterarlas y componerlas.
El enfoque general de las transformaciones de Cinderella apunta a , primero, definirlas, y luego aplicarlas.
Una vez definida aparece en la pantalla un botón descriptivo de la transformación, que permite aplicársela a cualquier objeto.
Estos botones, por ejemplo: el primero ilustra una traslación desde H a K (según el vector HK), la segunda es una rotación desde la recta f a g (en el ángulo que ellas forman) y el tercero es de una reflexión respecto a la recta f.
Utilizando cualquiera de estos botones podemos aplicar tal transformación al objeto seleccionado, y regularmente el presionarlo sucesivamente genera una secuencia esperable.
Además de las clásicas traslaciones, rotaciones y reflexiones (respecto a puntos, rectas o circunferencias), un caso más particular es el de las Semejanzas, que consisten en la composición de una homotecia y una rotación, pero son definidas relacionando dos puntos iniciales con dos finales, o dicho de otra manera, relacionando dos segmentos cualesquiera.
Además, existen al menos tres operaciones que podemos realizar con cualquiera de estas transformaciones, como son la inversión (en el sentido de la transformación inversa), composición, y un caso particular de composiciones iteradas, denominada grupo de transformaciones.
Veamos las transformaciones en acción…
1. Grupo de transformaciones (teselación)
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En esta escena tenemos un triángulo equilátero, ABC, que se ha dividido internamente por tres arcos. Reflejando estos arcos respecto a los lados del triángulo, se obtiene una figura con la que podemos teselar (véase Siete formas de teselar).
La forma como esta figura tesela, es rotándola en 120º respecto a los vértices del triángulo. Para probar esto, uno a uno, podemos seleccionar los distintos arcos y aplicarles las rotaciones sucesivamente (seleccionar un arco y hacer clic en los botones).
El cuarto botón “TG0″, corresponde al grupo de transformaciones generado por estas tres rotaciones. En este caso, para teselar, bastaría con aplicar tal grupo a los tres arcos iniciales.
2. Iteración manual (Cadena de Pappus)
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Esta construcción involucra componer dos transformaciones: una traslación y una reflexión respecto a una circunferencia.
Aquí se puede observar que, al reflejar la circunferencia con centro L (mover punto L), respecto a la circunferencia c, se obtiene otra, tangente a otras dos dadas. La región por la que se mueve la circunferencia reflejada se denomina arbelo, y la cadena de Pappus consiste en una sucesión de circunferencias tangentes contenidas en el arbelo.
En este caso, para construirla, trasladamos la circunferencia GH, y la resultante se refleja respecto a c (utilizar los dos botones de transformaciones arriba a la derecha).
Mecánicamente: Clic en la circunferencia GH – trasladar – reflejar – reflejar – trasladar – reflejar – reflejar…
3. Semejanzas en el cuadrado
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Este es un clásico ejemplo de homotecia compuesta con rotación. Tenemos en cuadrado BCDE, y sobre EB construimos el punto F; luego lo rotamos respecto al centro en 90º, para obtener G.
Si repitiéramos tales rotaciones terminaríamos construyendo un cuadrado más pequeño, pero en este caso la construcción es por semejanza (homotecia y rotación).
Nótese el botón de la semejanza, esta transforma E en F y B en G; luego, aplicada al cuadrado se obtiene el cuadrado interno y aplicándola sucesivamente obtenemos una secuencia de cuadrados que inducen un espiral (seleccionar un cuadrado y aplicar sucesivamente la semejanza).
De hecho, si aplicamos sucesivamente esta transformación a cualquiera de los vértices del cuadrado, se describirá una espiral, y como podemos probar en este applet, se puede aplicar a cualquiera de los objetos (puntos, segmentos, circunferencia, etc.)
4. Arbol (Grupo de semejanzas)
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Las semejanzas son transformaciones muy interesantes de componer y este es un caso muy ilustrativo de el tipo de grupos que se obtienen con ellas. Tenemos dos transformaciones:
- B&rarr y E; A→F, es decir, la que convertiría el segmento AB en FE.
y - B→C y A→D, es decir, AB en CD.
Ubicando convenientemente los puntos, el grupo de transformaciones que se genera una cierta ramificación que además podemos modificar moviendo cualquiera de los puntos iniciales.
Este ejemplo lo podemos aplicar a muchos casos y justamente el que sigue es una variación que involucra el triángulo rectángulo.
5. Árbol pitagórico
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Con la misma lógica que en el caso anterior, tenemos semejanzas en torno a los cuadrados construidos sobre los lados del triángulo rectángulo.
Sobre la hipotenusa tenemos un cuadrado, y definimos dos semejanzas, cada una transforma la hipotenusa en un cateto (AB en AE, y en EB), de manera que el cuadrado sobre la hipotenusa se transformaría en los cuadrados sobre los catetos.
Aplicando el grupo de ambas transformaciones al cuadrado, obtenemos una figura que suele llamarse árbol pitagórico. Al aplicarlo a cualquiera de los vértices, en cambio, se obtienen unas ciertas ramificaciones que están vinculadas al árbol.
6. Mosaico radial
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Esta situación involucra un hexadecágono (oculto), y nos permitirá construir una figura que cuenta con simetría rotacional en 22,5º.
El polígono MNQO, es un deltoide con eje de simetría ON. Al aplicarle sucesivamente la rotación respecto a A, se genera un diseño que induce un polígono estrellado.
Al mismo tiempo, RO es paralela a MN, de manera que la semejanza definida (de MN a RO), es una homotecia que respecto al centro, A.
Lo interesante aquí, es aplicar el grupo de ambas transformaciones, que genera un mosaico radial centrado en A. Moviendo, M, N u O, se obtienen distintas variedades del mismo mosaico.
Hay varios aspectos de las transformaciones que no he cubierto, como las afines, proyectivas y de Möbius, las cuales se definen de manera análoga a las semejanzas y son muy interesantes de explorar. Probablemente las transformaciones afines, por ejemplo, permitirían realizar construcciones 3D con una lógica similar a aquellas que se basan en los ángulos de Euler.
También hay una característica vinculada a los fractales, llamada IFS (sistema de funciones iteradas), y que espero mostrar en Abril.
Bien, en una próxima entrega veremos más ideas sobre Cinderella 2, aunque aprovecho de recomendar la Galería de ejemplos en el sitio oficial.
Finalmente, dejo una lista de videos (que irá aumentando en estos días), con las construcciones de los ejemplos antes mostrados.
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