Teselaciones radiales
Regularmente las teselaciones involucran figuras congruentes y transformaciones isométricas, pero el tipo que voy a mostrar a continuación está vinculada a la composición de rotaciones y homotecias y son una forma gráfica de ilustrar la idea de infinito.
Otro aspecto interesante, está en el requerir de estrategias concretas de iteración de transformaciones geométricas, y en este caso, utilizaré un recurso relativamente nuevo de Geogebra, llamado “secuencias” (de iteración).
En el post de la semana pasada (transformaciones en Cinderella 2), mostraba cómo se articulan su nueva versión las transformaciones geométricas, y uno de los ejemplos es justamente el tipo de teselación que voy a mostrar ahora.
Si bien, en Cinderella tal construcción es sumamente simple, usando los grupos de transformaciones, el enfoque de Geogebra es probablemente más apropiado pedagógicamente (al menos, menos automático), si se espera entender cómo teselar iterando estas transformaciones geométricas.
Secuencias en Geoegebra
Si no estás familiarizado con las secuencias en Geogebra, revisa esta breve introducción.
El tipo de teselaciones que vamos a ver, consisten en la iteración de una rotación, en un ángulo divisor de 360º, y una homotecia, respecto al mismo centro. Teóricamente cualquier figura debiera bastar, pero escogiendo con cuidado una figura conveniente, el efecto visual es muy interesante.
Bien, veamos las teselaciones radiales en Geogebra. En los siguientes applets, es posible ingresar comandos y experimentar directamente con las secuencias.
1. Secuencia de rotación
El primer desafío es lograr crear una secuencia de rotaciones en torno a un punto. En este caso, por ejemplo, si quisiéramos rotar 12 veces el polígono1, en 30º, en torno a D, ingresaríamos: secuencia[rota[polígono1,i * π/3,D],i,1,12]
La secuencia que se muestra en este applet, gira en un ángulo que depende del deslizador g (2π/g), de manera que se genera un diseño con simetría rotacional de orden g. Para su construcción, utilizamos la siguiente secuencia:secuencia[rota[polígono1,i * 2π/g,D],i,1,g]
Lo útil de crear la secuencia dependiendo de g, es que, al modificar el valor del deslizador, el ángulo de giro y la cantidad de elementos cambian, manteniendo la simetría rotacional.
2. Anillo estrellado
Para lograr un efecto distintivo en las teselaciones radiales, que es el que se conecten las piezas giradas, nos conviene construir una figura que esté “contenida” dentro del ángulo de giro.
En este caso, las rectas OB y OB’, forman un ángulo de 360/g º, por ejemplo, 40º con g=9. Además, AD es la bisectriz del ángulo formado por ellas, luego, BDB’C es un deltoide; y si lo giramos sucesivamente en el ángulo BOB’, los demás deltoides se van conectando entre si.
Para generar esta cadena, entonces, utilizamos una secuencia de rotaciones, en 360º/g, desde 1 hasta g, con centro en O:
secuencia[rota[polígono1,i * 2π/g,O],i,1,g]
3. Secuencia de homotecias
La segunda compontente de una teselación radial es la homotecia, y en una lógica similar a la anterior, vamos iterar tal transformación con el mismo centro, pero antes de eso, necesitamos una razón de homotecia.
En esta construcción tenemos los segmentos BC y ED, paralelos y de medidas e y d, respectivamente. La razón de homotecia que utlizaremos será d/e (ingresamos la fórmula r=d/e).
Luego, creamos una secuencia de homotecias en las razones, r, r2, r3, r4,…r10, con el siguiente comando: secuencia[homotecia[e,r^i,O],i,1,10]
De esta manera (que no es la única), proyectamos homotéticamente el segmento BC hacia O, y si elegimos una figura conveniente, el efecto es más interesante aun.
4. Homotecias de un deltoide
Como en el paso 2, tenemos un deltoide “contenido” en el ánglulo BOB’, que depende del deslizador g (BOB’ mide 360 / g º).
Además, tenemos el segmento f paralelo a c, de manera que la homotecia se aplica con la razón f/c; en la siguiente secuencia:
secuencia[homotecia[polígono1,(f/c)^i,O],i,1,10]
Cabe aclarar que el valor 10 es arbitrario, pues representa cuántas homotecias se aplican; podría ser cualquier valor.
5. Combinación de secuencias (rotación / homotecia)
Hasta ahora hemos visto dos tipos de secuencias:
- Rotaciones: secuencia[rota[polígono1,i*2π/g,O],i,1,g]
- Homotecias: secuencia[homotecia[polígono1,(f/c)^j,O],j,0,10]
La combinación de ambas transformaciones genera la teselación radial, lo que se construye anidando ambas secuencias (es útil observar los colores de cada parte):
secuencia[secuencia[homotecia[ rota[polígono1,i*2π/g,O],(f/c)^j,O],i,1,g],j,0,10]
O bien:
secuencia[secuencia[rota[homotecia[polígono1,(f/c)^j,O],i*2π/g,O],j,0,10],i,1,g]
6. Control de homotecias
Una variación de esta idea, para controlar la cantidad de homotecias que se aplican, consiste en constuir un deslizador, en este caso p, y establecerlo como límite en la secuencia de homotecia, es decir:
secuencia[secuencia[homotecia[ rota[polígono1,i*2π/g,O],r^j,O],i,1,g],j,0,p]
O bien:
secuencia[secuencia[rota[homotecia[polígono1,r^j,O],i*2π/g,O],j,0,p],i,1,g]
De esta manera, al modificar p se modifica la profundidad del diseño.
7. Arcos con simetría rotacional de orden 24
Esta teselación está formada por cuatro arcos, que se basan en un deltoide (clic en Mostrar guías), aunque con los arcos debemos crear una secuencia cada vez (con los arcos d, e, f y g):
secuencia[secuencia[homotecia[rota[d,i*π/12,A],r^j,O],i,1,24],j,0,10]
El asunto de las secuencias puede ser un tanto engorroso a simple vista, pero de seguro con un poco de práctica se simplifica. Es muy útil, por ejemplo, considerar el trabajo con secuencias para crear teselaciones, especialmente porque permite apreciar desde una perspectiva un tanto numérica las iteraciones.
Ahora bien, si se busca sólo el resultado, siempre puede realizarse esto, digamos, manualmente, es decir, rotando y aplicando homotecias uno a uno.
Un tema relacionado en el que he estado trabajando, es una continuación de la teselación radial, y consiste en añadirle un componente de “evolución”, que mostraba en Octubre: (Evolución de cuadrados). En tal caso, se trataría de figuras que, a medida que se proyectan hacia el centro, van cambiando. Dejo algunas imágenes de estos experimentos por acá (1 | 2 | 3 | 4 | 5).
Videos
Finalmente, dejo una lista de reproducción con tres videos en los que muestro estas construcciones y en el último (“Deltoide con simetría rotacional de orden variable”), explico de manera más gráfica cómo se anidan estas secuencias.
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