Regularmente las demostraciones del Teorema de Pitágoras son “contenidos” que aparecen posteriormente a la “presentación” del mismo, y probablemente después de haberlo aplicado varias veces. Así la demostración tiende a explicar el “por qué” de una propiedad, pero estas ideas con las que demostramos las propiedades, también son útiles para deducirlas / descubrirlas.
A continuación comento algunas ideas sobre cómo deducir Pitágoras a partir de su demostración.
Hace un rato leí un post en Gaussianos.com, donde muestran un par de demostraciones geométricas de este teorema: http://gaussianos.com/dos-demostraciones-geometricas-del-teorema-de-pitagoras/, y me puse a pensar que quizás la demostración no es solamente útil para los alumnos que pretenden demostrar (o profesores que pretenden enseñar la demostración).
En general, las demostraciones de este teorema utilizan la idea de área, de manera que es razonable pensar en aprovecharlas para que los alumnos lo descubran / deduzcan.
El caso que me parece más propicio para esto, es el de la demostración china del teorema, que aparece en el Chou Pei, obra al parecer posterior a Pitágoras (ver artículo en la Wikipedia en español).
1.Demostración china del teorema de Pitágoras
Este es el diagrama que aparece en el Chou Pei, que ilustra la situación para la terna pitagórica {3,4,5}.
La escritura a la izquierda dice: “La suma de los cuadrados de las longitudes de la altura y base, es la longitud de la hipotenusa elevada al cuadrado”.
En esta situación tenemos varios triángulos rectángulos con catetos que miden 3 y 4, pero los cuatro centrales forman un cuadrado cuyos lados corresponden a la hipotenusa, menos, un cuadrado de lado 1.
Así, la situación de áreas es la siguiente:
área cuadrado = 4 * área triángulo + 1
área cuadrado = 4 * 6 + 1 = 25
Luego el área del cuadrado mide 25, y su lado mide raíz de 25.
En consecuencia, la longitud de las hipotenusas de estos triángulos miden 5, y lo hemos calculado sin usar el teorema de Pitágoras.
2. Replicando el diagrama chino
Bien, este mismo diagrama se puede generalizar, pero antes de entrar en el terreno algebráico pensemos en algo más básico.
En este applet, moviendo los puntos B y C, es posible modificar las medidas de los triángulos rectángulos.
Así, obtenemos un diagrama semejante al original, y que involucra otras combinaciones de medidas de catetos, pero la lógica para calcular la medida de la hipotenusa es la misma.
Es importante observar que la medida del lado del cuadrado central (el más pequeño) ya no es 1, sino, | b – c | (la diferencia positiva entre los catetos).
3. Induciendo Pitágoras
Bien, pensemos inductivamente, y una buena idea es proponerle a los alumnos armar los cuadrados correspondientes, con los siguientes triángulos (de papel, por ejemplo, o simplemente dibujando en el cuaderno):
- b=3; c=4 (ver imagen)
- b=6; c=8 (ver imagen)
- b=12; c=5 (ver imagen)
- b=7; c=1 (ver imagen)
- b=9; c=6 (ver imagen)
Luego, para cada caso les pedimos calcular la medida de la hipotenusa, a partir de las relaciones de áreas que hemos visto antes. Además, registrando esto en una tabla, podremos observar con mayor facilidad la relación entre catetos e hipotenusa.
| b |
c |
a (hipotenusa) |
b2 |
c2 |
a2 |
| 3 |
4 |
5 |
9 |
16 |
25 |
| 6 |
8 |
10 |
36 |
64 |
100 |
| 12 |
5 |
13 |
144 |
25 |
169 |
| 7 |
1 |
raíz(50) |
49 |
1 |
50 |
| 9 |
6 |
raíz(117) |
81 |
36 |
117 |
Así, se observa claramente en la tabla cómo las sumas de los cuadrados de los catetos coinciden con los cuadrados de las hipotenusas.
La idea está en que, sin mayores conocimientos que las fórmulas de cálculo de área de triángulos rectángulos y cuadrados, un alumno puede deducir el Teorema de Pitágoras.
4. Deduciendo Pitágoras
Para alumnos con conocimientos de algo de álgebra, (al menos algo de productos notables), es posible pensar en la misma idea, sólo que en el caso general, es decir:
Tenemos cuatro triángulos rectángulos, con catetos que miden b y c (o sea, con área bc/2); e hipotenusa que mide a. Ubicándolos convenientemente, se delimita el cuadrado [ACLM], de lado a. (*)
Además, al centro se forma otro cuadrado [JGHI], de lado |b – c|. (**)
Luego, en términos de áreas, tenemos:
á[ACLM] = 4 * bc / 2 + (b – c)2
a2 = 2bc + b2 – 2bc + c2
a2 = b2 + c2
Ahora bien, las ideas (*) y (**) no son triviales, pues consisten en establecer que al acoplar estos cuatro triángulos, se delimitan dos cuadrados, los que involucra considerar las medidas de lados y ángulos de estos cuadriláteros. En esta dirección, una secuencia didáctica conveniente sería, primero analizar qué figuras se forman (y por qué), y luego las situaciones de áreas en términos algebraicos.
5. ideas finales
En ambos casos, el numérico y el algebraico, el trabajo parte de ideas previas al teorema de Pitágoras, para llegar como conclusión al teorema mismo.
A veces es útil el proponer a los alumnos describir en sus propias palabras qué significa esto, que es algo similar a enunciar el teorema. A mi parecer, la situación ideal, es llegar a que los alumnos puedan redactar (en oposición a recitar) algo así:
En un triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Todo esto a modo de introducción de pitágoras, pues a continuación queda mucho por hacer, especialmente en términos de resolver problemas que involucran triángulos rectángulos (planos y 3d), lo que no deja de ser interesante.
Bien, mirando al panorama más general, esta idea puede considerarse como un caso particular de una forma de trabajar la geometría, aprovechando las demostraciones para deducir propiedades. Esto puede articularse en muchos otros casos.
Por ejemplo, para demostrar la propiedad de los ángulos internos de un triángulo, solemos recurrir a construir una paralela a un lado, que pase por el vértice opuesto. Por acá hay una ilustración: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triangulos-180.html
Pero es interesante el tomar esa idea, y, a diferencia de cómo se presenta en el ejemplo anterior, proponérsela a los alumnos para que terminen deduciendo tal teorema, es decir, trazan la paralela y analizan los ángulos que se forman.
En resumen, aprovechamos la misma situación geométrica que se utiliza para demostrar la propiedad, y en cierta medida los mismos argumentos, para descubrirla (o mejor aun, que los alumnos la descubran). Y es un buen ejercicio (pedagógico), mirar una demostración como una fuente explicativa, después de todo demostrar es convencer y en gran medida responder al por qué de una propiedad.
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Les comparto un excelente artículo sobre el teorema de Pitágoras que puede servir de importante referencia para los interesados:
http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_32/8_pitagoras.pdf
Gracias, Luis, es un excelente recurso.
Saludos
Rafael
gracias profe, esto ayuda a mis repasos