Transformaciones isométricas y simetría son dos conceptos que van de la mano, las primeras las estudiamos muchas veces como movimientos, mientras que la simetría pareciera estar de fondo. Otra forma de decir esto es que las transformaciones son dinámicas, mientras que la simetría estática.

En esta charla de Ted.com, Marcus Du Sautoy describe esta relación entre transformación y simetría, a partir de lo que denomina el lenguaje de la simetría, creado por Galois.

Hace un buen tiempo que vengo mirando este video, pues da una interesante síntesis de la idea general de simetría y cómo se ha modelado en la matemática, a través de la teoría de grupos.

Finalmente, hace un par de semanas me hice el tiempo para traducir esta charla, para mostrar en un encuentro de tutores del curso Geometría.cl, aunque entiendo que la traducción oficial está en proceso.

Algunas reflexiones…

Hay varios aspectos notables de este video. En primer lugar, un asunto de lenguaje, puesto que, tanto en muchos textos de álgebra, como en esta charla, se da una cierta confusión de lenguaje. Este autor utiliza el término simetría con dos sentidos distintos:

La simetría como transformación, para referirse, por ejemplo a las “simetrías” de la estrella de mar. Estas llamadas simetrías, son en realidad rotaciones, y para el triángulo (equilátero, a propósito), también habla de sus “simetrías”, refiriéndose a rotaciones y reflexiones.

Otro sentido en el que utiliza el término, es en singular (la simetría), y se refiere a la propiedad, por ejemplo, cuando habla de la simetría del reflejo en el agua, dice también “La simetría se trata del movimiento”, o incluso “Así que todo tiene simetría”

Este doble uso del término es bastante común, y a veces genera algunas confusiones, pero es importante, al menos, distinguir cuando habla de las simetrías como transformaciones o movimientos, de cuando se refiere a la propiedad.

En la afirmación inicial “la simetría se trata del movimiento” está la clave: al aplicar una, rotación, si la imagen no cambia, decimos que cuenta con simetría rotacional. Análogamente, al aplicar una reflexión, respecto a una recta o un punto, si la imagen no cambia, entonces cuenta con simetría axial o central, dependiendo de la reflexión. Luego, la simetría existe cuando, al aplicar alguna transformación (movimiento) la imagen queda invariante.

Otro asunto que menciona, muy a la rápida, pero es notable, es que “todo tiene simetría”, y en este caso se refiere a la simetría cero, que es una rotación en 0º ó 360º. Según la definición de simetría, a cualquier objeto le podemos aplicar un giro en 0º, y se mantiene invariante.

Tal giro sería (en el grupo) ni más ni menos que el elemento neutro y eso queda en evidencia en la tabla: tanto la fila como la columna de “A”, genera la misma secuencia A-B-C-D-E-F, es decir, no cambia la posición de los vértices de la estrella.

Otra mención importante, es cómo en una tabla de un grupo, no se repite un mismo elemento en una misma fila o columna, lo que también es una propiedad de los grupos.

En fin, es muy clarificador el cómo se describe aquí la simetría: en el caso las figuras, dependerá de la transformación que apliquemos (rotación, reflexión respecto a un punto o una recta) para determinar el tipo de simetría (rotacional, central o axial).

Análogamente, para determinar el grupo de simetría al que pertenece una teselación, dependerá de también de las transformaciones respecto a las cuales se mantiene invariante y contamos sólo con 17 posibilidades (17 grupos de simetría).

Bueno, es un tema al que hay que darle varias vueltas, el video es bien condensado y conviene revisarlo varias veces. Además, recomiendo algunos enlaces para complementar todo esto:

1. Kali: Un applet para visualizar los 17 grupos de simetría
   http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/kali.html
2. http://acorral.es/index3.htm
3. En GeometriaDinamica.es hay una gran cantidad de recursos que mencionan los grupos de simetría, especialmente en esta categoría: http://geometriadinamica.es/Tabla/Investigaciones/Arte-y-Geometria-Mosaicos/

Nota (Marzo 2010): He reemplazado la traducción inicial (de noviembre 2009) por la oficial, que ya está disponible desde Ted.com.

Geometría reflexión, rotación, simetría, transformación, video