Hace un tiempo me encontré con un afiche que contenía un diseño que llamó mucho la atención, pues se componía de unas serie de figuras que van sucesivamente modificándose, lo que induce la idea de evolución o transformación. Esto tiene gran similitud con algunos diseños de Escher, justamente llamados evolución.
Finalmente me di el tiempo de mirar con mayor atención el afiche y ahora muestro cómo logré reconstruirlo en Geogebra.
En el post Galería de diseño islámicos, de un par de semanas atrás, hablaba de las actividades de reconstrucción y trataba de describir un método general:
1º Identificar el patrón.
2º Determinar las transformaciones que se le aplican.
3º Establecer una secuencia de transformaciones para teselar.
4º Reconstruir el patrón, relacionándolo con alguna figura que permite teselar.
Sin embargo esto funciona con teselaciones y diseños en los que un sólo patrón se repite. Aplicando esto no llegué a ninguna parte, así que opté por otra estrategia: identificar la secuencia de figuras que se generaban.
A pesar de lo anterior, esto es también una reconstrucción, sólo que no lo es de una teselación sino de algo más específico.
1. Diseño a reconstruir
Titulado “Evrim” (evolución en turco), el afiche en cuestión muestra un diseño basado en cuadrados. Hay varios elementos interesantes de observar, como por ejemplo, que tanto en negro como blanco, se utilizan las mismas figuras, o bien, que todo este diseño pareciera contar con simetría central.
Es interesante también la la secuencia de figuras que se organizan en distintas diagonales. Partiendo de cualquiera ubicada en la frontera y avanzando hacia la derecha – arriba, la secuencia va introduciendo una modificación a la vez, de manera que justo al medio se tiene un cuadrado, y al final se tiene la misma figura inicial, pero reflejada.
Para reconstruir el diseño, nos vamos a centrar en las figuras en negro, lo que conviene más observar girado en 45º, es decir, con la corrida de cuadrados negros que atraviesa de izquierda (arriba) a derecha (abajo), en posición vertical.
2. Secuencia de figuras
Como indicaba al principio, la clave de este diseño, es una secuencia de figuras que parten con un cuadrado, y luego sigue con 10 figuras más, de manera que cada una modifica sólo dos segmentos, en una lógica muy similar a la que se da en el Geoplano.
Entonces, debemos construir a partir del cuadrado todas las demás figuras:
3. Construcción de las figuras
Los vértices de las diez figuras a construir, están determinados por las intersecciones entre las diagonales del cuadrado y circunferencias con centro en los vértices (Control Figuras).
Al parecer no hay una medida específica que determine el radio de tal circunferencia, lo que queda en evidencia al observar la Figura 2: esta se obtiene al hacer un “sacado” del cuadrado, en el que una línea pertenece a una diagonal, pero la otra es arbitraria.
Al modificar el radio de este círculo (control Radio) se obtienen distintas variedades de estas figuras, pero la estructura general, como veremos en el paso siguiente, es la misma.
4. Construcción de la secuencia
Teniendo clara la secuencia, debemos ahora construirla en la alineación correcta. Para facilitar la construcción, he considerado el diseño general girado en 45º, de manera que el primer cuadrado se ubica con sus lados horizontales y verticales.
Claramente la organización de las figuras está asociada a una cuadrícula (Control Mostrar rectas), de manera que hay traslaciones y reflexiones que se pueden realizar a conveniencia.
Aquí ya se puede apreciar que el radio de la circunferencia determina distintos diseños (Control Mostrar circunferencias), pero aun así la apariencia general es esencialmente la misma (Control radio).
5. Secuencias de traslaciones
Ahora ya tenemos la secuencia inicial de figuras completa (un borde, digamos), y cada una de ellas se debe trasladar cierta cantidad de veces, a partir del vector u. Nótese que “u” es el doble de un vector determinado por un lado del cuadrado.
La cantidad de traslaciones que debemos hacer respecto a “u”, depende de cada figura:
– Figura 1: 12 veces
– Figura 2: 11 veces
– Figura 3: 10 veces
… y así sucesivamente.
Aprovechando las listas de iteración de Geogebra, podemos automatizar esto, con comandos de la siguiente forma:
Secuencia[Traslada[poligono1, x * u], x, 1, 12]
Esto quiere decir, trasladar el poligono1 según u, 2u, 3u, y así sucesivamente hasta 12u.
Análogamente, lo hacemos con las demás figuras, para completar la mitad del diseño.
6. Reflexión de la secuencia
Finalmente, por aprovechando la simetría central, podemos completar el diseño, aunque en Geogebra puede ser un poco más complejo que eso, pues no se pueden reflejar listas de iteración, de manera que opté por repetir el proceso, con la otra mitad.
En resumen, creamos una secuencia de 13 figuras, con 11 figuras diferentes y la última que se repite dos veces.
Luego reflejamos sucesivamente en un orden piramidal (12 veces la figura 1, 11 veces la siguientes, 10 la siguientes y así sucesivamente), para completar la primera mitad.
La segunda secuencia se puede obtener por reflexiones respecto a puntos que se ubican en la fontera verde / amarillo (no es fácil de ver, pero es así). También podemos construirla siguiendo los mismos pasos que en la secuencia 1.
Y finalmente reflejamos la segunda secuencia, nuevamente en orden piramidal, para obtener segunda mitad.
7. Diseño final
Este es ya el diseño final, tal cual como aparecía en el afiche, claramente con esos colores es más compleja de ver su construcción, pero hemos seguido una secuencia relativamente simple, que muy intuitivamente podríamos seguir en papel.
En fin, las reconstrucciones son actividades bien lúdicas, que tienen una carga importante de trabajo, pero como trato de ilustrar en este caso, las ideas iniciales no suelen ser tan complejas. Gráficamente el asunto se hace difícil a medida que vamos replicando figuras, pero con las debidas ayudas visuales podemos simplificar su reconstrucción, como girar el diseño a conveniencia, cubrir ciertas partes, tratar de construir sólo una parte, etc.
Sería útil realizar este tipo de actividades con papel, por ejemplo, de manera que el producto final fuera, tanto el diseño, como instrucciones para realizarlo o quizás descripciones geométricas de su construcción.
En futuros posts, espero generalizar todo esto y referirme más a la utilidad pedagógica de las actividades de reconstrucción.
Geometría cuadrado, escher, reconstrucción, reflexión
Titulado “Evrim” (evolución en turco), el afiche en cuestión muestra un diseño basado en cuadrados. Hay varios elementos interesantes de observar, como por ejemplo, que tanto en negro como blanco, se utilizan las mismas figuras, o bien, que todo este diseño pareciera contar con simetría central.
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