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Problemas con lugares geométricos 2
Martes, 22 de septiembre de 2009
Cómo citar este artículo
Miranda, Rafael (2009, septiembre 22). Problemas con lugares geométricos 2. Geometria dinámica. Recuperado el, 07 de agosto de 2010, en http://www.geometriadinamica.cl/2009/09/problemas-lugares-geometricos-2/
Hace unos meses describía cómo resolver algunos problemas de construcción, utilizando lugares geométricos, en el post problemas con lugares geométricos. A continuación ilustro la resolución uno que había quedado pendiente, con tal método.
Recordemos de qué se trataba este método. En tal ocasión (Enero 2009), mostraba las soluciones de tres problemas de construcción:
- Construir una recta tangente a una circunferencia, desde un punto exterior.
- Inscribir un cuadrado en un triángulo.
- Dadas tres paralelas, construir un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentren uno en cada recta.
En todos estos, se debían cumplir varias condiciones. Por ejemplo, el cuadrado del problema 2, debe tener cuatro vértices sobre el triángulo, pero ¿qué pasaría si sólo fueran tres?
Así, para resolver estos problemas, omitimos una de las condiciones, y vemos qué lugar geométrico se genera. Lo interesante es que la intersección entre tal L.G. y algún objeto de la construcción (como el triángulo del problema 2), determina la solución.
Veamos otro problema, que había dejado propuesto, pero ahora lo desarrollo con más detalle que en el capítulo anterior: Dados una circunferencia y un punto exterior, construir una secante cuyos segmentos determinados por la circunferencia estén en una razón dada.
1. Enunciado y condiciones
Dados una circunferencia (c) y un punto exterior (P), construir una secante cuyos segmentos determinados por la circunferencia estén en una razón dada (a:b).
Para resolver el problema, debemos construir dos puntos, M y N que cumplan con las siguientes condiciones:
- PM : MN = a : b
- M ∈ c
- N ∈ c
Vamos a intentar resolver esto, omitiendo la última condición, es decir, construir M en la circunferencia y N en la razón dada, pero no necesariamente sobre la circunferencia.
2. Construcción
Siguiendo, entonces, la estrategia antes mencionada, construimos un punto M, sobre la circunferencia, y un punto N, tal que, PM : MN = a : b
Tal objetivo se logra con el trazado de paralelas, en una construcción clásica, basada en el teorema de Thales (Deslizador "Pasos de la construcción").
Si bien esto no soluciona el problema, dado que N no pertenece a la circunferencia, al arrastrar M, describe un lugar geométrico que nos permitirá llegar al objetivo.
3. Lugar geométrico
El lugar geométrico que describe el punto N ("Mover M"), es una circunferencia formada por todos los puntos que mantienen la relación de proporcionalidad: PM : MN = a : b.
Además, la intersección entre el L.G. y la circunferencia, corresponde a las soluciones del problema (Control "Soluciones"), los puntos N1 y M1, y , N2 y M2. Una forma de explicar que la solución es la intersección es considerar que:
- Todos los puntos del L.G. cumplen con la condición 1
- Los puntos M1 y M2, cumplen con la condición 2
- Los puntos de intersección N1 y N2, cumplen además con la condición 3.
Por lo tanto, N1 y M1, solucionan el problema, al igual que N2 y M2. Si logramos construir esta circunferencia, entonces encontramos las soluciones.
4. Construcción del lugar geométrico (circunferencia)
Para construir el lugar geométrico, necesitamos analizar la relacion entre las circunferencias. Al modificar la razón entre a y b, se puede observar cómo la circunferencia se amplía o reduce, es decir, hay homotecia, respecto a P.
En efecto, si la circunferencia d, está formada por puntos M’, tales que: PM : MM’= a : b, podemos establecer que PM : PM’ = (a+b)/a, es decir, M’ es homotético de M, en la razón (a+b)/a.
Aplicamos, entonces, homotecia en dicha razón, al centro O y M, obteniendo respectivamente O’ y M‘, de manera que O’M‘ es radio de la circunferencia buscada. (Mover el deslizador “Homotecia de P”, y luego el “Homotecia de O”.)
En resumen, el método de los lugares geométricos, se aplica cuando se deben satisfacer varias condiciones, de manera que se omite una (normalmente una condición de posición o pertenencia). Esto genera un lugar geométrico, que intersectado con algún objeto permite generar la solución. Si bien es algo muy específico y aun no encuentro muchos problemas a los que se aplique, pero es útil para aprovechar de manera concreta los L.G. en geometría euclidiana.
Artículos, Geometría circunferencia, homotecia, lugar geométrico, problemas
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