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Problemas con lugares geométricos 2

Martes, 22 de septiembre de 2009
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Problemas con lugares geométricos 2

Hace unos meses describía cómo resolver algunos problemas de construcción, utilizando lugares geométricos, en el post problemas con lugares geométricos. A continuación ilustro la resolución uno que había quedado pendiente, con tal método.

Recordemos de qué se trataba este método. En tal ocasión (Enero 2009), mostraba las soluciones de tres problemas de construcción:

  • Construir una recta tangente a una circunferencia, desde un punto exterior.
  • Inscribir un cuadrado en un triángulo.
  • Dadas tres paralelas, construir un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentren uno en cada recta.

En todos estos, se debían cumplir varias condiciones. Por ejemplo, el cuadrado del problema 2, debe tener cuatro vértices sobre el triángulo, pero ¿qué pasaría si sólo fueran tres?

Así, para resolver estos problemas, omitimos una de las condiciones, y vemos qué lugar geométrico se genera. Lo interesante es que la intersección entre tal L.G. y algún objeto de la construcción (como el triángulo del problema 2), determina la solución.

Veamos otro problema, que había dejado propuesto, pero ahora lo desarrollo con más detalle que en el capítulo anterior: Dados una circunferencia y un punto exterior, construir una secante cuyos segmentos determinados por la circunferencia estén en una razón dada.

 

Resolución: 1 | 2 | 3 | 4

1. Enunciado y condiciones 

Para visualizar correctamente ésta figura, debe instalar java. Visite www.java.com/es

Dados una circunferencia (c) y un punto exterior (P), construir una secante cuyos segmentos determinados por la circunferencia estén en una razón dada (a:b).

Para resolver el problema, debemos construir dos puntos, M y N que cumplan con las siguientes condiciones:

  1. PM : MN = a : b
  2. M c
  3. Nc

Vamos a intentar resolver esto, omitiendo la última condición, es decir, construir M en la circunferencia y N en la razón dada, pero no necesariamente sobre la circunferencia.

En resumen, el método de los lugares geométricos, se aplica cuando se deben satisfacer varias condiciones, de manera que se omite una (normalmente una condición de posición o pertenencia). Esto genera un lugar geométrico, que intersectado con algún objeto permite generar la solución. Si bien es algo muy específico y aun no encuentro muchos problemas a los que se aplique, pero es útil para aprovechar de manera concreta los L.G. en geometría euclidiana.

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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2009/09/problemas-lugares-geometricos-2/.