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Problemas con lugares geométricos

Viernes, 2 de enero de 2009
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Problemas con lugares geométricos

Hace un tiempo me encontré con algunos problemas de construcción, que aunque son absolutamente distintos, admiten un mismo método para resolverse.

El hilo conductor es un lugar geométrico, distinto en cada caso, que nos da alguna pista de la solución, lo que es muy natural de implementar en un procesador geométrico.

Fue en el libro "Cómo plantear y resolver problemas" de George Pólya, que encontré uno de estos problemas, lo que me llevó a Geogebra (en vez del papel):

 

Inscribir un cuadrado en un triángulo, dado tal que dos vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo, respectivamente.

En el interés de describir la forma apropiada de orientar al alumno, a continuación Polya entrega varias preguntas y sugerencias genéricas, como:

  • ¿Cuál es la incógnita?
  • ¿Cuál es la condición del problema?
  • ¿Es posible satisfacer la condición del problema?
  • ¿Puede usted satisfacer sólo una parte de la condición?

Estas preguntas son centrales, pues, aunque no sea algebraico, la incógnita es una forma genérica de referirse a qué se pide o qué se debe obtener.

La estrategia en la que me voy a centrar es la que se induce de las últimas dos preguntas: la condición del problema (cuatro vértices del cuadrado sobre el triángulo), que podemos dividir en partes, o mejor dicho, podemos aproximarnos a la solución al intentar satisfacer sólo una parte de tal condición.

Veamos cómo ésta ésta estrategia se relaciona con un lugar geométrico (L.G.).

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Problema 1.1

Para ilustrar el tema, voy partir por un problema más simple:

Construir una recta tangente a una circunferencia, desde un punto exterior.

Si bien lo que buscamos (la incógnita) es una recta (o dos), basta con encontrar el punto de tangencia, T, y unirlo con P.

Esto es posible plantearlo de varias formas, pero por conveniencia para ésta explicación consideraremos que el punto T cumple con las siguientes condiciones:

  1. T Es vértice del ángulo recto del triángulo OPT (mostrar ΔOPT) .
  2. T Pertenece a la circunferencia

En fin, el tema que he mostrado es basicamente una forma de resolver problemas utilizando algún procesador geométrico. Más importante, es una aplicación de algunas estrategias sumamente útiles para los problemas de geometría.

Debo destacar el libro de George Polya en éste sentido, pues cuenta con una gran cantidad de sugerencias que están asociadas a estrategias de resolución, como las dos que principalmente hemos ocupado ahora:

  • Tratar de resolver un problema similar
  • Tratar de cumplir con parte de la condición del problema

Es importante aclarar que los problemas antes mostrados no están resueltos. Sólo hemos encontrado las soluciones a través de L.G., pero no las hemos construido, o al menos indicado los pasos para construirlas.

Por ejemplo, en el problema 1, sabemos que una circunferencia resuelve el problema, pero ¿qué circunferencia? ¿cómo construimos los puntos de tangencia? Responder a tales preguntas es la segunda etapa de la resolución, aunque facilitada por lo que ya hemos encontrado.

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Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2009/01/problemas-lugares-geometricos/.