Problema 1.1

Para ilustrar el tema, voy partir por un problema más simple:

Construir una recta tangente a una circunferencia, desde un punto exterior.

Si bien lo que buscamos (la incógnita) es una recta (o dos), basta con encontrar el punto de tangencia, T, y unirlo con P.

Esto es posible plantearlo de varias formas, pero por conveniencia para ésta explicación consideraremos que el punto T cumple con las siguientes condiciones:

1. T Es vértice del ángulo recto del triángulo OPT (mostrar ΔOPT) .
2. T Pertenece a la circunferencia

Problema 1.2

Bien, tenemos dos condiciones para T, el punto de tangencia:

1. Es el vértice del ángulo recto del ΔOPT.
2. Pertenece a la circunferencia

Vamos a intentar construir T, satisfaciendo sólo la primera condición. Para ello, hacemos lo siguiente (control Pasos):

1. Construir un punto libre, Q
2. Construir la recta QP
3. Trazar una perpendicular a QP, desde el centro O
4. Marcar T, intersección de ambas rectas

Si bien T no es un punto de tangencia, al mover Q, T describe una circunferencia (control Mostrar L.G.).

Problema 1.3

Recordemos que queríamos constuir T, de manera que cumpliera con:

1. Ser vértice del ángulo recto del ΔOPT.
2. Pertenecer a la circunferencia (c)

Como resultado construimos T, punto que describe una circunferencia: d

Lo importante de notar es que la circunferencia d, es el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen con la condición 1, es decir:

El L.G. de los vértices de los triángulos rectángulos con hipotenusa OP

Además, la intersección entre c y d, son dos puntos, T₁ y T₂, que cumplen con la condición 1 (pues pertenecen a d) y la condición 2 (pues pertenecen a c). Luego, ambos puntos son la solución del problema: los puntos de tangencia buscados.

Podrá parecer un tanto trivial la explicación en un problema simple como éste, especialmente para quien conoce la solución, pero tal descripción es la que extenderemos a los problemas más complejos.

Problema 2.1

Inscribir un cuadrado en un triángulo

Como mencionaba al principio, éste problema consiste en que dos vértices del cuadrado estén sobre un lado del triángulo, y los dos vértices restantes sobre los otros dos, respectivamente.

Construir el cuadrado no es gran problema, pero lograr que el cuarto vértice, O, se encuentre sobre el triángulo es una dificultad. Luego separaremos la condición en aquellas dos partes:

Construiremos el punto O, de manera que cumpla con:

1. Ser vértice de un cuadrado con los otros tres sobre el triángulo (en el orden antes descrito)
2. Pertenecer al lado BC.

¿Podemos cumplir con menos condiciones? por ejemplo, ¿sólo la condición 1?

Problema 2.2

¿Podemos cumplir sólo con la condición 1?

Lo que haremos a continuación, es construir el cuadrado, de manera que sólo tres de sus vértices (M, N y P) se encuentren sobre el triángulo. Para ello realizamos la siguiente construcción:

1. Marcar un punto M, sobre AB
2. Trazamos la recta a, perpendicular a AB, por M
3. Marcamos la intersección entre AC y a, el punto P
4. Trazamos una circunferencia, c, con radio MP y centro M
5. Marcamos el punto N, intersección entre c y el lado AB.
6. Trazamos la recta b, perpendicular a AB por N
7. Trazamos la recta d, perpendicular a b por P
8. Finalmente marcamos el punto O, intersección entre las rectas b y d.

Si bien no hemos resuelto el problema, es interesante ver qué sucede al arrastrar el punto M (control Mostrar L.G.).

Problema 2.3

El punto O, que hemos construido, cumple con la condición 1:

O es vértice del cuadrado MNOP, con MN sobre AB y P sobre AC

Es más, dado que se trata de una situación dinámica, pues M es movil, tenemos que O describe el siguiente lugar geométrico:

O describe un segmento, L.G. de todos los cuartos vértices de un cuadrado con los demás sobre el triángulo (en el orden indicado).

Esto quiere decir que todos los puntos de tal L.G. (Mostrar L.G.) cumplen con la condición 1, pero nos interesa uno en particular: el punto S, que cumple además con la condición 2 (está sobre el triángulo), luego es la solución.

Observemos nuevamente que tenemos un L.G. que, intersectado con un objeto inicial, nos da la solución.

Problema 3.1

Dadas tres paralelas, construir un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentren uno en cada recta.

Esto fue un ejemplo de la paradoja del inventor, pues el problema me lo habían presentado considerando que las paralelas se encuentran a 5 y 12 unidades entre sí, pero la solución general resultó más simple.

Como en los casos anteriores, reducimos el problema a la construcción de un triángulo equilátero con dos vértices sobre las paralelas, es decir, constuir S, de manera que:

1. S es vértice del ΔRST, equilátero y con R y T sobre b y c, respectivamente.
2. S pertenece a la recta a.

La elección. de las condiciones sigue un patrón, como podrá apreciarse a estas alturas. Basta con considerar la condición a cumplir (un triángulo equilátero con un vértice en cada paralela) y le quitamos una parte que involucra pertenencia: S pertenece a una paralela. Tal parte es la segunda condición, e intentamos resolver el problema con la primera.

Problema 3.2

Bien, vamos a constuir el triángulo ΔRST, equilátero y con R y T sobre b y c, respectivamente. Para ello seguimos los siguientes pasos (control Pasos)

1. Marcamos R sobre la recta b y T sobre la recta c.
2. Construimos la circunferencia con centro en R que pasa por T
3. Construimos la circunferencia con centro en T que pasa por R
4. Marcamos el punto S, intersección de ambas circunferencias
5. Construimos el triángulo RST.

Al mover los puntos R y T tenemos dos L.G. que nos interesan, especialmente en sus intersecciones con la recta a.

Problema 3.3

Finalmente tenemos aparentemente dos L.G., ambas rectas que se generan al mover, ya sea R ó T. En realidad de se trata de un mismo L.G. (dos rectas) que corresponde a:

L.G. del tercer vértice de un triángulo equilátero con los otros dos sobre rectas paralelas.

En lo que respecta a nuestro problema, se trata de el L.G. de todos los puntos que cumplen la condición 1, y al intersectarse con la recta a, se determinan las dos soluciones posibles.

Nuevamente resolvimos un problema utilizando la misma premisa.

Descarga de archivos

• Problema 1: 1 | 2 | 3
• Problema 2: 1 | 2 | 3
• Problema 3: 1 | 2 | 3

Problemas propuestos

Dejo a continuación dos problemas, uno simple y el otro no tanto, con sugerencias que apuntan a los L.G. También es buena práctica el terminar de resolver los problemas antes propuestos.

1.- Construir una circunferencia de radio "a", tangente a dos rectas secantes. Sugerencia: construir la circunferencia tangente sólo a una y observar el L.G. del centro y el segundo punto de tangencia.

Sugerencia
Construir una circunferencia de radio "a", tangente sólo a una recta.

2.- Dados una circunferencia y un punto exterior, construir una secante cuyos segmentos determinados por la circunferencia estén en una razón dada.

Sugerencia
Construir una secante con segmentos en la razón dada, pero con sólo un punto sobre la circunferencia.