Hace poco me preguntaron sobre la existencia de cuaternas pitagóricas, y mientras escribía la respuesta en la que desestimaba tal idea, me encontré con un par de ellas. Si, así como en el plano hay ternas pitagóricas (3, 4, 5), en el espacio hay cuaternas pitagóricas (9,1,4,8), pero… ¿qué representa cuaterna pitagórica?
En éste tema, que surgió a partir de una imagen del blog (relativa a los números pitagóricos), se dio la discusión sobre las cuaternas pitagóricas. Mi primera respuesta fue decir que, extender al espacio el teorema de Pitágoras no es tan simple, porque ¿cuál sería el equivalente espacial de un triángulo rectángulo? ¿un prisma de base triangular o un tetraedro?
Con la misma lógica, podemos preguntarnos, cuál es el representante espacial de la circunferencia. Bueno, si lo consideramos de un punto de vista algebraico, la ecuación de una circunferencia (x2+y2=r2) representa un cilindro circular recto. Pero, geométricamente, la condición que define una circunferencia en el plano (todos los puntos que equidistan del un punto del plano), se determina una esfera (todos los puntos que equidistan de un punto del espacio).
Entonces, volviendo a la idea de extender el teorema de Pitágoras al espacio, tenemos dos posibilidades: La algebraica, que involucra prismas; y la geométrica que involucra algo más interesante, que no es un Tetraedro. En ésta segunda versión del teorema se encuentran las cuaternas Pitagóricas.
1. Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras suele utilizarse para describir una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Si consideramos ‘a‘ como la longitud de la hipotenusa, y ‘b‘ y ‘c‘ como las de los catetos, tenemos:
a2 = b2 + c2
Así, si conocemos dos longitudes, podemos calcular la tercera, uso que frecuentemente le damos a éste teorema. Pero, este es esencialmente un teorema de áreas (para los griegos, al menos).
Las expresiones,a2, b2 y c2 , corresponden a las áreas de los cuadrados (ver Mostrar cuadrados) construidos sobre los lados del triángulo. Así, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. (Mucha gente memoriza ésta descripción!!).
Ahora bien, una terna pitagórica es un trío de números enteros, que satisfacen la ecuación del teorema, y por lo tanto, determinan un triángulo rectángulo. Por ejemplo: (3,4,5) -
(5,12,13) -
(7,24,25) -
(8,15,17) -
(9,40,41). Cualquier triángulo con medidas como éstas (o cualquiera otra combinación), es necesariamente un triángulo rectángulo.
2. Distancia entre dos puntos en el plano
En geometría analítica, una aplicación del Teorema de Pitágoras, es para calcular la distancia entre dos puntos en el plano. Si trazamos paralelas a los ejes coordenados (rectas rojas y azules), que pasen por A y B, junto con el segmento AB se determina un triángulo rectángulo (el triángulo ABC).
La terna Pitagórica (cuando se trate de números enteros, al menos), consiste en las medidas de los catetos y la hipotenusa, pero ésta última es también la distancia entre A y B.
Aquí solemos deducir una fórmula, pero para éste caso importa establecer que el cálculo de la distancia entre ambos requiere utilizar el teorema de pitágoras.
3. Pitágoras 3D (aplicación algebraica)
Bien, una aplicación directa de éste teorema al espacio, es para relacionar volúmenes de prismas.
Consideremos el triángulo ABC y los cuadrados construidos sobre sus lados. Digamos que los construidos sobre los catetos tienen áreas a1 y a2 y el construido sobre la hipotenusa tiene área a3. Entonces, según el teorema de Pitágoras tenemos:
a1 + a2 = a3
Si consideramos los prismas que tienen como base los cuadrados y el triángulo, sus volúmenes se calculan multiplicando el área de la base por la altura (h). Entonces, los volúmenes de los prismas son:
V1 = a1 · h
V2 = a2 · h
V3 = a3 · h
En términos algebraicos, podemos establecer que, cuando ‘h‘ es distinto de cero, se cumple:
a1+ a2= a3
⇒ h · a1+ h · a2= h · a3
⇒ V1 + V2 = V3
Esta es una conclusión algebraica, pero quiere decir que, el volúmen del prisma que contiene la hipotenusa, es igual a la suma de los volúmenes de los prismas que contienen los catetos del triángulo ABC.
4. Distancia entre dos puntos en el espacio
Una aplicación más específica del Teorema de Pitágoras, es para calcular la longitud de la diagonal de un paralelepípedo, dadas sus dimensiones (largo, alto y ancho). Este es un problema clásico, pero también se utiliza tal idea para calcular la distancia entre dos puntos en el espacio.
Para esto utilizamos el teorema de Pitágoras dos veces. Primero en relación al triángulo rectángulo rojo (paralelo al plano XY). Luego, lo aplicamos con el resultado anterior, respecto al triángulo rectángulo azul (ortogonal al plano XY), cuya hipotenusa es PQ.
Pero miremos más cuidadosamente esa situación, porque ambos triángulos pertenecen a planos ortogonales; y comparten un lado. La hipotenusa de uno de esos triángulos, es a su vez, cateto del otro. Luego, se cumple lo siguiente:
c2 = a2 + f2 (1)
e2 = c2 + d2 (2)
Sustituyendo (1) en (2) tenemos
e2 = a2 + f2 + d2 (3)
La ecuación (3) expresa la relación entre cuatro longitudes, las cuales conforman la cuaterna pitagórica. Aparece una relación entre cuatro términos (cuando en el plano es sólo respecto a tres), debido a que en la ecuación (1) se descompone ‘c‘ en términos de ‘a‘ y ‘f‘, luego sistituimos (1) en (2).
5. Cuaterna pitagórica
Pensémoslo en el sentido inverso. Dada una terna pitagórica, se determina un triángulo rectángulo. Entonces, dada una cuaterna pitagórica, se determinan dos triángulos en planos ortogonales, que comparten un lado (el cateto de uno es hipotenusa del otro).
Encontré dos cuaternas pitagóricas, que pueden representarse en ésta figura:
42 + 42 + 22 = 62
12 + 82 + 42 = 92
Digo que esta es una extensión geométrica del Teorema de Pitágoras, pues aparece de la resolución de un problema clásico. Aquí es donde me sorprendió más el problema, pues esperaba encontrarme con un tetraedro, pero esencialmente una cuaterna determina dos triángulos; o bien, determina un Paralelepípedo.
Así, dada la cuaterna (a,b,c,d), donde a2 + b2 + c2 = d2, se determina un paralelepípedo de dimensiones ‘a’, ‘b’ y ‘c’, cuya diagonal mide ‘d’.
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por favor nesesito urgente que son numeros pitagoricos y con ejemplos
Hola, mira por aca: Terna pitagórica en Wikipedia.es
Saludos
Rafael
Buscando sobre la Alhambra llegué a su blog. Estoy impresionado por su contenido, por el la exposición, y por el dominio informático que supone. No puedo dejar de felicitarle efusivamente. Es un texto de referencia.
Hola Gabriel, me preguntaba si tienes las medidas de la pirámide que encajada 4 veces conforman un cubo, ésto a propósito de las cuaternas pitagóricas con que inicias ésta página. Cordial saludo para ti.
Estimada, aplicando éstas ideas a un cubo, de arista “a”, estaríamos considerándolo como un Paralelepípedo de dimensiones (a,a,a). En tal caso, la diagonal debe medir: raiz(a2 + a2 + a2) = raíz(3a2).
Las pirámides que menciona (en rojo) corresponden a aquellas que tienen como base un cuadrado, y las demás aristas son “la mitad” de una diagonal del cubo. Entonces, tenemos que tal pirámide tiene cuatro aristas de longitud “a” y otras cuatro de longitud raiz(3a2)/2.Intersante, no?
Por acá puede encontrar la construcción de esa situación, hecha en Geogebra: cubo_piramide.ggb
Saludos
Rafael
me gusta esta pagina me ha sacado de apuro pero me gustaria que tuvieran mas imagenes
gracias
Muy buena explicación, ya me preguntaba por que al sacar las magnitudes del producto punto, al ocupar pitagoras… sorpresa 3 factores.
Reitero Muchas gracias wey