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Pitágoras 3D

Sábado, 21 de junio de 2008
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Pitágoras 3D

Hace poco me preguntaron sobre la existencia de cuaternas pitagóricas, y mientras escribía la respuesta en la que desestimaba tal idea, me encontré con un par de ellas. Si, así como en el plano hay ternas pitagóricas (3, 4, 5), en el espacio hay cuaternas pitagóricas (9,1,4,8), pero… ¿qué representa cuaterna pitagórica?

En éste tema, que surgió a partir de una imagen del blog (relativa a los números pitagóricos), se dio la discusión sobre las cuaternas pitagóricas. Mi primera respuesta fue decir que, extender al espacio el teorema de Pitágoras no es tan simple, porque ¿cuál sería el equivalente espacial de un triángulo rectángulo? ¿un prisma de base triangular o un tetraedro?

Con la misma lógica, podemos preguntarnos, cuál es el representante espacial de la circunferencia. Bueno, si lo consideramos de un punto de vista algebraico, la ecuación de una circunferencia (x2+y2=r2) representa un cilindro circular recto. Pero, geométricamente, la condición que define una circunferencia en el plano (todos los puntos que equidistan del un punto del plano), se determina una esfera (todos los puntos que equidistan de un punto del espacio).

Entonces, volviendo a la idea de extender el teorema de Pitágoras al espacio, tenemos dos posibilidades: La algebraica, que involucra prismas; y la geométrica que involucra algo más interesante, que no es un Tetraedro. En ésta segunda versión del teorema se encuentran las cuaternas Pitagóricas.

Construcciones: 1 | 2 | 3 | 4 | 5

Para visualizar correctamente ésta figura, debe instalar java. Visite www.java.com/es

1. Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras suele utilizarse para describir una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Si consideramos ‘a‘ como la longitud de la hipotenusa, y ‘b‘ y ‘c‘ como las de los catetos, tenemos:

a2 = b2 + c2

Así, si conocemos dos longitudes, podemos calcular la tercera, uso que frecuentemente le damos a éste teorema. Pero, este es esencialmente un teorema de áreas (para los griegos, al menos).

Las expresiones,a2, b2 y c2 , corresponden a las áreas de los cuadrados (ver Mostrar cuadrados) construidos sobre los lados del triángulo. Así, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. (Mucha gente memoriza ésta descripción!!).

Ahora bien, una terna pitagórica es un trío de números enteros, que satisfacen la ecuación del teorema, y por lo tanto, determinan un triángulo rectángulo. Por ejemplo: (3,4,5) –
(5,12,13) –

(7,24,25) –
(8,15,17) –

(9,40,41). Cualquier triángulo con medidas como éstas (o cualquiera otra combinación), es necesariamente un triángulo rectángulo.

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  1. maria paula
    Martes, 15 de julio de 2008 a las 17:05 | #1

    por favor nesesito urgente que son numeros pitagoricos y con ejemplos

  2. Domingo, 3 de agosto de 2008 a las 18:06 | #2

    Hola, mira por aca: Terna pitagórica en Wikipedia.es

    Saludos
    Rafael

  3. Miércoles, 26 de noviembre de 2008 a las 00:49 | #3

    Buscando sobre la Alhambra llegué a su blog. Estoy impresionado por su contenido, por el la exposición, y por el dominio informático que supone. No puedo dejar de felicitarle efusivamente. Es un texto de referencia.

  4. Isabel Avello Poblete
    Lunes, 29 de diciembre de 2008 a las 21:48 | #4

    Hola Gabriel, me preguntaba si tienes las medidas de la pirámide que encajada 4 veces conforman un cubo, ésto a propósito de las cuaternas pitagóricas con que inicias ésta página. Cordial saludo para ti.

  5. Miércoles, 31 de diciembre de 2008 a las 11:18 | #5

    Estimada, aplicando éstas ideas a un cubo, de arista “a”, estaríamos considerándolo como un Paralelepípedo de dimensiones (a,a,a). En tal caso, la diagonal debe medir: raiz(a2 + a2 + a2) = raíz(3a2).




    Las pirámides que menciona (en rojo) corresponden a aquellas que tienen como base un cuadrado, y las demás aristas son “la mitad” de una diagonal del cubo. Entonces, tenemos que tal pirámide tiene cuatro aristas de longitud “a” y otras cuatro de longitud raiz(3a2)/2.Intersante, no?

    Por acá puede encontrar la construcción de esa situación, hecha en Geogebra: cubo_piramide.ggb

    Saludos
    Rafael

  6. adriana
    Martes, 24 de febrero de 2009 a las 22:45 | #6

    me gusta esta pagina me ha sacado de apuro pero me gustaria que tuvieran mas imagenes
    gracias

  7. manolo
    Miércoles, 28 de marzo de 2012 a las 22:48 | #7

    Muy buena explicación, ya me preguntaba por que al sacar las magnitudes del producto punto, al ocupar pitagoras… sorpresa 3 factores.
    Reitero Muchas gracias wey

  8. rahyner
    Lunes, 24 de junio de 2013 a las 10:54 | #8

    MUCHAS GRACIAS ME DISTE A COMPRENDER MUCHAS COSAS

Comentarios cerrados.

Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2008/06/pitagoras-3d/.