En el blog he mostrado varios métodos para teselar, especialmente durante el año pasado; lo que ha despertado el interés de muchas personas. He visto como varios profesores utilizan éste espacio para enseñar, de manera que, pensando en ellos he constuido una especie de resumen y continuación de dichas ideas.
Siete formas para teselar es simplemente un resumen antojadizo de teselaciones, uniendo algunas ideas que a ratos he podido juntar en el último par se semanas (si, fue un trabajo a paso de hormiga). A continuación mostraré la construcción de teselaciones con ideas muy simples, sobre las clásicas figuras con las que teselamos: triángulos, hexágonos regulares, cuadrados y paralelogramos.
Interesa observar las similitudes y diferencias entre éstos métodos. Algunos llevan a un mismo resultado, aunque con distintas construcciones. En cierta medida, algunas son algo así como un ‘caso particular’ de otro método; o una extensión de otro método, etc. Pero dichas afirmaciones involucran matemática más compleja y menos intuitiva de lo que pretendo mostrar.
En todas las explicaciones muestro cómo construir el patrón, refiriendome a la figura que se repitiría en la teselación. También hay un pequeño abuso de lenguaje, al referirme a ‘completar la teselación’. Es un pequeño abuso, debido a que no se completa nunca (el plano es ilimitado); pero si tuvieramos tiempo suficiente, ¿cómo podríamos hacerlo? A esto trato de apuntar con el ‘completar’ o ‘continuar’ la teselación.
Por último, y no menos importante, estoy ocupando la versión 3.0 de Geogebra que me ha permitido modernizar teselaciones que mostré un par de años atrás (cómo pasa el tiempo!) con Cabri. Es interesante el tipo de materiales que podemos crear con éste software, y aquí también pretendo dar un ejemplo más.
1. División interna de un triángulo equilátero con simetría axial
Un primer método
consiste en dividir internamente un triángulo equilátero, de manera que las líneas divisorias unen un punto en el interior y los vértices. ésta ‘división interna’ la vamos a ocupar en la mayoría de los ejemplos que voy a mostrar acontinuación.
En el triángulo ABC, las líneas divisorias son d1, d2 y d3. Para construir el patrón de la teselación, las reflejamos respecto a los lados correspondientes del triángulo (control Patrón), es decir, reflejamos:
d1 y d2, respecto a BC.
d1 y d3, respecto a AC
d2 y d2, respecto a AB
El resultado es una figura que permite teselar, primero por una combinación de rotaciones y traslaciones. Si se rota el patrón en 120º y 240º, alrededor de los tres vértices (control Giro), f se forma una reunión de siete figuras congruentes.
Luego, por traslación es posible completar la teselación (arrastrar el punto Mover) en direcciones asociadas a las simetrales de los lados del triángulo.
2. División interna de un cuadrado, con simetría axial
ésta es una extensión del primer método, pero en un cuadrado. Dividimos internamente un cuadrado, en cuatro regiones delimitadas por líneas que unen un punto interior y un vértice: a, b, c y d.
Luego, reflejamos dichas líneas, respecto a los lados correspondientes.
a y b, respecto a AB.
b y c, respecto a BC.
c y d, respecto a CD.
d y a, respecto a DA.
El resultado (cual logo de Windows) es una figura que permite teselar también por rotaciones y traslaciones. Primero, rotamos el patrón en 180º, alrededor de los cuatro vértices (control Giro), o bien, las reflejamos respecto a los vértices.
Luego por traslación es posible completar la teselación (arrastrar el punto Mover) en direcciones asociadas a las simetrales de los lados del cuadrado y sus diagonales. Por ejemplo, podemos trasladar el patrón respecto al vector 2·AC.
3. División interna de un triángulo cualquiera, con simetría central
En una línea un tanto diferente, con cualquier triángulo es posible teselar por medio de traslaciones y giros en 180º. Las figuras que construyamos con el método 3, se basan en éstas ideas.
Primero dividimos internamente un triángulo cualquiera, utilizando tres líneas: a, b y c. Cada una de dichas líneas, se gira en 180º, alrededor de los puntos medios de los lados:
- a y b, alrededor de M (punto medio de AB).
- b y c, alrededor de N (punto medio de BC).
- c y a, alrededor de O (punto medio de CA).
La figura resultante, nuestro patrón, tesela trasladándola en seis direcciones (control Traslaciones) relacionadas con los lados del triángulo (según los vectores AB y BA, BC y CB, etc.) y luego, se puede completar con más traslaciones (arrastrar el punto Mover).
4. División interna de un paralelogramo, con simetría central
El método 4 es una especie de continuación del anterior, pues, al girar en 180º un triángulo, respecto al punto medio de un lado, la figura que se forma es un paralelogramo.
En el método 3 giramos en 180º respecto a puntos medios, de manera que se forman algunos paralelogramos.
éste método, parte directamente de ellos.
Dividimos internamente el paralelogramo [ABCD], con las líneas a, b, c y d, y las giramos en 180º:
- a y b, alrededor de M (punto medio de AB).
- b y c, alrededor de N (punto medio de BC).
- c y d, alrededor de O (punto medio de CD).
- d y a, alrededor de P (punto medio de DA).
El patrón, tesela trasladándola en ocho direcciones (control Traslaciones) que también están determinadas por los lados del paralelogramo (trasladamos según los vectores AB y BA, AD y DA, etc.) y completar con más traslaciones (arrastrar el punto Mover).
5. División interna de un hexágono regular, con simetría central
Existe mucho en común entre un paralelogramo y un hexágono regular, en lo que respecta a las teselaciones. El método anterior se puede extender a un hexágono regular, es decir:
- Dividir internamente el hexágono regular, en seis partes.
- Girar cada parte en 180º, respecto al punto medio del lado correspondiente.
Con el control Patrón, se puede ver ésta construcción, donde, por ejemplo, las líneas a y b, giran en 180º respecto al punto medio del lado AB; b y c, respecto al punto medio de BC y así sucesivamente.
El patrón, técnicamente no tesela, debido a que hay solapamiento, hay puntas del patrón que se superponen (control Traslaciones). Aun así, el diseño final es una especie de teselación, o patrón geométrico, cuyas líneas internas coinciden también entre sí. Para continuar la teselación, se puede arrastrar el punto Mover.
6. Traslación de líneas sobre un paralelogramo
Todos los métodos anteriores consisten en la división interna de algún polígono. éste es diferente, aunque más conocido, y consiste en construir líneas sobre dos lados consecutivos de un paralelogramo.
En éste caso, la línea naranja, une los puntos A y D. La línea roja, une los puntos A y B. La construcción consiste en (control Patrón):
- Trasladar la línea naranja, respecto al vector AB
- Trasladamos la línea roja, respecto al vector AD
El patrón tesela, trasladando en ocho direcciones (control Traslaciones), las cuales dependen de los lados del paralelogramo (AB, BA, BC, CB, etc.) y se puede completar (arrastrar el punto Mover) con más traslaciones aun.
7. Traslación de líneas sobre un hexágono regular
Un hexágono regular, cumple con una condición clave del paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos (en un pentágono no se puede hablar de lados opuestos, ni en un heptágono). Como dicha condición es la que aprovechamos para el método anterior (las cosas coinciden porque los lados opuestos son paralelos), podemos extenderlo al hexágono regular.
Construimos sobre tres lados del hexágono, líneas que unan sus vértices (control Patrón). Luego, trasladamos dichas líneas, hacia los lados opuestos del hexágono, es decir:
- Trasladamos la línea naranja, respecto al vector AE
- Trasladamos la línea roja, respecto al vector BF
- Trasladamos la línea azul, respecto al vector DF
El patrón que se genera, también tesela por traslaciones (control Traslaciones) en direcciones que unen lados opuestos, por ejemplo, respecto a los vectores BF y FB; AE y EA, DF y FD.
Resumen y descarga de archivos
Todas éstas construcciones fueron hechas utilizando Geogebra 3.0 y pueden descargarse desde aqui:
Carnaval de matemáticas
Explorar guías
Crear guías
el sitio esta buenisimo. te quiero preguntar cual seria el metodo más apropiado para teselar un octagono?
Hola, una forma es la que muestro aca: ventana mughal. Otra opción sería pensar en octágonos regulares, por reflexión respecto a sus lados. Los espacios entre cuatro octágonos son justamente cuadrados:
Debo darte las gracias por la dedicación y el trabajo que has puesto en esta página. Tus explicaciones me han sido de gran ayuda!!
encontre bueno es sitio pero necesito saber .¿que nombres reciben las lineas que unen un punto medio de un lado con su vertice correspondiente?
me ayudan con esa pregunta que no la he podido encontrar en ninguna parte
gracias
Estimada, existen algunas diferencias regionales en el nombre de tales líneas. En Chile, por ejemplo, les denominamos transversales de gravedad, aunque en otras latitudes suelen llamarles también medianas.
A veces tales diferencias de nombres son un enredo (quizás allí parte tu duda), de manera que lo más práctico es guiarte por referencias cercanas a tu país.
Espero que te oriente.
Saludos
Rafael
Mil y mil gracias por compartir tus conocimientos han sido de gran ayuda para mis clases
Hola, es muy interesante este tipo de transformaciones del espacio a través de estas herramientas computacionales. En mi caso el uso de la tecnología, y en particular de programas como geogebra no es tan simple. Me pregunto si es posible adicionar un conjunto de pasos para poder acceder a este tipo de construcciones, para así poder asimilar lo hecho por usted y empezar a desarrollar las propias con más facilidad.
Gracias por su atención.
Hola, si, hay un taller de teselaciones que escribí basándome en este post. Mira por acá: http://www.geometriadinamica.cl/2009/09/taller-de-teselaciones/.
Espero que te sirva.
Saludos
Rafael
hola ,tengo el siguimte problema matematico:
si se quiere repartir, de manera equitativa, una torta de forma triangular entre sies amigos, para ello se debe
1.trazar sus alturas
2.trazar las medianas
3.trazar las bisectrices
4.trazar sus transversales de gravedad
5.con 1.,2.y3.es posible
ojala alguien me pueda decir como son las areas de un triangulo si se dividen y por que tipo de las que aparecen en las alternativas
lo agradecere mucho.
espero este ejercicio pueda ser de utilidad para quien tenga deseos de aprender mas.,,
Hola, la respuesta son las transversales de gravedad, que dividen al triángulo en seis triángulos de igual área. Pero lo más interesante es por qué… ¿por qué crees que es así?
Mira la siguiente imagen, y digamos que cada uno de los triángulos pequeños tienen área a, b, c, … etc. ¿Qué relación existe entre las áreas y por qué?
Así que si miramos el triángulo ACG, su transversal de gravedad lo divide en dos triángulo de igual área, luego a = f. Mientras que si miramos al triángulo ABC, su transversal BE lo divide también en dos triángulos de igual área, luego a + b +c = d + e + f.
Juega con eso, saca todas las igualdades que puedas, mira el triángulo de varias formas, dalo vuelta y mira de nuevo los triángulos más pequeños, y verás cómo de a poco todas las áreas se van igualando.
Aunque la demostración de esta propiedad requiere de otro dato más importante aun, el que GE y GB están en la razón 2 : 1. Esto lo puedes ver en la siguiente guía interactiva: Transversales de gravedad.
Espero que te sirva
Saludos
Rafael
genial gracias me sirvió mucho
Muy bueno tu aporte, felicitaciones y gracias!!!
Hola,necesito teselar con triángulos ,pero no entiendo como,me puedes ayudar con los pasos detenidamente?
Gracias
Hola, te recomiendo las guías interactivas que te pueden ayudar, en la unidad de transformaciones isométricas: http://www.geometriadinamica.cl/guias/explorar/#13.
Pero no tengo nada que indique paso a paso cómo hacerlo, aun así creo que estos recursos te ayudarán.
Saludos
Rafael