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Siete formas de teselar

Domingo, 20 de abril de 2008
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Siete formas de teselar

En el blog he mostrado varios métodos para teselar, especialmente durante el año pasado; lo que ha despertado el interés de muchas personas. He visto como varios profesores utilizan éste espacio para enseñar, de manera que, pensando en ellos he constuido una especie de resumen y continuación de dichas ideas.

Siete formas para teselar es simplemente un resumen antojadizo de teselaciones, uniendo algunas ideas que a ratos he podido juntar en el último par se semanas (si, fue un trabajo a paso de hormiga). A continuación mostraré la construcción de teselaciones con ideas muy simples, sobre las clásicas figuras con las que teselamos: triángulos, hexágonos regulares, cuadrados y paralelogramos.

Interesa observar las similitudes y diferencias entre éstos métodos. Algunos llevan a un mismo resultado, aunque con distintas construcciones. En cierta medida, algunas son algo así como un ‘caso particular’ de otro método; o una extensión de otro método, etc. Pero dichas afirmaciones involucran matemática más compleja y menos intuitiva de lo que pretendo mostrar.

En todas las explicaciones muestro cómo construir el patrón, refiriendome a la figura que se repitiría en la teselación. También hay un pequeño abuso de lenguaje, al referirme a ‘completar la teselación’. Es un pequeño abuso, debido a que no se completa nunca (el plano es ilimitado); pero si tuvieramos tiempo suficiente, ¿cómo podríamos hacerlo? A esto trato de apuntar con el ‘completar’ o ‘continuar’ la teselación.

Por último, y no menos importante, estoy ocupando la versión 3.0 de Geogebra que me ha permitido modernizar teselaciones que mostré un par de años atrás (cómo pasa el tiempo!) con Cabri. Es interesante el tipo de materiales que podemos crear con éste software, y aquí también pretendo dar un ejemplo más.

Construcciones: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Resumen

Para visualizar correctamente ésta figura, debe instalar java. Visite www.java.com/es

1. División interna de un triángulo equilátero con simetría axial

Un primer método
consiste en dividir internamente un triángulo equilátero, de manera que las líneas divisorias unen un punto en el interior y los vértices. ésta ‘división interna’ la vamos a ocupar en la mayoría de los ejemplos que voy a mostrar acontinuación.

En el triángulo ABC, las líneas divisorias son d1, d2 y d3. Para construir el patrón de la teselación, las reflejamos respecto a los lados correspondientes del triángulo (control Patrón), es decir, reflejamos:

  • d1 y d2, respecto a BC.
  • d1 y d3, respecto a AC
  • d2 y d2, respecto a AB
  • El resultado es una figura que permite teselar, primero por una combinación de rotaciones y traslaciones. Si se rota el patrón en 120º y 240º, alrededor de los tres vértices (control Giro), f se forma una reunión de siete figuras congruentes.

    Luego, por traslación es posible completar la teselación (arrastrar el punto Mover) en direcciones asociadas a las simetrales de los lados del triángulo.

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    1. juan
      Sábado, 28 de marzo de 2009 a las 01:36 | #1

      el sitio esta buenisimo. te quiero preguntar cual seria el metodo más apropiado para teselar un octagono?

      • Sábado, 28 de marzo de 2009 a las 14:27 | #2

        Hola, una forma es la que muestro aca: ventana mughal. Otra opción sería pensar en octágonos regulares, por reflexión respecto a sus lados. Los espacios entre cuatro octágonos son justamente cuadrados:

        Teselacion con octagonos

    2. Tannia
      Miércoles, 8 de abril de 2009 a las 22:24 | #3

      Debo darte las gracias por la dedicación y el trabajo que has puesto en esta página. Tus explicaciones me han sido de gran ayuda!!

    3. javiera
      Martes, 19 de mayo de 2009 a las 21:56 | #4

      encontre bueno es sitio pero necesito saber .¿que nombres reciben las lineas que unen un punto medio de un lado con su vertice correspondiente?
      me ayudan con esa pregunta que no la he podido encontrar en ninguna parte

      gracias

      • Martes, 19 de mayo de 2009 a las 22:28 | #5

        Estimada, existen algunas diferencias regionales en el nombre de tales líneas. En Chile, por ejemplo, les denominamos transversales de gravedad, aunque en otras latitudes suelen llamarles también medianas.

        A veces tales diferencias de nombres son un enredo (quizás allí parte tu duda), de manera que lo más práctico es guiarte por referencias cercanas a tu país.

        Espero que te oriente.
        Saludos
        Rafael

    4. Sonia
      Domingo, 18 de octubre de 2009 a las 08:45 | #6

      Mil y mil gracias por compartir tus conocimientos han sido de gran ayuda para mis clases

    5. John Freddy A.
      Miércoles, 7 de abril de 2010 a las 15:19 | #7

      Hola, es muy interesante este tipo de transformaciones del espacio a través de estas herramientas computacionales. En mi caso el uso de la tecnología, y en particular de programas como geogebra no es tan simple. Me pregunto si es posible adicionar un conjunto de pasos para poder acceder a este tipo de construcciones, para así poder asimilar lo hecho por usted y empezar a desarrollar las propias con más facilidad.

      Gracias por su atención.

    6. evelyn
      Miércoles, 1 de diciembre de 2010 a las 14:48 | #9

      hola ,tengo el siguimte problema matematico:
      si se quiere repartir, de manera equitativa, una torta de forma triangular entre sies amigos, para ello se debe
      1.trazar sus alturas
      2.trazar las medianas
      3.trazar las bisectrices
      4.trazar sus transversales de gravedad
      5.con 1.,2.y3.es posible
      ojala alguien me pueda decir como son las areas de un triangulo si se dividen y por que tipo de las que aparecen en las alternativas
      lo agradecere mucho.
      espero este ejercicio pueda ser de utilidad para quien tenga deseos de aprender mas.,,

      • Miércoles, 1 de diciembre de 2010 a las 15:22 | #10

        Hola, la respuesta son las transversales de gravedad, que dividen al triángulo en seis triángulos de igual área. Pero lo más interesante es por qué… ¿por qué crees que es así?

        Mira la siguiente imagen, y digamos que cada uno de los triángulos pequeños tienen área a, b, c, … etc. ¿Qué relación existe entre las áreas y por qué?

        Te doy una pista, que es la clave de todo el asunto, la transversal de gravedad divide a un triángulo en dos de igual área (pues tienen la misma altura y misma base).

        Así que si miramos el triángulo ACG, su transversal de gravedad lo divide en dos triángulo de igual área, luego a = f. Mientras que si miramos al triángulo ABC, su transversal BE lo divide también en dos triángulos de igual área, luego a + b +c = d + e + f.

        Juega con eso, saca todas las igualdades que puedas, mira el triángulo de varias formas, dalo vuelta y mira de nuevo los triángulos más pequeños, y verás cómo de a poco todas las áreas se van igualando.

        Aunque la demostración de esta propiedad requiere de otro dato más importante aun, el que GE y GB están en la razón 2 : 1. Esto lo puedes ver en la siguiente guía interactiva: Transversales de gravedad.

        Espero que te sirva :)
        Saludos
        Rafael

    7. Domingo, 27 de marzo de 2011 a las 08:47 | #11

      genial gracias me sirvió mucho

    8. Domingo, 1 de mayo de 2011 a las 13:31 | #12

      Muy bueno tu aporte, felicitaciones y gracias!!!

    9. Elsy Noemi
      Miércoles, 23 de noviembre de 2011 a las 22:18 | #13

      Hola,necesito teselar con triángulos ,pero no entiendo como,me puedes ayudar con los pasos detenidamente?
      Gracias

    10. carolina
      Lunes, 20 de abril de 2015 a las 11:07 | #15

      hola quisiera preguntar de que manera pueden teselar un triangulo escaleno un cuadrilatero convexo y un cuadrilatero concavo ojala me puedas ayudar!!

    1. Domingo, 13 de septiembre de 2009 a las 01:45 | #1

    Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2008/04/siete-formas-de-teselar/.