En unas semanas más (adelanto!) realizaré un cambio masivo en el sitio: se reemplazarán todos los contenidos por nuevas versiones, creadas con Geogebra. Justamente en los meses de preparación de dicho cambio, me encontré con un problema, cuya solución pretendo ilustrar a continuación:
Hace un poco más de tres meses terminé de convencerme por cambiar todos los contenidos de Cabri a Geogebra. Más alla de las ventajas de Cabri, objetivamente el traspaso a Geogebra me ha permitido modernizar y, más adelante se va a notar más aun, la forma como se muestran construcciones en éste sitio. En el post Geogebra y Javascript, se ilustra el principio de éste cambio.
Pues bien, con tan sólo un problema serio me encontré (aparte de realizar 242 construcciones en 3 meses) en éste traspaso y fue el lograr hacer construcciones 3D en Geogebra. Como Genevieie Tulloue muestra en su sitio, gracias a las macros que dejó a disposición, es posible realizar construcciones 3d de manera muy simple. Basta con seleccionar la Macro correspondiente, seleccionar las coordenadas 3d a graficar, los tres ejes (que son de hecho vectores) y el punto se grafica en éste seudo-espacio. En Geogebra, en cambio, se requiere del uso de diversas fórmulas y transformaciones isométricas.
1. Proyección ortográfica
Como indica en su página, la simulación corresponde a una proyección ortográfica, donde la sombra de sólido es proyectada sobre un plano, considerando un foco de luz muy lejano (virtualmente infinitamente lejano).
En ésta proyección se mantienen las relaciones de paralelismo y proporcionalidad, de manera que el punto de vista se controla con dos ángulos de rotación (θ y φ) y la escala (acercamiento).
2. Construcción de los ejes
La construcción de los ejes consiste en construir tres puntos (X, Y, Z), que al modificar los ángulos θ y φ simulen la posición relativa (apariencia) de las unidades en el espacio. Es decir:
X⇒ (1,0,0) | Y⇒ (0,1,0) | Z⇒ (0,0,1)
Es importante aclarar que Geogebra no es un sistema 3D, de manera que X no es el punto (1,0,0), más bien es un punto cuya posición (y movimiento) es visualmente equivalente a la del punto (1,0,0) en el espacio.
Con las siguientes fórmulas (véase ángulos de Euler), es posible construir los puntos en cuestión:
X = (sen(φ),-cos(φ) sen(θ))
Y = (cos(φ),sen(φ) sen(θ) )
Z = (0,cos(θ))
3. Construcción de puntos por homotecia
En el punto anterior indicaba que la proyección ortográfica respeta las relaciones de proporcionalidad (las transformaciones afines, de hecho). Pues bien, la homotecia es una de éstas relaciones, por lo tanto, si se multiplican las coordenadas de X, Y y Z (simultáneamente), se obtienen puntos homotéticos respecto al origen, lo que es equivalente a utilizar una escala (aplificar por 2, disminuir a la mitad, etc.)
El método más simple para construir un punto en éste espacio ficticio, es entonces, por homotecia:
Homotecia(X,O,2) ⇒ (2,0,0) / Homotecia de O, respecto a X, en razón 2.
Insisto en que estamos simulando un sistema 3D, pero al menos en ésa construcción sabemos que se cumplen las siguientes igualdades:
R = r · Z | Q = r ·Y | P = r ·X
Luego, r es la escala.
4. Construcción de puntos por traslación
Con el método anterior podemos sólo construir puntos sobre los ejes. Pero, como se ilustra en ésta construcción, si se componen traslaciones se pueden construir puntos con coordenadas generadas por adición (suma de vectores).
Si se traslada sucesivamente el punto O (origen), respecto a los vectores (0,0,5); (0,3,0) y (1,0,0), se obtiene el punto de coordenadas (1,3,5).
En la construcción, los vectores están sobre los ejes homónimos (x en EjeX, y en EjeY, z en EjeZ). Al componer traslaciones de O, respecto a estos vectores se obtiene lo siguiente:
O_xy ⇒ Plano XY (O, trasladado por x e y)
O_xz ⇒ Plano XZ
O_yz ⇒ Plano YZ
Los tres puntos antes mencionados, corresponden a las proyecciones ortogonales del punto (x,y,z), sobre los planos del primer octante.
5. Ejes de un paralelepípedo
Vamos a aplicar lo antes visto, y construir los ejes de un paralelepípedo cuyas dimensiones podamos controlar. Básicamente podemos hacer uso de tres transformaciones: Traslaciones, Homotecias y simetrías centrales. No asi, las simetrías axiales o rotaciones, éstas últimas no funcionan de igual manera en el sistema 2D (sistema geogebra) y la proyección ortográfica construida.
En primer lugar nos interesa controlar las dimensiones de los ejes. Para ello, construiremos 3 deslizadores, es decir controles deslizantes que hacen variar los valores de a, b y c. Los vectores sobre los ejes son respectivamente u, v y w.
Luego, utilizamos las siguientes fórmulas:
A=translación[O, a*u]
B=translación[O, b*v]
C=translación[O, c*w]
Si bien se utilizó el comando ‘translación’, se trata de la ponderación de vectores (b · u), por lo tanto se trata de homotecias. Si aplicamos simetría central a los tres puntos construidos, respecto al origen, se obtienen los otros tres vértices buscados: A’, B’ y C’.
Mis agradecimientos a Genevieve Tulloue por la generosa ayuda que nos ha dado a través de su sitio.
Merci à Genevieve Tulloue de l’aide généreuse donnée dans son site Web (M’excuser pour mon français).
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Ahora existe en la nueva versión de geogebra (3.0) la manera de crear macros, si es posible podria crear un macros el cual sea capaz de hacer esta misma función
Así es, la nueva versión permite macros, aunque aun no ha sido lanzada oficialmente. He realizado algunas pruebas, y me parece que será posible crear macros para construcciones 3d.
La plantilla es una construcción de Geogebra, de manera que basta con abrirla desde con dicho programa.
Saludos
Rafael
Gracias por la plantilla, Rafael.
En http://www.iespravia.com/rafa/rafa_poliedros.htm se puede disfrutar de las excelentes figuras que Rafael Losada ha construido aprovechando la misma idea y las herramientas/macros de GeoGebra3.
Saludos: Manuel
Gracias, Manuel!
Lo he visto, pero no había tenido el tiempo de agregarlo al Blog. Estoy aun viendo cómo agregar estas direcciones al blog, para que ya vayamos armando comunidad.
Muy interesante
Saludos
Rafael
Primero mis felicitaciones y agradecimiento por la página. Me ha llamado la atención el comentario del paso del Cabri al GeoGebra. Llevo buscando alguna forma fácil del posible traspaso de construcciones del Cabri al Geogebra y me ha parecido entender que la opción es repetir toda la construcción.
Estimada Rosario, si, es como usted dice. Si bien en el foro de Geogebra alguna vez alguien indicara que estaba trabajando en crear una solución, no encontré ningún método más que construirlo todo desde cero.
Ambos programas trabajan con formatos muy diferentes; incluso Cabri II es mucho anterior que Cabri II plus, de manera que la traducción de un sistema a otro es algo muy engorroso.
Saludos
Rafael :)
Hola, soy patxua, no de nada de 3D, y apenas hace 18 meses que utilizo el pc, pero me interesa apender todo lo concerniente a Geometria Sagrada en la Arquitectura, y conocer desde los orígenes los fundamentos de la misma, incluso antes de el famoso Vitrubio, y tambiem aprender a usar vuestras técnicas con la aplicación gráfica del ordenador. Digamos que apenas empiezo a caminar como un bebe, les ruego me disculpen cualquier torpeza e incluso de lenguaje.
Gracias
patxua
Realmente alucinante, estoy empezando con Geogebra y vuestro trabajo supone un gran estímulo y una lección para todos.
Estimado Rafel, he explorado los trabajos que propone y me han gustado mucho por la presentación que tienen, sus trabajos me han servido como base para desarrollar los propios, sin embargo me he encontrado con un problema, cuando agrego una imagen en formato jpg
y cambio el color de la vista gráfica la imagen muestra un fondo blanco, cuando eso sucede en otros programas como en Word existe una herramienta que elimina esos blancos no deseados, la pregunta es:
1. Qué tipos de imágenes se deben agregar para que no muestren el fondo
blanco.
Estimad@, no estoy completamente seguro del problema, pero sospecho que es un asunto de la imagen, más que de Geogebra. El truco de Word (borrarle el fondo a una imagen, seleccionando el color que se quiere eliminar), es un truco poco común.
Ahora, los gráficos que usan transparencias suelen ser GIF y PNG. En el caso de Windows GIF es más seguro que PNG. Le conviene buscar algún método para dejar el fondo transparente (sugerencia) antes de insertarla a Geogebra, para lo que los editores comunes de imágenes suelen hacer el truco (desde Paint hasta Photoshop).
Espero que le oriente
Saludos
Rafael