Rotación de un arco

El primer intento, fallido pero clarificador, fue construir un arco de circunferencia c y rotarlo sucesivamente en 45º alrededor de A.

Si bien a figura que se genera es interesante, al acercar A al arco, se tiende a perder la simetría axial.

Los puntos B, B’, B”… etc., determinan un octágono regular (control Octágono), y para lograr que se cumplan las condiciones de simetría, es necesario ubicar D en una de las simetrales de dicho polígono (condición 1).

Otro punto interesante, y que previamente he confirmado superponiendo la construcción a la imagen original, es que los arcos c y t (ambos en azul), pertenecen a la misma circunferencia, construida en línea punteada en éste caso. (condición 2). Para verificar esto, conviene mover D hasta lograr simetría, luego mover C.

Arcos simétricos

Bien pues, tenemos la siguiente situación. Un octágono regular (B’, B”,…,B”””’),C, un punto cualquiera de la simetral de B’B”, y debemos construir una circunferencia que pase por B, C y B””’.

Para encontrar el centro de dicha circunferencia, se han trazado las simetrales de BC y CB””’; cuya intersección es el punto D (centro de la circunferencia buscada). Aplicando una reflexión (control Arco simétrico), respecto a la misma simetral que contiene a C, se determina el arco opuesto.

Ocho circunferencias

Ambos arcos simétricos, construidos en el paso anterior (BJ, B”’J) se rotan en 45º alrededor de A. Nótese que J, pertenece a la simetral de B’B”’. Aqui se puede apreciar que con sólo 8 circunferencias (control circunferencias) se generan los 16 arcos.

Arcos semi-arbitrarios

Los arcos que siguen, son relativamente arbitrarios, pues los he construido de manera que se respeten las condiciones de simetría, sin embargo son tan sólo una aproximación.

Tanto los puntos P, como U, pertenecen a una se las simetrales del octágono regular. Los arcos YWO, OPQ, QRS,STU, se han reflejado respecto a ésta recta, y los 8 arcos en cuestión rotado sucesivamente en 45º (control Rotación).

Arcos exteriores.

Los arcos exteriores son 16 y por lo tanto, están rotados en múltiplos de 22,5º(360º/16). Los centros de estos arcos (y ejes de simetría) son, tanto las simetrales del octágono regular, como las rectas que unen sus vértices opuestos.

En particular, si se consideran las rectas S_B”B”’ y L_AB”’ , el punto V pertenece a la bisectriz de ambas. El punto V’, es el simétrico respecto a S_B”B”’. Luego, el arco VUV’ se rota sucesivamente (control Rotación) en 22,5º.

Ocho hojas

Finalmente, queda por constuir ocho hojas, formadas por arcos simétricos girados en 45º. Nótese que el punto Z, pertenece a uno de los arcos interiores; y que Y es un punto libre.

Diseño final

Si bien la construcción realizada es diferente en varios detalles, es una aproximación en términos estructurales, es decir, si se extrajeran de la imagen las líneas exactas y se les aplicaran las trasnformaciones isométricas antes descritas, debería generarse (idealmente) el Arabesco.

Aun así se trata de una idealización del diseño real, pues, si se mira cuidadosamente la imagen, se podrá identificar que no hay exactamente simetría.

Superposición del diseño

Muchas gracias a Manuel Sada por su aporte, con ésta modificación de la construcción donde se superpone casi perfectamente con el diseño original. (04-09-2007)