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¿Trasladar es mover?

Lunes, 7 de agosto de 2006
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¿Trasladar es mover?

Una de las formas más comunes de explicar las transformaciones isométricas es el relacionarlas o, incluso definirlas, como movimientos. Aunque esto pueda parecer una conexión natural, es razonable hacerse preguntas usando un poco el sentido común:

En la traslación de un triángulo, ¿cuántos triángulos están involucrados? ¿Es uno sólo que se mueve o son dos triángulos congruentes?

Lo que describo a continuación es una visión muy personal de éste tema, en un intento por conciliar el sentido común con las definiciones de las transformaciones isométricas y las implicancias didácticas de dicha relación. Como pretendo ilustrar, no es poco común el choque entre los conceptos matemáticos y el sentido común, ya sea por errores en transposiciones didácticas, como por conflictos con el lenguaje natural. No siempre cuando hablamos de tangencia en un contexto no matemático le hacemos justicia al concepto.

Bien pues, la pregunta esencial aquí es ¿Son las transformaciones isométricas movimientos?

¿Cuántos triángulos son?

En el contexto de la geometría euclidiana hacemos la distinción entre congruencia e igualdad de figuras. Una forma de hacer dicha distinción es describir las figuras
como conjuntos de puntos:

Dos conjuntos son iguales, si y sólo si, cuentan con los mismos elementos.

Dicho de una manera más amigable, si dos triángulos con lados de medidas 4,5 y 6 fueran iguales… entonces dos 8º básicos con 24 alumnos también lo serían.

Al trasladar un triángulo, la única forma de que ambos sean iguales es que el vector de traslación sea nulo.

Geométricamente hablando, los triángulos ABC y A’B’C’, no son iguales: son congruentes (mientras el vector tenga longitud mayor que cero). Aunque son ilustrativas en la figura, las posiciones intermedias entre el “inicio” y “fin” de la traslación, no son constitutivas de la definición de traslación. Más bien, cumplen un rol didáctico (punto P).

He aquí el conflicto: Si la traslación es un movimiento, necesariamente se trataría de un sólo triángulo, que cambia de posición en un cierto lapso de tiempo. Pero, en dicho caso, ¿por qué decimos que ABC es congruente con A’B’C’ si se trata de un triángulo en movimiento? ¿No es entonces el mismo triángulo que se mueve?

Si definimos la traslación como movimiento, necesariamente se pierde la distinción entre ambos triángulos, de manera que el concepto de congruencia entra en conflicto con la noción de movimiento.

¿Qué es una función?

En éste punto me desvío un poco del tema central, pero vale la pena reflexionar un poco sobre las funciones, para aprovecharlo posteriormente.

Considerando una función cuadrática, es importante aclarar que f(x)=x2 no es la función. La función es un conjunto de pares ordenados, de la forma (1,1); (2,4); (3,9);
etc., es decir, pares ordenados que satisfacen la igualdad f(x)=x2.

Traduciendo al lenguaje natural:

Notación Significado (quiere decir)
x
Un elemento cualquiera del dominio (preimagen)
f(x)
Un elemento cualquiera del recorrido (imagen).
f(x)=x2
Cualquier elemento del recorrido, es igual al cuadrado de algún elemento del dominio.

Por lo tanto, de las funciones podemos afirmar:

  1. Son conjuntos de pares ordenados (o ternas ordenada, cuaternas, etc.) que satisfacen alguna condición dada.
  2. Su notación funcional, f(x)=y, es la condición que cumplen las componentes de sus elementos (x,y).
  3. Por lo tanto, se distingue entre un elemento del dominio y uno del recorrido (no necesariamente son iguales).

No es menor el consignar éstas tres condiciones, dado que el describir las funciones como conjuntos no es intuitivo; a diferencia del describir los triángulos como conjuntos de puntos, por ejemplo. Para describir conjuntos, en lenguaje natural, se suelen utilizar sustantivos (los niños, las casas, los enteros, etc.), mientras que para describir funciones se suelen utilizar verbos (sumar, restar, correr, caminar, etc.).

Por lo tanto, la noción de función está asociada a una acción, por ejemplo un movimiento… y aquí vuelvo al tema central.)

Definiciones de traslación

Pensemos que la traslación es una función (en realidad es una transformación afín), su definición involucra dos elementos: preimagen (A) e imagen (A’). Pero, ¿qué clase de función es?

Necesariamente estamos hablando de un conjunto, de la forma {(A,A’);(B,B’),(C,C’), …}. Dicho conjunto, al igual que una función cuadrática, está formado por pares ordenados que cumplen alguna condición, para lo que
necesariamente debemos referirnos a vectores:

Definición vectorial

Dado un vector w=(w1,w2,…wn) y un punto P=(x,y) se define la traslación Tw, según el vector w como una transformación dada por:

(1) Tw : E —> E (2) Tw(P) = P + w

De ésta manera, dado un punto P=(x,y), la traslación genera otro punto:

Tw(P) = (x + w , y + w).

Por lo tanto, la traslación es un conjunto, formado por pares de puntos y que satisfacen la condición (1).

En términos mucho más simples, la traslación puede definirse a partir de condiciones de paralelismo:

Definición clásica

Dado un punto P, la traslación Tw, según el vector w, le asocia un punto P’, tal que:

(2) d(P , P’) = | w |
(3) PP
|| w

En éste caso la traslación es un conjunto compuesto por pares de puntos, que cumplen las condiciones (2) y (3), es decir, determinan un segmento paralelo y
de igual longitud que el vector de traslación.

Luego, si entendemos cualquier transformación isométrica como una función, necesariamente se debe distinguir entre preimagen e imagen, por lo tanto, no pueden ser definidas como movimientos.

Simetría y movimiento

Ahora bien, el sentido de relacionar movimientos con transformaciones isométricas es didáctico: en el movimiento quedan en evidencia las relaciones entre el triángulo inicial (preimagen) y el triángulo final (imagen). En éste sentido importa
la gradualidad intermedia, en la medida que vemos un triángulo moverse y no cambiar sus dimensiones. Pero ¿es posible o, al menos, conveniente esto en todos los casos?

La figura que se muestra a continuación, permite mostrar gradualmente una reflexión (control animar reflexión), de manera que ABC se refleja hacia A’B’C’.

Pero se observa mucho más que movimiento: El triángulo cambia de posición y también cambian sus dimensiones. En el plano esto no es un movimiento, sino algo más.

Otra forma (errónea por cierto) de interpretar la animación, pero relativamente intuitiva, es considerarla un giro (tridimensional) alrededor de la recta.

En consecuencia, ¿qué tipo de movimiento plano es una reflexión?

Claramente al hablar de transformaciones isométricas los movimientos cumplen un rol didáctico. Nuestros alumnos conocerán el concepto de traslación como un movimiento mucho antes de estudiarlas geométricamente, de manera que existe ahí una noción con la cual hay que contar, para bien o para mal.

Me referí previamente a las funciones, destacando un conflicto entre su definición matemática y las nociones asociadas, dado que en lenguaje natural entendemos las funciones como objetos dinámicos (acciones): “sumar dos” consiste en realizar una operación y no el conjunto de pares de la forma (1,3);(2,4), etc. Mientras que los conjuntos los percibimos como objetos estáticos. Éste conflicto no es menor.

Análogamente, algunas transformaciones isométricas (rotación y traslación, al menos) las entendemos como movimientos, relación natural pero que conflictúa con la congruencia: Si un triángulo se traslada, entonces es uno solo en movimiento y no dos congruentes. Y éste conflicto tampoco es menor.

Si trasladamos el triángulo ABC según el vector v, ¿cuántos triángulos están
involucrados?… suena casi a problema de ingenio, no?

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  1. m.a.k.i.s..S
    Domingo, 10 de septiembre de 2006 a las 21:13 | #1

    oe!!! necesito sabeer ejemplos de la trsalacion en la vida diaria?????

    de vera urgente!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

  2. Lunes, 11 de septiembre de 2006 a las 13:23 | #2
  3. Miércoles, 27 de septiembre de 2006 a las 19:22 | #3

    Gracias :)

  4. rommel
    Miércoles, 27 de septiembre de 2006 a las 16:37 | #4

    ta weno weno felicitaiones

  5. Anónimo
    Jueves, 15 de marzo de 2007 a las 10:27 | #5

    deverian hacer ejemplos con otras figuras geometricas que no sean nada mas triangulos hay trabajos en el que los profesores no exigen ese si no cuadrados poligonos pentagonos etc. por favor realicen ejemplos de traslacion rotacion y simetria axial de otras figuras geometricas no solo el triangulo ………………..

    ……………GRACIAS…………………………………

  6. su
    Lunes, 8 de octubre de 2007 a las 12:50 | #6

    helpppppp necesito ejemplo de ecuacion cuadratica en la vida diaria

    urgente porfa

    ayudenme….

  7. Lunes, 8 de octubre de 2007 a las 15:47 | #7

    Una aplicación común es en el lanzamiento de un proyectil, como puedes encontrar por aca:

    .

    También hay aplicaciones interesantes en el cálculo de áreas, por ejemplo aca:

    Espero que te sirva

    Saludos
    Rafael

  8. jesus francisco
    Miércoles, 21 de mayo de 2008 a las 12:01 | #8

    deverian hacer ejemplos con otras figuras geometricas que no sean nada mas triangulos hay trabajos en el que los profesores no exigen ese si no cuadrados poligonos pentagonos etc. por favor realicen ejemplos de traslacion rotacion y simetria axial de otras figuras geometricas no solo el triangulo GRACIAS…..

  9. perla galvis
    Viernes, 1 de agosto de 2008 a las 21:49 | #9

    Hola como están

    Necesito me ayuden con una tarea de mi nieta, es la siguiente:

    Elaboraron un polígono en un plano cartesiano,con las siguientes coordenadas: A: 0-10, B -3,5: C -6,10; D-9,5; E -3,2; f -3-2 ; G -9-5; H -6-10; I -3-5 ; J 0,10; K 3-5 ; L 6-10; M 9-5; N 3-2; Ñ 3,2; O 9,5; P 6,10 ;Q3,9

    Despues de hacer el polígono trasladarlo 6 veces en todas las direcciones 2 unidades.

    Me podrían dar indicaciones de cómo se hace.

     Muchas Gracias Muy buena su pagina

    Perla Galvis

     Mi correo es pergalvis@hotmail.com

  10. Domingo, 3 de agosto de 2008 a las 18:20 | #10

    Hola, Perla. Te doy una pequeña ayudita:

    Lo de construir el polígono es, primero, construir esos puntos en el plano cartesiano, y luego, al unir esos puntos tienes el polígono.

    Ahora bien, trasladarlos en todas las direcciones es un pequeño error de lenguaje, pues, existen infinitas direcciones en las que podrías trasladarlos (reclámele a su profesor!). Me imagino que el profe habrá querido decir, en las cuatro direcciones típicas, como son los puntos cardinales: arriba, abajo, izquierda, derecha. Pero, si sube 2, baja 2, avanza 2 y retrocede 2, ¿dónde queda el punto?

    Si no se te ocurre, hazlo uno por uno, que es seguramente lo que tu profesor quiere. Ahora, un dato: Si tengo el punto (2,6) y lo traslado dos unidades hacia arriba, obtengo el (2,8). Fíjate que le sumé 2 a la segunda coordenada. Si además lo traslado 1 unidad a la izquierda, obtengo el (1,8).

    En resumen, cuando trasladas, y puedes comprobarlo dibujandolo en el plano cartesiano, vas sumando valores a las coordenadas, pero siempre teniendo en cuenta que la primera coordenada indica cuánto a la derecha se encuentra el punto y la segunda coordenada indica cuánto arriba. Entonces, para acordarte piensa en (Derecha,Arriba). Si sube el punto, entonces la segunda coordenada aumenta, si baja, entonces disminuye.

    Espero que te ayude
    Saludos
    Rafael

  11. paola
    Lunes, 1 de septiembre de 2008 a las 17:53 | #11

    este blog es bueno

  12. francisco
    Jueves, 18 de septiembre de 2008 a las 21:55 | #12

    esta pagina es super vakna ojala nunk la quiten me ayudo mullo

  13. El Mismo
    Lunes, 22 de septiembre de 2008 a las 16:44 | #13

    Esta buena, pero hey te faltaron mas gtrafica y definir mas que es una funcion y sus tipos de funciones, como biyectiva,

  14. El Matematico
    Lunes, 22 de septiembre de 2008 a las 17:21 | #14

    bueno comparte lo que dice El Mismo. Asi seria mejor la compresion del texto

  15. Anónimo
    Martes, 30 de septiembre de 2008 a las 21:07 | #15

    GRACIAS,  MUY COMPLETO Y ENTENDIBLE EL TEMA.

Comentarios cerrados.

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