Teselación con paralelogramos

éste tipo de teselaciones se distingue por su disposición alineada en filas y columnas. La construcción del patrón involucra el trazado de líneas a partir de dos lados consecutivos de un paralelogramo; y la traslación de aquellas según los vectores que estos determinan.

El patrón basado en un paralelogramo permite teselar por traslación, en ocho direcciones, que dependen de los vectores determinados por los lados y diagonales del paralelogramo. Además, como se ilustra en la figura (traslación del patrón), los ocho vectores son determinan un paralelogramo, semejante al inicial, en la razón 2:1.

Teselación con paralelogramos (generalización)

Una generalización de la teselación anterior, consiste en un procedimiento análogo, realizado en un polígono con cantidad par de lados y que cuente con paralelismo (en lados opuestos).

La construcción, en un polígono de n lados consiste en el trazado de líneas a partir de n-2 lados consecutivos, que luego se trasladan paralelamente hasta el respectivo lado opuesto.

La construcción de la teselación, en el caso de n=6 consiste en la traslación el seis direcciones, según vectores que unen los puntos medios de lados opuestos. Nótese que en la figura los vectores se han ubicado con un mismo origen (punto de intersección de las diagonales), para ilustrar la relación de semejanza.

Al igual que en el caso anterior, se cumple la propiedad de semejanza, es decir, ABCDEF y A’B'C’D'E’F’ son semejantes en la razón 1:2.

Teselación hexagonal

Uno de los métodos más simples, la construcción de su patrón involucra giros en 60º y 180º de dos líneas arbitrarias, a lo que subyace un triángulo equilátero.

Como en todos los casos de patrones equiláteros, al girarlo en 60º se obtiene un patrón hexagonal (basado en un hexágono regular), tal cual como al girar un triángulo equilátero en 60º se genera un hexágono regular.

Dado que al diseño, subyace un hexágono regular, la teselación es un caso particular del caso anterior, pues un hexágono regular es un polígono con cantidad par de lados y cuenta con paralelismo. Por lo tanto, la teselación, se genera por traslación, segun los vectores que unen puntos medios de lados opuestos.

Teselación hexagonal 2

Basado en la división interna de un triángulo equilátero, la construcción del patrón requiere de la simetría axial de las regiones internas, respecto a los lados del triángulo, lo que implica que su área es igual al doble del área de éste.

La construcción de la teselación (no la única forma, claro), está dada por la rotación en 120º y 240º, respecto a los tres vértices.

Cabe destacar que éste no es el único método de teselación que mantiene una relación entre las áreas del patrón y la figura base. El ejemplo más emblemático es el de las mariposas de escher, construidas a partir de triángulos equiláteros con igual área que éstas.