He aquí un problema con el que me encontré en primer año de universidad, época en la que no sabía casi nada de geometría (nunca fui un buen alumno en el colegio, pero esa es otra historia!), pero si creía saber qué era una recta tangente.

¿Le habrá causado sorpresa a alguien más el hecho de que existen rectas tangentes a ciertas curvas que las cortan en más de un punto, incluso en infinitos puntos? ¿Acaso por tangencia entendemos algo distinto en el cálculo diferencial que en la geometría euclidiana?

Geométricamente, una definición de tangente (una mala definición, dicho sea de paso) que suele ser común es de una “recta que corta en un único punto a la circunferencia”, que suele incluso extenderse a cualquier curva. El conflicto se genera, al menos, con el cálculo diferencial, cuando se
estudian tangentes que cortan en más de un punto o incluso infinitos a algunas curvas.

Intuitivamente, el concepto de tangencia suele referirse a la idea de “pasar rozando”, como cuando la rueda de la bicicleta se apoya sobre el piso (sin achatarse, claro), noción que no siempre es respetada por las tangentes, como en el caso de la figura: una función cúbica.

El error consiste básicamente en una mala definición de tangente, dado que su definición relaciona la distancia del centro de la circunferencia a la recta.

Una recta tangente es una recta que se encuentra a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia

O dicho de otra manera, una tangente y un punto cualquiera de la circunferencia equidistan del centro. La conveniencia de ésta definición está en dar una descripción de las posiciones relativas entre circunferencia y recta en relación a los rangos en los que dicha distancia se encuentra

ζ: Recta, O: Centro de la circunferencia de radio r

d(ζ,O) > r → Recta exterior
d(ζ,O) = r → Recta tangente
d(ζ,O) < r → Recta secante

El punto es que el hecho de que la tangente a una circunferencia, en primer
lugar, la corta en un único punto, y luego, que es perpendicular al radio correspondiente, son consecuencias de la definición, es decir, propiedades. …sta forma de tratar el concepto de tangencia puede ser particularmente útil en términos didácticos.

Análogamente, la tangencia para circunferencias, en el contexto de las posiciones relativas, se define a partir de la relación entre las distancias de los centros y sumas o diferencias de los radios.

O₁: Circunferencia de radio r₁ y centro O₁
O₂: Circunferencia de radio r₂ y centro O₂

d(O₁,O₂) > r₁+r₂ → Circunferencias exteriores
d(O₁,O₂) = r₁+r₂ → Circunferencias tangentes exteriores
r₁+r₂ > d(O₁,O₂) > | r₁- r₂ | → Circunferencias secantes
d(O₁,O₂) = | r₁- r₂ | → Circunferencias tangentes interiores
d(O₁,O₂) < | r₁- r₂ | → Circunferencias interiores

Ahora bien, en el cálculo la recta tangente se define en términos de las derivadas y una buena descripción del concepto sería “recta en posición límite”. Dicho concepto, aunque involucra procedimientos de límite, no es particularmente complejo.

En fin, sin ánimo de irme por la tangente, el objetivo de ésta pequeña reflexión es ilustrar cómo conceptos matemáticos relativamente básicos influyen notablemente en estudios posteriores y más importante, en la comprensión de matemática más compleja.

Geometría circunferencia, normal, tangente