Cicloides, trocoides y espirales
En el capítulo anterior mostraba las construcciones geométricas de curvas polares clásicas, como la Caracol de Pascal, Cicloide de Ceva, Cisoide y Lemniscata de Bernuolli. Todas esas construcciones hechas desde una mirada Euclidiana, es decir, prescindiendo de cualquier sistema de referencia (como el sistema de coordenadas polares).
En éste capítulo, veremos unas construcciones un tanto menos Euclidianas, que involucran elementos como transferencias de medidas y un caso particular de crecimientos proporcionales de longitudes y ángulos.
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Trocoide La trocoide consiste en una generalización de las cicloides: es el lugar geométrico de un punto de una circunferencia que rueda sin deslizamiento sobre una recta. Cuando el punto se encuentra en la circunferencia, se trata del caso particular de la Cicloide. En el caso de encontrarse en el exterior, la trocoide tiene lazos y en el caso contrario no los tiene. |
Las generalizaciones naturales de la Epicicloide y la Hipocicloide son curvas impresionantes también llamadas trocoides (hipotrocoide y epitrocoide). Su construcción se realiza con una gran cantidad de revoluciones, de manera que parecieran ser siempre cerradas y de una inmensa variedad. Es una pena que en Cabri sea tan poco intuitivo el controlar rotaciones en ángulos superiores a 360º, aunque espero en el próximo capítulo construir las trocoides circulares.
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hola, mi nombre es javier ortiz rincón y comienzo en este interesante mundo de la matematica como docente en nivel bachillerato y me gustaria mucho recibir sus consejos para realizar de la mejor manera mi trabajo, voy a estar continuamente visitando el sitio para recibir sus consejos y aplicarlos en la escuela, de antemano gracias.
Bienvenido pues, Javier.
:D
quisiera que pusueran unas definiciones mas completas ademas con una determinada maqueta para asi poner introducirnos a la realidad mediante el estudio. gracias por su comprension
kisiera de la EPICICLODE
Estimado Rusel, intentaremos en el futuro desarrollar con más detención el tema, pero por el momento no está proyectado. Un buen sitio donde encontrar ésta información es:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/
Saludos
Rafael
por favor necesito saber como es la formula o manera de hacer un ovalo perfecto. muchas gracias.
como construyo espirales de dos, tres y cuatro centros, favor ayudénme.
atte, mariuxi
Estimados Mabe y Mariuxi… curiosamente encontré respuestas a las preguntas que ambos hacen en la misma página.
http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/tangen.htm
Espero que les sea útil.
Saludos
Rafael
este documento esta muy bien desarollado ese muy interresante y amplio el mundo de la geometria los felicito por su articulo, lo unico que omitieron es la forma de graficarlas
El mundo de las curvas y, particularmente el de las cicloides y trocoides me parecen fascinantes.
Les invito a visitar una web donde he trabajado el tema con GeoGebra: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/%7Emsadaall/geogebra/trocoides.htm
Manuel
Muchas gracias, Manuel.
Las construcciones están muy interesantes.
Saludos
Rafael
me intersa mucho sobre estos temas ya que son interesantes pero me gustaria que pusieran los pasos para construir cada una de ellas para asi uno practicarlos y aprender
Estimado Guillermo, en la siguiente dirección encontrarás más información.
Curso de Cabri II
Espero que te sea de ayuda
Saludos
Rafael
hola. mi nombre es Fredy Peña y soy profesor de matemáticas, yo he construido en Cabri las trocoides, las hipotrocoides y las espicicloides pero este programa presenta problemas ya que al modificar los valores de a, b y c (radio de la circunferencia fija, radio de la circunferencia movil y magnitud del segmento que se usa para trazar la trayecytoria) la curva definida como lugar geométrico no es continua y presenta algunas imperfecciones, me informaron que quizá al usar goegebra este problema no se presentaría, pero he tratado de hacerlas allí y no he podido, ¿alguiien sabe como hacerlas allí?, en Cabri es relativamente facil con una herramienta que se llama transferencia de medidas (diferente a compas) que me permite trasladar una medida sobre un segmento o arco de circunferencia, pero geogebra no tiene esa herramienta o no que yo la conozca…
Hola Freddy, estimo que pueden ser tres posibles problemas, uno de Cabri, o de los procesadores geométricos en general, o de este lugar geométrico en particular.
Si se trata de discontinuidades en el L.G., entonces puede que se deba a Cabri, que tiende a construirlos con poca precisión (por defecto). Para modificar esto, selecciona el L.G., e ingresa a opciones / preferencias, y en la ficha Opciones para los lugares encontrarás un valor que debes aumentar. Normalmente con 300 se logran mucho mejores resultados, aunque esto tiende a hacer más lento el trabajo.
Ahora bien, para muchos casos en los que la relación entre los radios no es entera, te encontrarás con dificultades. Piensa que una HipoCicloide, por ejemplo, requiere de que su generatriz de varias vueltas para completar el ciclo; y la mayoría de los procesadores geométricos sólo “cuentan” una vuelta (luego todo se reinicia).
Para todos estos casos (ruletas), la opción más precisa sería graficando a partir de las ecuaciones paramétricas, aunque es más complejo.
Por acá te dejo una construcción en Geogebra, modifica los valores y vas a ver cómo el L.G. funciona sólo en algunos casos: Ejemplo de Trocoide en Geogebra
Espero que te ayude
Saludos cordiales
Rafael
@Fredy Peña
A propósito, la transferencia de medidas es una herramienta sumamente útil, pero que puede reemplazarse por otras opciones. Por ejemplo, en vez de transferir medidas sobre una circunferencia, hacemos cálculos relativos a los ángulos centrales; si reconozco que, habiendo aprendido mucho con Cabri, me costó reemplazar la lógica de transferencia de medidas, pero es un aprendizaje :)
vale. muchisimas gracias, yo soy conciente de lo que usted me dice de que los procesarodes geométricos se reinician con dar una vuelta, para eso yo usé la herramienta de trasfereciua de medidas en Cabri animando un punto sobre una semirresta con el fin de que este me permitiera más de una vuelta sobre la circunfeencia fija y esot funcionó de hecho construye todas las hipotrocoides y epitrocoides bien, pero al animar el punto sobre la semirrecta este acelera demasiado al encontrarse más lejos del origen y en ese momento Cabri pierde la continuidad de la curva y renera algunas imperfecciones sobre esta, como lo son puntos, segmentos y discontinuidades, no se si hubiera alguna posibilidad de enviarle una construccion de las que he hecho para que usted mismo se diera cuenta de lo que sucede, es que lo que pasa es que necesito la animacion y por ello no las grafico con sus ecuaciones paramétricas ya que allí no podría hacer que se evidenciara del todo la forma como se generan. quisiera lograr una animacion como la que se ve en esta página http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/hipotrocoide.htm allí la curva se grafica de manera suave y a una velicidad constante.
de nuevo le agradezco mucho, este tema es muy interesante además que es una forma muy util para enseñar ecuaciones paramétricas pero como le digo necesito lograr bien la animacion para mostrar a partir de ella como llegar a las ecuaciones paramétricas, usted entenderá que yo soy docente y necesito mostrar la animacion antes de la ecuacion o la gráfica ya lista.
Entiendo, Freddy, pero no creo que sea posible superar el problema con lugares geométricos, quizás me equivoque, pero el tema de las discontinuidades es muy complejo.
De todas maneras, te insisto con el tema de las ecuaciones paramétricas, si lo que buscas es ilustrar la construcción de las cicloides, el resultado es muy amigable, mira por acá.
Espero escribir sobre este tema en un par de semanas, pero por el momento, he subido a Youtube unos videos sin editar de la cicloide y la hipocicloide. Mira en mi canal de Youtube: http://www.youtube.com/rafamiranda77, se demoran un poco en procesar los videos, pero en un par de horas ya se verán de mejor calidad.
A ver si con lo que escriba en la semana que viene aclaro más el asunto.
Saludos
Rafael