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Rotación de pentágonos (logo)

Miércoles, 2 de noviembre de 2005
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Rotación de pentágonos (logo)

En un post anterior mencionaba una curiosidad geométrica con la que me encontré mientras construia el logo del sitio.Básicamente consiste en disponer diez pentagonos regulares de manera que cada uno tenga dos lados adyacentes a otro; se trata de una disposición circular.

En efecto, si consideramos el punto J, intersección de las rectas portadoras de dos lados no-consecutivos; y giramos dicho pentágono en 36º, al décimo giro se obtiene el pentágono incial.

Dado que el ángulo de rotación es múltiplo de 360º, ésta disposición de pentágonos regulares se “cierra”, procedimiento extrapolable a otros polígonos regulares.

Lo interesante está en que existe un pentágono mayor, que se puede construir tomando alternadamente los vértices de los pentágonos.

¿Qué relaciones existen entre ambos pentágonos?

Entremos en materia, aunque omitiendo los elementos más visibles, como el hecho de que se trate de un pentágono regular, que se haya determinado un
decágono regular también, las circunferencias circunscritas e inscritas, etc. Todo lo anterior es consecuencia de que estamos rotando pentágonos regulares y en el caso de otros polígonos regulares la situación, al menos visualmente es análoga:

Rotacion del poligonos regulares

El caso de los pentágonos

La medida del lado del pentágono mayor es igual a la suma las de la longitud de la diagonal del pentágono base y el doble de la longitud de su lado, es decir: m = 2·l + d.

Ahora bien, la relación entre el lado de cualquier pentágono
regular y su diagonal está dada por la razón áurea (φ~1,62), de manera que se cumple lo siguiente:

m = 2l + d y
d = l·φ
m = 2l + l·φ
m = l·(2 + φ)

Luego, la relación entre los lados de los pentágonos sería:

m : l = l·(2 + φ):l
m : l = 2 + φ

Otro elemento interesante está dado por la relación entre las áreas, relación más compleja de demostrar, pero explorando en la figura, se puede descubrir que es igual al cuadrado de el cuociente entre las longitudes de los lados, es decir:

¡1 : ¡2 = (m : l)2
¡1 : ¡2 = (2 + φ)2

Sería interesante sistematizar éste análisis a otros polígonos regulares, aunque complejo. A ver si logramos algo, pero a priori, la relación en el caso de hexágonos es diferente y seguramente depende de la cantidad de lados del polígono regular a rotar.

En fin, hay más regularidades interesantes, como las relativas al decágono circunscrito, o a las transformaciones que se pueden realizar en el logo, como la que se obtiene haciendole clic. En nada de eso pensaba cuando armé el logo, sólo esperaba que se viera geométrico y atractivo… en geometría pareciera que todo es por una razón, cierto?

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  1. la mejor
    Viernes, 3 de febrero de 2006 a las 11:11 | #1

    quiero saber como se hace un pentagono con un compas, me lo exigen en dibujo tecnico y no hallo informacion :(

  2. Sábado, 4 de febrero de 2006 a las 17:06 | #2

    Estimados, a continuación un par de vínculos que te pueden servir:

    http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/polireg5.htm
    http://garciacapitan.auna.com/problemas/pentagono/pentagono.htm

    Saludos
    Rafael

  3. michelle
    Lunes, 26 de noviembre de 2007 a las 18:12 | #3

     hola que linda pagina

  4. michelle
    Lunes, 26 de noviembre de 2007 a las 18:15 | #4

    otra vez yo solo queria saber como poder calacular el area de los pentagonos

     

    ya no los molesto.

  5. nachocachon_33@hotmail.com
    Lunes, 24 de marzo de 2008 a las 15:57 | #5

    quisiera tener imformacion sobre pentagonos regulares y trapecios isosceles

  6. diego111
    Domingo, 13 de abril de 2008 a las 12:47 | #6

    quisiera saber como se rota un triangulo equilatero acia la hizquierda gracias resopondan

  7. traza
    Lunes, 21 de abril de 2008 a las 20:26 | #7

    para hacer un pentagono con el compas haces una circunferencia , después marcas el eje x y el eje y (son perpendiculares) despues haces la mediatiz de uno dde sus radios y se forma el punto B. marcas en B con el compas y marcas  en el punto uno i despues se forma el punto P la distancia entre P y 1 es loque vas a marcar en el compas y despues te marcas en 1 i por la circunferencia vas trazando esa medida despues solo unes los puntos YYYYYYYYYYY ya!

  8. maiefernandez@hotmail.com
    Sábado, 26 de abril de 2008 a las 01:38 | #8

    la pagina esta muy buena, queria saber, por favor, como hacer una rotacion de un pentagono de 45 grados negativos y positivos (ambas demostraciones) muchas gracias!!!! espero la respuesta

  9. Sábado, 26 de abril de 2008 a las 23:51 | #9

    Hola. ¿A qué te refieres? ¿Dónde quieres hacer dicha rotación, en papel con regla y compás, en Cabri o Geogebra? O bien, si necesitas demostrar algo, ¿Qué quieres demostrar?

    Saludos
    Rafael

  10. mariela
    Lunes, 28 de abril de 2008 a las 15:26 | #10

    hola! queria hacer una rotacion en papel con regla y compas exacto, no supe explicarme, de todos modos muchas gracias ya lo pude resolver. gracias nuevamente.

  11. Martes, 29 de abril de 2008 a las 17:34 | #11

    Entiendo, en un futuro (relativamente cercano, espero durante 2008), espero publicar un trabajo que llevo ya un buen tiempo preparando sobre construcciones geométricas. Por el momento, encontré algo en un sitio de la UCV: http://ima.ucv.cl/geometria/

    Saludos
    Rafael

  12. mariela
    Jueves, 1 de mayo de 2008 a las 20:57 | #12

    hola! gracias por la pagina recomendada, me fue de mucha utilidad, mucha suerte con tu trabajo!!!

    muchas gracias

  13. carolina
    Viernes, 13 de junio de 2008 a las 19:46 | #13

    hola yo creo que esto es muy bueno ok es super super………………. OK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

  14. Anónimo
    Viernes, 27 de junio de 2008 a las 22:01 | #14

    hola esto ayu mucho con las tareas del cole

  15. daniel
    Martes, 8 de julio de 2008 a las 04:40 | #15

    hola tengo  que obtener un octogono a partir de un lado el lado mide 19mm. Alguien me podria decir como hacer o pasareme una pagina donde lo explique? GRACIAS

  16. Miércoles, 9 de julio de 2008 a las 21:48 | #16

    Hola Daniel, me imagino que es un octágono regular. Mira por aca:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Octógono

    Aca hay una animación: http://gl.wikipedia.org/wiki/Octágono

    Espero que te ayude
    Saludos
    Rafael

  17. Catalina
    Sábado, 16 de agosto de 2008 a las 23:42 | #17

    Gracias, me ayudo mucho

  18. francisco
    Jueves, 18 de septiembre de 2008 a las 21:32 | #18

    es muy bueno y super vacano eso para qprender ojala esta pagina nunca la quiten por que es tan interesante que la persona que le guste estudiar la ba saber aprovechar y la ba asaber utilizar ojala esta pagina sea para  todos

     

Comentarios cerrados.

Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2005/11/rotacion-de-pentagonos-logo/.