En un post anterior mencionaba una curiosidad geométrica con la que me encontré mientras construia el logo del sitio.Básicamente consiste en disponer diez pentagonos regulares de manera que cada uno tenga dos lados adyacentes a otro; se trata de una disposición circular.

En efecto, si consideramos el punto J, intersección de las rectas portadoras de dos lados no-consecutivos; y giramos dicho pentágono en 36º, al décimo giro se obtiene el pentágono incial.

Dado que el ángulo de rotación es múltiplo de 360º, ésta disposición de pentágonos regulares se «cierra», procedimiento extrapolable a otros polígonos regulares.

Lo interesante está en que existe un pentágono mayor, que se puede construir tomando alternadamente los vértices de los pentágonos.

¿Qué relaciones existen entre ambos pentágonos?

Entremos en materia, aunque omitiendo los elementos más visibles, como el hecho de que se trate de un pentágono regular, que se haya determinado un
decágono regular también, las circunferencias circunscritas e inscritas, etc. Todo lo anterior es consecuencia de que estamos rotando pentágonos regulares y en el caso de otros polígonos regulares la situación, al menos visualmente es análoga:

Rotacion del poligonos regulares

El caso de los pentágonos

La medida del lado del pentágono mayor es igual a la suma las de la longitud de la diagonal del pentágono base y el doble de la longitud de su lado, es decir: m = 2·l + d.

Ahora bien, la relación entre el lado de cualquier pentágono
regular y su diagonal está dada por la razón áurea (φ~1,62), de manera que se cumple lo siguiente:

m = 2l + d y
d = l·φ
m = 2l + l·φ
m = l·(2 + φ)

Luego, la relación entre los lados de los pentágonos sería:

m : l = l·(2 + φ):l
m : l = 2 + φ

Otro elemento interesante está dado por la relación entre las áreas, relación más compleja de demostrar, pero explorando en la figura, se puede descubrir que es igual al cuadrado de el cuociente entre las longitudes de los lados, es decir:

¡1 : ¡2 = (m : l)2
¡1 : ¡2 = (2 + φ)2

Sería interesante sistematizar éste análisis a otros polígonos regulares, aunque complejo. A ver si logramos algo, pero a priori, la relación en el caso de hexágonos es diferente y seguramente depende de la cantidad de lados del polígono regular a rotar.

En fin, hay más regularidades interesantes, como las relativas al decágono circunscrito, o a las transformaciones que se pueden realizar en el logo, como la que se obtiene haciendole clic. En nada de eso pensaba cuando armé el logo, sólo esperaba que se viera geométrico y atractivo… en geometría pareciera que todo es por una razón, cierto?