Parábolas en Cabri
Un problema que tenía todo el tiempo cuando construía cónicas en Cabri, era con las parábolas. Cabri permite construir cónicas a partir de cinco puntos, lo que para elipses e hipérbolas es sumamente simple, pero ¿Es posible construir a mano alzada una parábola que pase por cinco puntos?
Teóricamente es posible, pero se trata de una imposibilidad práctica y sólo después de pensarlo con mucha calma llegué a una explicación que me convence. A pesar de haber sido resuelto con otros procesadores geométricos, como Kig, no dejan de ser interesantes el “por qué” y el “cómo”.
Más allá del análisis sobre cuántos puntos determinan una cónica, partamos
recordando la definición general de cónica.
Una cónica es un conjunto de puntos cuya razón de distancias hasta un punto y una recta fija es constante. En particular, dicha razón se denomina “excentricidad de la cónica”.
La excentricidad de una parábola es igual a 1 y en los otros casos la excentricidad se encuentra en un rango de valores (mayor que 1 para la hipérbola, menor que 1 en la elipse). Esto justamente determina la imposibilidad práctica de construir una parábola a mano alzada en Cabri.
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Supongamos que estamos construyendo una cónica a partir de cuatro puntos libres. Dependiendo de dónde se ubique el quinto punto, la excentricidad de la cónica variará. Ahora bien, para los casos de la hipérbola y la elipse, contamos con un rango de excentricidades, es decir un varias (teóricamente infinitas) cónicas distintas a construir. Pero en el caso de una parábola tenemos sólo un caso. |
Dicho de otra manera, marcados cuatro puntos libres la parábola ya está determinada, de manera que ubicar el quinto punto (si existe) es una cuestión de
“pulso”.
Esto en ningún caso implica que sea imposible construir parábolas en Cabri, pero claramente el nivel de complejidad es notablemente mayor al caso de las otras cónicas. Otros procesadores geométricos, en cambio, como Kig, permiten la
construcción de una parábola a partir de tres puntos.
Para sortear éste problema, contamos con varias opciones.
En fin, nunca fue tan simple construir parábolas en Cabri (creo que queda claro ese punto), sin embargo es un elemento que puede aprovecharse pedagógicamente para analizar relaciones que permitan dichas construcciones. De hecho, es interesante el proponerle a los alumnos encontrar métodos, a partir del análisis de relaciones replicables, como por ejemplo buscando ángulos rectos, de 60º, etc; relaciones de equidistancia, paralelismo. Justamente así idee la construcción nº 4 y aunque me imagino que más de algún geometra la habrá encontrado en el pasado, me permito la soberbia de llamarle el método Miranda.
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EN EL INTENTODE CONSTRUIR LA PARABOLA POR MEDIO DE LAS TRES CIRCUNFERENCIAS, AL PRINCIPIO PARECIERA SER QUE EFECTIVAMENTE ES UNA PARABOLA, PERO SI LOGRAS HACER EL CIRCULO EN LA PARTE BAJA, ES DECIR HASTA ABAJO DEL AREA PARA DIBUJAR TE DARAS CUENTA QUE AL FINAL SE TERMINA FORMANDO UNA ELIPSE.
ATTE. GEORGE
en la 4° sugerencia falta de dónde sacar el punto E para el triángulo EFF´ :(
Estimado (Jorge, cierto?), en relación al cuarto caso, la construcción del punto “E” pasa por, ya sea la intersección de dos circunferencias (ver dibujo) o bien, por ser un vértice del triángulo equilátero, construido sobre FF'.
Saludos
Rafael
Estimado Jorge, en relación al caso 3, la curva construida es una parábola, de hecho, al poner el cursor sobre ésta aparece la leyenda “ésta parábola”.
Si ubicamos el punto V en el origen y F en el eje Y, se trata de la función f(x)=x2/4r, donde “r”, es el radio de la circunferencia más pequeña.
Desgraciadamente Cabri no es muy preciso en cuanto a las ecuaciones, así que muestro un applet hecho con Geogebra en la siguiente dirección:
Parábola en geogebra
Saludos
Rafael
para mi un estudiante de lic en matematicas es muy util este articulo, tambien es de agrado y por mi interes por la geometria
ALGUIEN PODRIA DECIRME QUE ES UNA HIPERBOLA EQUILATERA
Estimado(a), una hipérbola se denomina equilátera cuando sus ejes (prefiero decir lados, pero normalmente le dicen ejes) son de igual longitud.
Si consideramos la ecuación de la forma:
La hipérbola es equilátera si y sólo si a=b.
Por aqui puedes encontrar más información: http://personal.redestb.es/javfuetub/geometria/curvas/hiperbola.htm.
Saludos
Rafael
Muy buena explicación, eso si, en el primer paso el punto "P" se marca "P", punto de intersección de "s" y "l".
quiero saber el 2º metodo de onstruccion de la parabola gracias
hola necesito por favor que alguien me ayude con este programa acabo de conseguirlo pero es toda una odisea trazar la parabola o se si habra una guia de como usarlo porque me resulta complicadisimo su uso. gracias.
Hola Alf. A ver, si te complica usar Cabri en general te recomiendo un tutorial:
http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/tallerma/tut_cab.htm
Ahora bien, si el problema es trazar la parábola, bueno ese es el asunto que planteo en éste post: el hacerlo a mano alzada (en Cabri) es casi imposible, dado que hay que marcar cinco puntos, pero el quinto punto debe ser muy preciso (con cuatro puntos marcados, ya está determinada una parabola, de manera que, o le apunto o no). Como una alternativa propongo estos métodos, del cual, probablemente el cuarto es el más simple.
Espero que te oriente
Saludos
Rafael