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Focos de la elipse

Domingo, 20 de noviembre de 2005
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Focos de la elipse

Sigo echando mano a esos problemillas que tuve cuando sólo conocía Cabri y Sketchpad, y habían tantas cosas que no se podían hacer, a pesar de parecer tan razonables.

En varios procesadores geométricos se pueden construir elipses por cinco puntos libres, pero cómo construir el centro, focos, ejes, etc. No es un problema tan simple, en especial por el hecho que las cónicas se suelen estudiar desde una perspectiva de geometría analítica más que euclidiana.

¿Qué sabemos de las elipses y su relación con focos y particularmente con el centro?

En busca de una solución, me puse un día a revisar todos los libros que mencionaran algo de las cónicas, pero cometí el error de dejar de lado los de geometría analítica y cálculo. Craso error! Justamente en el libro ‘Geometría analítica’ de Charles Lehmann había una pista, un problema de lugares geométricos:

Demostrar que los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas en una elipse, determinan una recta que pasa por el centro.

Y aqui es donde hay que usar el sentido común: si piden demostrarlo, probablemente es cierto, no? A partir de dicha propiedad, cuya demostración desconozco, es posible establecer un método para encontrar el centro.

Construcciones: 1 | 2 | 3 | 4

1. Centro de la elipse

Dadas dos cuerdas no paralelas en una elipse, y dos cuerdas paralelas a las primeras, las rectas que unen los puntos medios de cuerdas paralelas se cortan en el centro de la elipse.
Pasos de la construcción

  • Construir las cuerdas AB y CD , no paralelas.
  • Construir las cuerdas A’B’ || AB y C’D’ || CD
  • Marcar los puntos medios de las cuatro cuerdas, M1, M2, M3, M4
  • Trazar las rectas M1M3 y M2M4
  • Éste es otro de los tantos casos en los que vemos a Cabri superado por otros procesadores geométricos con más funcionalidades. Es razonable, si se pueden construir cónicas a partir de puntos por los que pasa, que sea posible también la construcción de sus elementos primarios. Lo interesante está en que en papel este tipo de problemas no es necesariamente relevante, dado que la construcción de elipses es siempre a partir de sus focos o de elementos relacionados directamente con estos.

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    1. JM
      Lunes, 21 de noviembre de 2005 a las 16:05 | #1

      Hola, sin ánimo de polémica. Cabri a quien refieres en estas construcciones es fundamentalmente un programa no para hacer geometría, sino para aprender geometría.

      Aunque no construya directamante la elipse a partir de los focos. Es el usuario, quien puede construir la macro correspondiente. Si el programa hace las construcciones en todas las situaciones. ¿Que aprendemos con su uso?.

      Un saludo

      JM

    2. Lunes, 21 de noviembre de 2005 a las 21:24 | #2

      Estimado, primero que todo agradezco tus comentarios.

      El problema surge por varios aspectos. Es cierto que Cabri permite la creación de macros, y en esa funcionalidad reside un gran potencial. Sin embargo, existen algunos problemas asociados a dichas macros, en especial la de la elipse, que no están 100% resueltos.

      Por ejemplo, en muchas ocasiones, las intersecciones entre una circunferencia y una elipse no funcionan correctamente. Haz la prueba, construye una elipse y una circunferencia que se corten, marca las intersecciones de ambas y deforma la cónica.

      Lo que suele suceder, y lo he verificado también en Geogebra, es que dichas intersecciones se confunden. No es simple la construcción de los focos de la elipse, independientemente de las relaciones geométricas y es por eso que me parece razonable que dicha construcción estuviera incorporada, pues permitiría facilitar el estudio de las cónicas. Más alla de la posibilidad técnica, el punto, al momento de que nuestros alumnos construyan es cuidar el nivel de complejidad de éstas.

      El punto está, en que las construcciones geométricas son procedimientos relativamente complejos en geometría. Requieren de poner en acción propiedades, de manera que suponen un cierto conocimiento de las relaciones que las sustentan, son consecuencia de un saber geométrico. ¿Puede un alumno construir una recta tangente a una circunferencia sin saber nada o muy poco acerca de éstas? Las construcciones incorporadas en los procesadores geométricos justamente lo permiten, de manera que se produce una inversión: la construcción es ahora causa del saber geométrico.

      Es cierto que el uso de estos softwares para realizar construcciones es fundamental, pero no es el único. Pensémoslo asi: Un alumno construye un triángulo, mide sus ángulos internos, las suma, y a partir de ese tipo de actividades es capaz de descubrir la propiedad correspondiente. ¿Qué ganamos si el programa lo hace todo? El programa constuye, el alumno observa, analiza, generaliza, infiere y más importante descubre. Se trata de aprovechar el caracter dinámico de estas construcciones, no sólo realizarlas. Si sólo construimos, por qué hacerlo en Cabri y no en papel?

      Aun asi, no espero encontrar un programa que haga todas las construcciones posibles, tan sólo analizaba un problema con el que me encontré unos años atras. Al mismo tiempo pienso que no poder construir los focos es una oportunidad, pero no para cualquier alumno.

      Muchas gracias por tus comentarios, JM.

    3. Jm
      Martes, 22 de noviembre de 2005 a las 21:13 | #3

      Gracias por expresarme tu respuesta. Insisto en no polemizar sobre una afición comun: las matematicas y la geometria y los programas de goemetria dinámica.

      Comparto la mayoria de tus argumentos. Problemas en las intersecciones de lugares geométricos de cabri y de cabri Plus.

      Uno de los ejemplos que pones, tangentes a una circunferencia lo puede hacer perfectamante un alumno de educacion secundaria. En dibujo técnico lo hacen.

      No trato de defender cabri, en absoluto. De hecho, geogebra me encanta, pero le falta aún en mi opinión un par de cosillas, macros. Aunque tiene tres cosas mejores: software libre, exportacion a html y algebra incorporada y otra más, tiene mejor presentación.

      ¿Por que usas cabrí en los ejemplos anteriores?

      Un cordial saludo y enhorabuena por la excelente página que nos ofreces. De lo mejor que he visto en este tema. De verdad.

      JM

       

    4. Martes, 22 de noviembre de 2005 a las 22:07 | #4

      Estimado, es cierto que un alumno de secundaria puede construir tangentes a una circunferencia, pero eso pasa por saber que éstas son tangentes a los radios correspondientes. El punto que quería aclarar, es que si no se conoce dicha propiedad el alumno no puede realizar dicha construcción… a menos que el software la incorpore y como consecuencia de aquello descubra la relación de perpendicularidad: Esa es la gracia :)

      La verdad es que sólo una cosa me impide a pasarme a Geoebra… el applet CabriJava pesa 180 kb y el de Geogebra mas de 900 kb. En la mayoria de los colegios chilenos (eres de españa, cierto?) las conexiones a Internet son bastante más lentas de lo que uno quisiera, y además repartidas en varios equipos. Aun asi, me gusta mucho más el applet de Geogebra, en especial por las transparencias y diversidad de colores… cosa más que util cuando la pantalla de se llena de rayas. Además pareciera ser un poco más rápido con construcciones complejas. En cabrijava, por ejemplo, intenté graficar funciones trigonométricas como lugares geométricos y aunque funcionan OK, la situación se pone muy lenta (y eso que tengo un buen equipo!)

      Pero sigo siendo un gran “fan” de Cabri, con ese aprendí un montón de geometría, en la universidad fui lentamente tomando la costumbre cuando tenía que demostrar algo de empezar por cabri y luego ir al papel.

      En fin, gusto leerte por aca y muchas gracias por los halagos.
      Un saludo cordial
      Rafael Miranda

    5. Rudolf
      Martes, 20 de diciembre de 2005 a las 14:50 | #5

      Pensando en un problema un día recientemente se me ocurrió una cosa: Que una elipse no es sino una circunferencia alargada o achatada y lo he comprobado y probado.

      Además vi que si por ejemplo estiramos una circunferencia de diámetro D, al doble en un eje, es decir que por ejemplo la estiro en el eje X, ésta se convierte en una elipse de eje mayor 2D y eje menor D, y entonces el área de esta elipse será el doble del área de la circumferencia inicial.  Esto puede hacerse alargandola n veces y el área de la elipse resustante será n veces el área de la circunferencia inicial.

      Ahora lo que quiero saber, y a ver si alguien me responde, es que si alguien ya demostró que una elipse es una circunferencia alargada.  Espero sus respuestas, dudas, etc.

    6. gabo
      Miércoles, 21 de diciembre de 2005 a las 16:04 | #6

      les sugiero este sitio, en el cual he publicado algunas cosas…Otro punto de vista sobre la elipse.

      http://db-maths.nuxit.net/CARzine/

    7. Jueves, 22 de diciembre de 2005 a las 15:47 | #7

      Estimado Rudolf. Me parece interesante el problema que planteas, pero me gustaría hacer un par de precisiones.

      Técnicamente una circunferencia es un caso especial de elipse y no alrevés. Las elipses son cónicas con excentricidad menor que 1 y en el caso particular de excentricidad igual a cero se trata de una circunferencia. En ese sentido, afirmar que una elipse es una circunferencia involucra el suponer que todos sus puntos equidistan del centro. Es más, dado que la excentricidad se calcula por el cuociente “c/a” (c: distancia del centro a un foco, a: distancia del centro a un vértice), podemos decir que una circunferencia es una elipse cuyos focos y centro coinciden.

      Ahora bien, qué entendemos por estirar una circunferencia? El estirar es un concepto difícil de operacionalizar matemáticamente. Podría entenderse como estirar la circunferencia de manera que se mantuviera como tal pero cambiara su radio.

      Para evitarnos las confusiones con el concepto de estiramiento, podríamos enunciar el teorema de otra manera:

      El área de una elipse cuyo lado menor mide “a” y lado mayor “n·a” es igual a “n” veces el área de una circunferencia de radio “a”.

      Dado que el área de una elipse está dada por la fórmula S=π·a·b, y b=n·a, entonces se tiene: S=π·a·n·a=n·π·a2, es decir “n” veces el área la circunferencia de radio “a”.

      Estuve buscando la demostración en algunos libros e Internet, pero no pude encontrarla.

      Muchas gracias por sus aportes Rudolf y Gabriel.
      Saludos
      Rafael

    8. Anónimo
      Martes, 28 de febrero de 2006 a las 23:09 | #8

      deberian poner graficamente todos los tipos de construccion de elipces

    9. Miércoles, 8 de marzo de 2006 a las 01:04 | #9

      Lo tendré en cuenta, gracias.

      :)

    10. Spivak
      Viernes, 31 de marzo de 2006 a las 19:21 | #10

      Hola, soy de Uruguay y encontré de casualidad esta página, y veo que el foro esta bueno. 

      solo conozco el CABRI común y quiero hacerte una consulta acerca de como editar textos matemáticos que incluyan gráficos o figuras.

      De momento lo que hago es simplemente una especie de “armado”, cortando y luego pegando en word. ¿Estos programas nuevos facilitan algo?

      Saludos

       

    11. Miércoles, 5 de abril de 2006 a las 02:05 | #11

      Estimado Spivak. La verdad es que no he probado ningún software aparte de Word. Con el editor de ecuaciones de Word (insertar/objeto/editor de ecuaciones 3.0) se pueden crear fórmulas bastante buenas. He escuchado de LatEx, pero no lo ubico. En el Paraiso de las matemáticas aparece un artículo relacionado: http://www.matematicas.net/paraiso/latex.php :D

      Espero que te sirva.
      Saludos
      Rafael

    12. EMILIANO DIAZ LOPEZ
      Lunes, 11 de diciembre de 2006 a las 14:53 | #12

      La verdad es que no he entendido a las ecuaciones ariymeticas de matematicas y pues no se cuando le voy a entender pero les digo que los que le entienden nunca degen de untenderle porque es la materia mas binita y mas bella que hay y porque esto lo vemos a diario en nuestra vida cotidiana y donde vallas  y estes ahi estaran las matematicas  y sus ramas: la geometria y la el algebra.

    13. Andres
      Lunes, 26 de marzo de 2007 a las 02:51 | #13

      hombre espero llegar algun dia a ser como tu, yo estoy estudiando apenas geometría analítica  y en las tardes le doy 2 horas seguidas pues la materia es sumamente interesante, veo como escribes y tus representaciones geométricas, son bastante buenas y a pesar de que no comprendo todo ( pues aun no lo he visto) me impresionas. Eres un reto a vencer y te vencere !!

       PD:  la pagina esta buenísima !!

    14. Anónimo
      Domingo, 13 de mayo de 2007 a las 18:58 | #14

      me gusta esto

    15. Anónimo
      Sábado, 27 de octubre de 2007 a las 18:32 | #15

      pues coincido con tu opinon y tienes razon, desde mi punto de vista y de antemano te agradezco haberlas publicado ya que nos solo estas exponiendo tus conclusiones y teorias si no que tambien ayudas a estudiantes como yo en investigaciones de la escuela.

       

    16. carolina
      Lunes, 14 de abril de 2008 a las 17:12 | #16

      mañana tengo un escrito de astronommia y la elipse es uno de los temas que no entiendo nada, por favor me harian un favor si me explicaran que es una elipse, como se construye! dios! no se que hacer..

      de todos modos muchas gracias

    17. Martes, 15 de abril de 2008 a las 11:22 | #17

      Hola, aqui algunos recursos que te pueden ayudar:

      Elipse en la Wikipedia
      Secciones cónicas, la elipse
      Elipse en Descartes.

      Espero que te ayude

      Saludos
      Rafael

    18. Sandra
      Viernes, 17 de diciembre de 2010 a las 03:50 | #18

      Bueno, necesitaba esta construcción y realmente me salvo a vida porq en mi tesis de pre grado determine algunos criterios para construir hipérbolas y elipses, pero no tenia idea de como encontrar los focos.. esto es de mucha utilidad, ahora quisiera, si es posible, una guía de como demostrar q efectivamente lo que hice es una cónica, es decir, hice la construcción halle los focOs y cumplen la definición, pero no se como demostrarlo.

      MUCHAS GRACIAS

    19. Viernes, 17 de diciembre de 2010 a las 17:16 | #19

      @Sandra
      Me alegro que te haya servido. En su momento me pareció interesante la propiedad, especialmente porque en Cabri no es posible construir el centro de la elipse. A veces uno aprende más con menos herramientas, no?

      En fin, creo que el tema que te sirve se denomina “diámetros conjugados”, que son estos lugares geométricos formados por puntos medios de cuerdas paralelas.

      Te recomiendo un par de enlaces útiles sobre esto:

      http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse00.php

      http://www.areadedibujo.es/documentos/1-bachillerato/geometria-plana/elipse-definicion.pdf

      Espero que te sirva
      Saludos cordiales
      Rafael

    20. Sandra
      Domingo, 19 de diciembre de 2010 a las 03:48 | #20

      Hola… yo de nuevo.. he estado tratando de hacer la demostración pero esta enredado (bueno no esta enredado, la que se enreda con nada soy yo.. digamos que no soy muy inteligente jejeje), igual me ha sido útil tu información.
      Te cuento me invente unas cositas con segmentos para lo de sumar medidas en carmetal y me funciono. Pero ahora el lio es q no tengo idea de como construir los focos de la hipérbola… tienes alguna información al respecto, o algún libro q me pueda guiar.
      Muchas gracias por tu ayuda.

      • Domingo, 19 de diciembre de 2010 a las 12:44 | #21

        Hola :)

        El problema que tienes es que construiste una hipérbola a partir de cinco puntos y necesitas encontrar los focos. La verdad no sé cómo, pero creo que es mejor que trabajes las cónicas con Geogebra, porque allí si puedes construir focos y centros directamente.

        Normalmente para evitar el problema que tu tienes, lo que se hacía (cuando sólo teníamos Cabri y otros pocos más), era construir las hipérbolas a partir de los focos. O sea, construyes los focos como puntos libres y a partir de ellos construyes las cónicas.

        Lo más cerca que llegué a resolver esto es así; ya sabes cómo construir el centro de la elipse, y el caso de la hipérbola es análogo. Ahora; si trazas una circunferencia con ese centro, los cuatro puntos de intersección determinan un rectángulo, con lados paralelos a los ejes de la hipérbola o elipse.

        Pero te adelanto, si buscas hacer las construcciones de manera que puedas deformar estas cónicas, arrastrar puntos, etc; te vas a encontrar con más dificultades; porque las intersecciones entre circunferencias y cónicas son problemáticas aun en este tipo de programas.

        Ahora, si estos problemas te son interesantes de un punto de vista matemático, o digamos si son parte de tu tesis, vale la pena investigarlos; pero si te han surgido como trabas para resolver otros problemas, mejor te los saltas usando geogebra. Porque creo que en la mayoría de los casos las soluciones son analíticas, por ejemplo para el tema de los ejes conjugados.

        Espero que te oriente y suerte!
        Saludos
        Rafael

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    Artículo publicado en http://www.geometriadinamica.cl/2005/11/focos-de-la-elipse/.