Dentro de la gran variedad de recursos que usó Escher en sus diseños, está la idea de evolución o desarrollo, que usualmente consistió en cubrir el plano con una figura que progresivamente iba cambiando.

Tales ideas se combinan con las de las teselaciones y las propiedades de simetría de las distintas figuras a partir de las cuales se construyen. En este post, veremos una primera aproximación a tales desarrollos.

Cosas curiosas ocurren a veces con los números complejos. Con los reales, las potencias enteras de un número son siempre distintas (salvo con 1 y -1), pero en los complejos existen ciertos ciclos, de tal forma que las potencias de un número complejo se tienden a organizar como espirales o como una circunferencia.

En este post veremos cómo las potencias de ciertos números complejos corresponden a los vértices de polígonos regulares, algunos simples como los convexos, y otros que pueden llegar a ser muy complejos, como los son ciertos polígonos estrellados.

Durante los últimos diez años he tenido la oportunidad y el privilegio de poder trabajar con alumnos talentosos del programa Penta UC, lo que ha sido un potente espacio de aprendizaje y experimentación para mí como profesor.

Particularmente, desde principios del 2011 he estado trabajando con un tema fascinante que reúne dos de mis áreas de mayor interés, como son la geometría y la programación, de manera que a continuación presento los trabajos más destacados de mis alumnos de la segunda versión del curso de arte generativo.

Frecuentemente la geometría se dan argumentaciones que pueden ilustrarse o inducirse a partir de imágenes. La expresión “una imagen vale más que mil palabras” tiende a ser cierta, aunque muchas veces ciertas ideas son muy complejas para simplificarse sólo en una imagen.

Sin embargo, la geometría dinámica abre la posibilidad de explorar estas relaciones, a través del movimiento, lo que esencialmente consiste en muchas imágenes conectadas entre sí. De esta forma es posible modernizar el concepto de las “demostraciones sin palabras”, para articular lo que podríamos denominar el lenguaje de la geometría.

Desde ya un tiempo que Geogebra viene incorporando herramientas de estadística y probabilidades, lo que abre un espacio interesante de exploración de estos conceptos. Aprovechando estos avances, estuve los últimos meses diseñando algunas visualizaciones de conceptos clave, como lo que veremos a continuación: los intervalos de confianza para la media.

Como espero ilustrar en este post, la geometría está presente transversalmente en la matemática, de manera que cumple un rol didáctico para mostrar conceptos potentes.

Veamos entonces la interpretación geométrica de los intervalos de confianza… y un poco más.

Los fractales son probablemente los objetos geométricos más interesantes y atractivos, pero no menos complejos y por ello es que no logramos “verlos” hasta que contamos con computadores realmente capaces para tamaña tarea.

En este post voy a mostrar algunos fractales construidos con un método que en gran medida se aproxima al funcionamiento de una típica impresora.

Desde hace un par de años que existe una hoja de cálculo en Geogebra, opción que a simple vista podrá parecer la simple adición del clásico Excel y sus fórmulas numéricas. Sin embargo en este caso se trata de una herramienta mucho más potente, pues la “idea” de Excel, esa de escribir fórmulas y luego copiarlas, se integra de manera bastante natural al entorno de geometría, permitiendo realizar iteraciones de construcciones.

Veamos algunos ejemplos…

Ultimamente he estado más cercano a la estadística que a la Geometría, lo que me ha permitido reconstruir aprendizajes además de hacer algunas relaciones que nunca me fueron tan evidentes.

Particularmente de lo que voy a hablar hoy, es sobre la Media y la Varianza, pero aprovechando la geometría, y Geogebra particularmente, para ilustrar la interpretación geométrica de ambas, buscando entender mejor qué son y para qué sirven.

Existen muchas expresiones artísticas que hacen uso de la geometría. Quizás no siempre de manera explícita, pero a cualquier persona con alguna formación matemática le habrá pasado que cuando ve alguna obra de arte dice “Eso es …” y a continuación indica un nombre matemático.

Hace poco me encontré con los llamados “Hiloramas” e inmediatamente dije “esas son curvas de Bezier”…

El arte islámico es probablemente el mejor exponente de técnicas prácticas para crear diseños que involucran simetría. En particular, los artistas islámicos han hecho un gran uso de la simetría propia del hexágono regular y triángulos equiláteros, para crear intrincados diseños con gran creatividad.

En este post veremos una forma simple de crear diseños islámicos a partir de un hexágono regular, aprovechando las ventajas de Geogebra y las mallas isométricas.

Estando apunto de cerrarse el carnaval de matemáticas 2.6, y habiendo celebrado recientemente las fiestas patrias en Chile, aprovecho de hacer una pequeña nota sobre nuestro principal símbolo patrio.

Conocida como la “Estrella solitaria”, la bandera chilena cuenta con una estructura geométrica simple y que ha cambiado con los años, tanto en sus colores como dimensiones.

Veamos un poco sobre la geometría de nuestra bandera.

Se han abierto las inscripciones para una nueva versión del curso “Aprender geometría, creando soluciones”, ahora orientado a docentes de matemática de enseñanza media.

Llevo algunos meses hablando del arte generativo, tema en el que me embarqué hace casi un año, en un entusiasmo por vincular la geometría y la programación.

Ya he mostrado muchos ejemplos de qué podemos hacer con estos programas, lo que también fue parte de la preparación, pero en esta ocasión quiero mostrar algunos trabajos de mis alumnos.

Veamos entonces qué hicimos en el curso “Arte generativo digital” en el Penta UC este verano.

Uno de los elementos más atractivos de Cinderella 2, es la inclusión de Cindyscript, un lenguaje de programación orientado a la integración con el entorno de geometría.

Si bien la mayoría de las herramientas de construcción permiten ya una gran variedad de posibilidades, Cindyscript permite ampliar significativamente el espectro de acciones posibles, y además añade un componente sumamente interesante de un punto de vista pedagógico.

A continuación incluyo algunos ejemplos, para en un futuro cercano elaborar más sobre los alcances didácticos.

En mayo mostré algunos ejemplos de Structure Synth, para construir estructuras basadas en la iteración de transformaciones geométricas. En el post anterior, vimos cómo se transforma un fractal 3D, al ordenadamente modificar uno de los parámetros que permite construirlo.

En este post incluyo varios ejemplos más, de cómo un fractal 3D se convierte en otro, al modificar un ángulo que lo genera.